沥青混凝土永久变形的鉴定与模拟

1、沥青混凝土永久变形的鉴定与模拟沥青混凝土路面主要有 3 种破坏机理 : 车辙、疲劳裂缝和热 裂缝。一般地 , 用于表征永久变形的破坏机理即车辙 ,是路面破坏 中最严重的破坏现象。尽管车辙不是一种较精确的科学术语, 不能表征路面变形的性质 , 但文章之所以论述车辙是因为其受沥青 协会的广泛重视。在重复荷载作用下的沥青混凝土累积永久变形现象具有实 际重要性。在路面纵向上产生一些向外推挤的凹槽 ,这时车辙 （有 时称凹槽 ）很明显。这种变形方式导致路面排水能力降低 , 造成水 损坏,进一步使轮迹下方结构层厚度减少 , 致使路面易发生疲劳 破坏。同时 ,由于凹槽内的路面积水 , 必须考虑行车安全。路面

2、车辙随交通荷载的增加而逐步累积。 虽然路基本质上可 能对车辙有一定的影响 , 但本文关注的是永久变形最为明显的来 源, 例如沥青混凝土层的变形。为得到路基对路面车辙贡献问题 的分析结果及具体数字大小结果 , 需模拟分析土基沥青层结构 , 如采用有限元法。 分析的关键在于沥青混凝土层的本质特征及模 拟。沥青混凝土层的本质特征及模拟 第一种较明显的沥青混凝土层车辙模型是轮胎压力作用下 的路面压密变形 （压实） 。该模型中 ,材料不发生侧向移动。物理 上, 车轮压力下 ,该模型可视为沥青混凝土层孔隙的减小 ,随之由 于路面的剪切变形而产生车辙。 变形使路面材料从车轮下方侧向 移动并推挤到轮迹边缘 ,

3、 可以在车辙附近清楚的观察到材料隆起 现象。对于压实良好的路面 , 剪切变形成为首要的车辙机理 ,因为 轮迹下方的路面压密变形不是主要因素。过去 40年, 沥青路面的许多理论研究都致力于模拟材料的 黏弹性 , 现在还有大量研究工作主要关注疲劳裂缝的分析和模 拟。沥青混合料的疲劳分析需要精确评定在每个加载至卸载周期 内材料散失的能量 , 其中,沥青混凝土的黏弹性模型在此具有重 要的作用。另外 ,疲劳破坏与劲度的降低有关 , 很明显,劲度降低 50%就认为材料已经破坏了。然而有关模拟沥青路面永久变形的研究很少 , 例如由重复荷 载作用引起的疲劳裂缝、车辙等 , 这是由轮载下材料的流变及随 之产生的

4、永久变形而发生的。 现已推荐并广泛采用了一种经验理 论公式,与荷载周期下的永久变形演化形式非常相似。Sousa模型（广义 Maxwell 模型） 以黏弹性和破坏为基础 , 当荷载作用超出 几百个周期时 , 不能获得重复荷载作用下的永久变形累积形式 ; 其他模型都采用经典塑性理论 , 不能反映棘轮效应 , 也就是在恒 定应力幅度下随荷载周期数增加的而产生的累积永久变形。 这些 模型是唯象理论 （塑性）和与试验相似的经验关系的结合 ,即塑性 模型用于计算第一个荷载周期末的永久应变 , 随之, 假设出一种 永久应变与对数曲线 （模拟观察得到的试验结果 , 见后文所述 ） 上 的周期数之间的线性关系式

5、 , 来计算在任意荷载周期下产生的永 久应变。Olsson(2000)利用有限元项目ABAQU分析路面结构的 车辙。一种经典 Drucker-Prager 类塑性模型 , 与一种简单蠕变规 律相结合 ,用于模拟沥青混凝土 , 但没有材料模型与试验观测结 果之间的定量比较。由于沥青混凝土具有典型的黏弹性性质 , 许多研究利用广义 Maxwell 类模型来达到模拟永久变形的目的。 Maxwell 类模型与 广义 Kelvin 类黏弹性模型相反 , 它可以描述在一个荷载 -无荷载 周期内的永久变形 , 但由黏弹性理论并不能得到永久变形的大小 和演变趋势。本文中的沥青混凝土永久变形模型是以塑性理论为基

