三次样条插值法

1、8三次样条插值 HYPERLINK http7/问题的提出：上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对J：像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时,把富有弹性的细长木条(所谓样条)用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后顾卜长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。卜面我们讨论最常用的三次样条函数。三次样条函数：定义：函数S(x)eC2a,b,且在每个小区间x.,x/+1上是三次多项式，其中a=x0 xYxn=b是给定节点，则

2、称S(x)是节点x0,x1,-,xn的三次样条函数。若在节点亏上给定函数值儿=/(xy)0=并成立S(Xj)=儿.G=0,1,-,77),则称S(x)为三次样条插值函数。从定义知要求出S(x),在每个小区间上要确定4个待定系数，共有H个小区间，故应确定4n个参数。根据S(x)在a,b.二阶导数连续，在节点x.O=l,2,-,n-l)处应满足连续性条件S(x.-0)=S(+0),S(x._0)=S(9+0).,Sx.-0)=S(Xj+0).共有3/7-3个条件，再加上S(x)满足插值条件S(Xj)=儿(丿=0,1,，n),共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定S(x)。通常可在区间。,方

3、端点a=xQyb=xn.各加一个条件(称为边界条件)，可根据实际问题的要求给定。常见的有以卜-三种：1已知两端的一阶导数值，即2。两端的二阶导数己知，即其特殊情况SxQ）=Sxn）=0,称为自然边界条件。3当f(x)是以xn-x0为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数。这时边界条件应满足S(x(j+0)=S(xn_0),Sx0+0)=Sxn_0),S（q+0）=S（-0）,而此时儿=儿。这样确定的样条函数S(x),称为周期样条函数。三转角方程：现在构造满足条件S(Xj)=J、(j=0,1,，町及加上相应边界条件的三次样条函数S(x)的表达式。若假定S(x)在节点亏处的值为S(Xj)=叫

4、(j=0,1,?),则由分段三次埃尔米特插值公式可得S(x)=工儿色+竹0,J=o其中勺(X)、p(X)是插值基函数。显然，表达式中S(x)及S(x)在整个区间a,b上连续，且满足s()=儿(;=0,1,)；现需确定伽0=0,1,),可利用S(Xj-0)=S(Xj+0)0=1,，n-1)及某一边界条件來确定。为了求出加J,我们考虑S(x)在xj9xj+l上的表达式这里巧=X严-亏o对S(x)求二次导数得J+lj+i一加円6x-2x,处冲6x-4x.-2x讣r+伫萨竺”,426于是Sx.+0)=-m.-m.+l+科3问-儿J同理，可得匕(X)在区间Et%上的表达式6x-2x.-4x.6x-4x,

5、-2x.6(x.j+x.-2x)+-丄(儿儿T)，246SE-0)=+m.一产(Jj-儿T)。jTjT由条件Sx.+0)=S(Xj-0)(;=1,2,-1),可得1計+211+S久丿1m$+m,+ih,田J=3儿事一儿I儿一儿-1=/x门卩+】上面方程可简化为11卩4一卩用+除全式，并注意儿f,7hjT叫叫切田+2+宀叫+i=g.其中h.h.几广兀莎，儿二兀莎(丿=1,一1),gj=3(久丿XjT宀+d/亏込J)0=1,一1),此方程是关J：未知数,?”，叫的斤-1个方程，若加上边界条件：叫=几则方程变为为只含加”，叫-I的n-1个方程，写成矩阵形式便是210000一叫禺2000m20人200

6、0加30004-22”-2mn-20000-12叫-】J-AJo如果边界条件为SGo)=6Sxn)=f：,则得两个方程2他+仙=3/x0,X-弓九=師；hmn-l+2mn=&”若边界条件为S（x。）=Sxn）=0,即满足自然边界条件，则得两端的方程为2zn0+m1=3/x05x1=g0;.叫-1+2叫=3/Ij,=&丁是，用矩阵形式表为210000叫A2ZA000加0兄2000一000能2ZV1mn-l000012叫.go如果边界条件为周期性条件，则得到化简为fl1+2+其中加+2加”=g/血=宀厂人二丄汁%+2h0+hnSn=3%/Xo，X+4/IXn-lAj)用矩阵形式表示为210004_

7、/?!/U2山000m200012ZV1mn-l一儿0002叫上而得到的方程，每个方程都连系三个加厂加/在力学上解释为细梁在亏故称为三转角方程。这些方程系数矩阵刈角元素均为2,非对角元素/+截而处的转角，4=1,故系数矩阵具有强刈角优势，方程组都有唯一解，可用追赶法求得解=从而得到S(x)o三弯矩方程:三次样条插值函数S(x)可以有多种表达方法，有时用二阶导数值Sxj)=Mj0=0,1,.,/?)表示使用更方便。在力学上解释为细梁在厂截面处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称三弯矩方程。由丁S(x)在区间x.5x/+1上是三次多项式，故S(c)在xx上是线性函数，可表示为X-XX-X.Sx)=M.+M,+JJ对创(x)积分两次并利用3厲)=儿及S(+)=儿斗可定出积分常数，丁是得(x-x.)3%;Xr+儿才6hj(0丄川1)对S(x)求导得卜y+ih飞6由此可求得h.h.y.,-y.叫+0)护厂才心+七十类似地可求出S(x)在区间x.,xj41上的表达式，从而得S化-0)=竿Mh+眄.+H63S利用S(Xj+0)=S(Xj-0)可得比M+2M.+厶Mj+i=J0=1,2,，其中“门A.由前面所示,而a.=oJg+叫=6/%巧胡,只要加上的任一种边界条件就可得到三弯