专训三角形的三种重要线段的应用

1、专训三角形的三种重要线段的应用名师点金：三角形的角平分线、中线和高是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的作用，因此我们需要从不同的角度认识这三种线段 三角形的角平分线的应用eq avs4al(类型1) 三角形角平分线定义的直接应用1(1)如图，在ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且1234，以AE为角平分线的三角形有_；(2)如图，已知AE平分BAC，且12415，计算3的度数，并说明AE是DAF的角平分线(第1题) eq avs4al(类型2) 求三角形两内角平分线的夹角度数2如图，在ABC中，BE，CD分别为其角平分线且

2、交于点O.(1)当A60时，求BOC的度数；(2)当A100时，求BOC的度数；(3)当A时，求BOC的度数(第2题) 三角形的中线的应用eq avs4al(类型1) 求与中线相关线段长的问题3如图，AE是ABC的中线，已知EC4，DE2，则BD的长为()A2 B3 C4 D6(第3题)(第4题)4如图，已知BECE，ED为EBC的中线，BD8，AEC的周长为24，则ABC的周长为()A40B46C50D565在等腰三角形ABC中，ABAC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长eq avs4al(类型2) 求与中线相关的面积问题6如图，在A

3、BC中，D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且SABC8 cm2，则图中阴影部分的面积是_(第6题)7.操作与探索：在图中，ABC的面积为a.(第7题)(1)如图，延长ABC的边BC到点D，使CDBC，连接DA，若ACD的面积为S1，则S1_(用含a的式子表示)；(2)如图，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CDBC，AECA，连接DE，若DEC的面积为S2，则S2_(用含a的式子表示)，请说明理由；(3)如图，在图的基础上延长AB到点F，使BFAB，连接FD，FE，得到DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3_(用含a的式子表示) 三角形的高的应用eq avs4al(类型

4、1) 找三角形的高8如图，已知ABBD于点B，ACCD于点C，AC与BD交于点E，则ADE的边DE上的高为_，边AE上的高为_(第8题)eq avs4al(类型2) 作三角形的高9【动手操作题】画出图中ABC的三条高(要标明字母，不写画法)(第9题)eq avs4al(类型3) 求与高相关线段长的问题10如图，在ABC中，BC4，AC5，若BC边上的高AD4.求：(1)ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)ADBE的值(第10题)eq avs4al(类型4) 证与高相关线段和的问题11如图，在ABC中，ABAC，DEAB，DFAC，BGAC，垂足分别为点E，F，G.试说明：DEDFBG.(

5、第11题)eq avs4al(类型5) 求与高有关的面积12如图，ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BDeq f(1,4)BC，点G是AB边上一点，点H在ABC内部，BDGH，且BDGH.则图中阴影部分的面积是()A3 B4 C5 D6(第12题)答案1解：(1)ABC和ADF(2)因为AE平分BAC，所以BAECAE.又因为1215，所以BAE12151530.所以CAEBAE30，即4330.又因为415，所以315.所以23.所以AE是DAF的角平分线2解：(1)因为A60，所以ABCACB120.因为BE，CD为ABC的角平分线，所以EBCeq f(1,2)ABC，DCBeq

6、f(1,2)ACB.所以EBCDCBeq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACBeq f(1,2)(ABCACB)60，所以BOC180(EBCDCB)18060120.(2)因为A100，所以ABCACB80.因为BE，CD为ABC的角平分线，所以EBCeq f(1,2)ABC，DCBeq f(1,2)ACB.所以EBCDCBeq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACBeq f(1,2)(ABCACB)40，所以BOC180(EBCDCB)18040140.(3)因为A，所以ABCACB180.因为BE，CD为ABC的角平分线，所以EBCeq f(1,2)ABC，DCBeq f(1,

7、2)ACB.所以EBCDCBeq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACBeq f(1,2)(ABCACB)90eq f(1,2)，所以BOC180(EBCDCB)180eq blc(rc)(avs4alco1(90f(1,2)90eq f(1,2).点拨：第(1)(2)问很容易解决，第(3)问就是类比前面解决问题的方法用含的式子表示3A4A点拨：因为AEC的周长为24，所以AECEAC24.又因为BECE，所以AEBEACABAC24.又因为ED为EBC的中线，所以BC2BD2816.所以ABC的周长为ABACBC241640.故选A.5解：设ADCDx cm，则AB2x cm，BC(21

8、4x)cm.依题意，有ABAD15 cm或ABAD6 cm，即2xx15或2xx6，解得x5或x2.当x5时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm；当x2时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm，而4413，故不成立所以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm，1 cm.62 cm27解：(1)a(2)2a理由：连接AD，由题意可知SABCSACDSAEDa，所以SDEC2a，即S22a.(3)6a8AB；DC9解：如图(第9题)10解：(1)SABCeq f(1,2)BCADeq f(1,2)448.因为SABCeq f(1,2)ACBEeq f(1,2)5BE8，所以BEeq f(16,5).(2)ADBE4eq f(16,5)eq f(5,4).11解：连接AD，因为SABCSABDSADC，所以eq f(1,2)ACBGeq f(1,2)ABDEeq f(1,2)ACDF.又因为ABAC，所以DEDFBG.点拨：“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决12B点拨：设ABC的边BC上的高为h，AGH的边GH上的高为h1，CGH的边GH上的高为h2，则有hh1h2.SABCeq f(1, 2)BCh16，S阴影SAGHSCGHeq