6、础。广义塑性理论的一个关键特征是从某一应力状态卸载然后再加载,永久变形会从低于卸载应力状态的某一状态开始累积 , 这是与经 典塑性理论之间的重要区别 , 使得预测永久应变的累积大小随加 载周期数而增加。 这是沥青混凝土在重复加载和卸载时的典型力 学行为 , 将在接下来继续讨论。沥青混凝土混合料性能 以下是沥青混凝土混合料的几点主要性能 : 剪切荷载作用 下混合料发生膨胀 , 结果使竖向受限试件在横向荷载作用下产生 竖向应力 ; 加载周期末产生残余变形。另外, 在重复剪切荷载作用下 , 随加载周期数增加而产生的 永久变形累积在对数曲线上服从一种近似线性的力学行为。 很多 沥青混凝土混合料都有这种

7、情况 ,而且它表明 ,在线性曲线上 ,永 久变形的累积大小与加载周期数的降低率之间符合多项式关系。 这种力学行为对于在不同荷载状态下的沥青质及粒料较常见 , 它 表明,随加载周期数的增加 ,材料越不易产生永久应变 ,也就是说 , 材料发生硬化 , 抵抗永久变形的进一步累积。以上提到的第一种性能 , 即在剪切荷载作用下沥青材料发生 膨胀的性能 （ 多项式关系 ）, 与这种力学行为密切相关。粒料也有 这种性能 , 当粒料相互滚动时同样也会发生膨胀。沥青材料的膨 胀在一定程度上受其周围材料的限制 , 使得混合料产生竖向应力 , 这时的混合料极其可能膨胀而产生较大竖向应力 , 而不易产生永 久剪切变形

8、从而导致车辙。该结论可视为集料的联锁力学行为 , 为控制沥青混凝土混合料的车辙提供了稳定的机理。 如果塑性理 论用于模拟沥青混凝土 , 那么当建立表面加载公式时需考虑这个 因素。这种联锁力学行为是在恒定高度下进行重复简单剪切试验 即RSST-CHW得到的，此力学行为也是为什么能成功辨别混合料 将产生车辙的原因。RSST-CH式验被广泛采用为一种可靠的试验 来辨别混合料产生车辙的倾向。试验采用直径15 cm,高5 cm的柱状试件。当一个横向驱动器来施加横向荷载时 ,保持试件高度 不变 , 利用保持试件高度不变来模拟抵抗周围材料的膨胀作用。 驱动器以 0.6 s 的间歇时间循环施加横向荷载 , 形

9、成一个荷载周 期T为0.1 s的半正弦函数。下面将继续讨论文章的模型发展所 要重要考虑的内容。模型的考虑因素 文章所提出的本构模型结合了前面所讨论的原理 , 用广义塑 性理论分析了随荷载周期数而增长的永久变形演变方式, 所以该模型不是经过调整与试验结果匹配的经验公式而得到的, 但这些经验公式以不可逆热力学理论为基础 , 能代表在多向应力和应变 状态下的材料力学行为。 此本构模型由一个弹性元系列和一个塑 性元组成 , 在已构建的模型中 , 弹性公式表达了弹性应变张量和 应力张量之间的相互关系。模型的弹性元为三级超弹性 , 即应力与应变呈三次多项式关 系。模型可以得到在剪切荷载作用下混合料的压缩应

10、力发展情况 这在RSST-CH式验中也非常明显，试验记录了法向力的演变情况 轴向力从试验的最初一个周期开始演变 , 演变过程中无永久剪切 应变。因此本文在模型的超弹性元中引入了联结力学行为。 如果 利用塑性理论 , 通过塑性应变的演变过程来模拟材料膨胀 , 将会 产生法向永久应变。如果产生了法向永久应变 , 在试验的加载周 期末,为了保持试件高度恒定 ,法向压缩弹性应变将可能发生叠 加效应。这种应变本身表现为一种法向压缩应变 , 会随加载周期 数而增加。后文将提出塑性模型 , 继续详细讨论这个结论。模型的塑性元以广义塑性理论为基础 , 描述了变形的不可恢 复部分,特别是混合料的棘轮力学效应 （

11、随加载周期数而增加的 永久变形累积 ） 。弹性模型超弹性材料是一种应变张量 ij 的标量式 , 为应变能量方程 式, 如下:=(ij)(1)它与应力的潜在关系为 :ij=(2)超弹性以热力学为基础。 为了模拟沥青混凝土的弹性力学行 为 , 提出了一种三级超弹性模型 , 即应力 - 应变关系式中应力为应 变部分的三次方 ,因此, 应变不变量在应变能量方程式中为四次 方。简单的一次方弹性 (即线性弹性 ) 模型不能获得混合料在剪切 荷载作用下的膨胀行为。应变能量方程式建立如下 :=a1I+a2I2+a3I+a4I1I2+a5I3+a6I+a7I+a8I1I3+a9II2(3) 其中的三项应变不变量

12、为 :I1=tr()ijI2=tr(2)=ijijI3=tr(3)=ikkmmi应变部分之所以是一种多项式形式 , 是因为它的简单性和完 整性 ,此多项式的有效性将由模拟超弹性和完整模型的试验结果 来评价。由连锁规则得到应力张量为 :ij=()+()+()在式子中加入一些简单代数 , 得到:ij=2a1I1+3a3I21+a4I2+4a6I31+a8I3+2a9I1I2ij+a2+a4I1+2 a7I2+a9I21ij+a5+a8I1mimj(4)材料参数的鉴定三级超弹性应力应变关系包括了 9 种材料参数 , 即 a1a9。 本文利用最优化非线性方案来获取超弹性材料参数 , 其中利用本 质关系

13、和试验结果建立了一个最小二乘方等式。 试验中还进行了 单轴应变压缩、体积压缩和简单剪切试验 , 这些试验在低应变水 平下进行，以此将塑性效应最小化，并在温度较低(4 C)时进行试 验, 将黏滞作用最小化。 由于试验中没有卸载 , 故假设所测得的应 变为弹性应变。单轴应变压缩试验这个试验中 , 试件周长保持不变时的应力为轴向应力。由于 这种配置使试件产生侧限应力 , 进而产生单轴应变状态。该试验 的应变张量为 :=(5)因此可得到 :I1+11+22+33=0(6)I2=+2+2+2=(7)I3=+311+311+322+333+322+333+6121323=(8) 根据等式 (4) 得到 :

14、11=(2a1+a2)0+(3a3+a4+a5)+(4a6+a7+a8+2a9)(9)体积压缩试验试验的应变状态为 :=(10)从而:I1=3(11)I2=(12)I3= (13)再根据等式 (4) 得到 :11=(6a1+a2)+(27a3+a4+a5)+(108a6+3a7+4a8+18a9)(14)简单剪切试验简单剪切试验与重复简单剪切试验(RSSR-CH)相似,其应变状态为 :=(15)因此:I1=0(16)I2=(17)I3=0(18)由等式 (4) 得到的剪切应力为 :12=a2+2a7(19)法向应力为 :11=(a4+a5)(20)建立最小二乘方程式为 :f=(- )uniax

15、ial+(- )2volumetric+(- )shear(21)其中,N1,N2和N3分别为单轴试验、体积试验和剪切试验的 数据点数量。为第 i 个由弹性模型的应力得到的数据点 , 为第 i 个由弹性模型的应力得到的数据点 ,3 个试验同步拟合 , 从而得到 一系列独特的参数。采用同步拟合的方法 , 是因为 3 个试验的试 验参数贡献不一致 ,例如,简单剪切试验中 , 剪切应力仅仅取决于 参数 2 和 7。如果能得到一系列独特的参数 , 对相同材料进行试 验,模型就可以成功用于预测试验结果。 后文中 ,将进行联合模型 的模拟 , 从其中一个试验中获得的参数可以正确预测得到其他试 验的试验结果

16、。通过使用MATLAB最优化工具来将最小二乘等式最小化，得 到的参数值大小见表 1。图 1图 3 为分别利用单轴压缩试验 , 体积压缩试验和剪切试 验的试验参数将 Sousa(1994) 的试验结果和模型模拟结果进行比 较的情况。各图中,试验结果与模型结果都非常一致 ;图4为剪切 试验的轴向应力模型预测结果及剪切应变图。这一系列试验都没有得到图中有关这些变差的试验结果 , 但 不管怎样 , 图形还是表示出了模型模拟连锁现象和膨胀性的能 力。塑性模型 经典塑性理论模型无法预估随着荷载循环次数增加 , 亦即荷 载重复作用达到一定的应力水平而导致的永久变形累积。因此 , 这些模型不能预估前文讨论的棘

17、轮力学行为 ; 广义塑性可以用于 这一目的。 在这种理论中 , 材料达到卸载开始的状态之前 , 重复加 载和塑性应变就开始累积。这一理论作为一种特殊的情况 , 包括 了传统和经典的塑性理论。 这是一种基于热力学内部变量的局部 理论。广义塑性基于带有内部变量的非弹性理论所共有的一个基 本假定,即通过控制变量 （尽管混合控制是可能的 , 但是还是比较 典型的温度和应力应变部分 ） 及数量有限的内部变量来确定局部 热力学状态。 此外 , 因为这是一种与速率无关的理论 , 由内部变量 导出的应力与应变之间的关系不依赖于速率。广义塑性理论和经典塑性理论的区别在于引入了有别于屈 服平面的加载平面概念。 此

18、外,尽管屈服平面仍然存在 , 但是在广 义属性中 , 并不需要一个屈服平面。加载平面可以定义为弹塑性 材料弹性范围的边界。 通过应力 （ 或者在应变控制下的应变 ） 张量 和内部变量可以确定弹性范围 , 并且将其定义为由目前的应力点 能够弹性的达到的应力所组成的区域。经典塑性是一种特例 , 其 弹性范围仅仅依赖于内部变量。 屈服平面可以定义为应力空间中 某一区域的边界 , 在该区域中 , 卸载后的加载和再加载仅仅会产 生弹性应变 , 这一区域称之为弹性域并且是弹性范围的一个子 集。如果在目前的应力点下 , 有可能出现塑性变形 , 那么这个点就 应该在加载平面上 , 并且应该在屈服平面上或在屈服

19、平面以外。 如果从屈服平面以外的点到屈服平面上或其以外的点发生弹性 卸载 ,那么在再加载时就会立即出现塑性变形。 最后,如果内部变 量保持恒定 , 这一过程就可以定义为弹性的。加载平面 从上文的讨论可见 ,加载平面是广义塑性概念的核心 , 并且 这一理论模拟实际材料行为的能力主要依赖于对加载平面的选 择。本文研究中 , 基于以下考虑提出了模拟沥青混合料的平面形 式。沥青及其黏结在一起的集料组成了沥青混合料。 由于集料的 存在 ,沥青混合料的行为在很多方面与砂土等颗粒类材料相似 , 其中之一就是两种材料都会在剪切荷载的作用下发生膨胀。因此 ,这里提出的加载平面的形式类似于 Vermeer 为砂土

20、建立的屈服 平面。但是 , 必须注意到 ,这里的塑性模型是基于广义塑性理论,而 Vermeer 模型是基于经典塑性理论。加载平面的表达式如下:f=I II +rn -Hk(22)其中，I, I,山为应力张量的不变量，定义为I =tr()I =( :-12)m =det()(23)其中 , 指出了双重收缩 , 例如: =ijij,i,j=1,2,3 及其总和 ;H 为各向同性硬化参数;k为各向同性硬化变量；a为参数。路面中 的重复试验以一种方向模拟交通条件 , 也就是说 , 路面交通朝向 一个方向行驶。因此 , 仅仅考虑各向同性硬化就足够了。如果要 模拟双向交通 , 那么在模型中就必须包括运动硬

21、化。流动法则由于在非线性非弹性理论的演化方程中经常采用先验的方 式丄ubl iner根据元素集理论和拓扑理论提出了广义塑性理论的 流动法则和内部变量演化方程式。流动法则如下 :i=h(,i,)(v: )(24)其中， i表示非弹性(这里就是塑性)应变；(T为应力张 量；E为内部变量张量；入为塑性流动方向;h强化了塑性状态的 定义性 , 因此 , 在塑性状态下必须为正值 , 在弹性状态下为 0;v 为 加载平面上的法向张量 ; 上方的点表示对时间求导 ; 麦考利括号 定义如下 :(x)=O,x 0(25)对于入=v时的关联流动法则，塑性流动方程式为:i=h(v : )(26)关联流动法则在预估颗

22、粒类材料过高的塑性膨胀时有一些 缺陷。此外, 从等式 (22) 和(23) 可见, 对于简单剪切试验中的沥青 混合料, 关联流动法则只能余个法向塑性应变。由于试件的高度 保持恒定 , 需要在塑性应变中加入额外的弹性应变 , 从而使加载 循环末期的总法向应变为 0; 这也就意味着 , 需要对试件施加法向 压力。但是, 很明显 , 在试验中并没有这样的残余压力。 根据上述 解释 , 尤其是不能预估法向塑性应变的缺点 , 对沥青混合料提出 了非关联的流动法则。在这种情况下 , 潜在的塑性与加载方程和 入=卩的情况有所不同，其中卩为潜在塑性函数g的梯度，这里 假定为 von Mises 类:g=(27

23、)那么非弹性应变速率为i=h(v : )(28)带入等式 27中的 g 有:i=h(v : )(29)最后, 根据重复加载下观测得到的永久剪应变的演化情况选择 h 的形式,流动法则的最终形式为 :i=(v : )(30)其中，B为应力维数参数；x,l,m 为3个其他参数。硬化法则在广义塑性理论中 , 内部变量的演化方式如下 :=h(,i,)(v: )(31)这里,h采用与流动法则中相同的形式,从而无需引入其他参 数; 在广义塑性理论的框架中 , 不排除流动法则和硬化法则有相 同的形式。硬化变量的演化等式为 :(v: )(32)其中 , 所有字母与流动法则中的意义相同。通过将应变分解为弹性和非弹

24、性 (这里为塑性 ) 部分, 前述模 型方程可以更改为 :=el+i(33)其中 , 弹性部分由三阶超弹性模型控制 , 非弹性部分由塑性 模型控制。 这种分解过程中采用了小应变假设。 提出的模型是一 个完全的非线性材料模型 (即, 由非线性模型控制弹性应变和非 弹性应变 ) 但同时也是一个几何级数的线性模型。通过试验中观 察得到的应变大小 , 可以判别这一结论 , 见图 5。由于多次加载循 环后的永久应变 , 路面中可以发现明显的车辙现象。数值实现 应用非线性方程组的数值解可以实现对模型的模拟和实现。目前在计算中出现的主要问题为:使0,T成为有意义的时间区 间。当时间tn在区间0,T时,假定总

25、应变张量 n,塑性应变部 分e ni以及硬化变量kn已知。那么确定弹性应变张量为:=n-n(34)使u为时段tn,tn+1的位移增量。基本的计算问题就转变 为获取与塑性本构方程式的形式一致的 tn+1 。这一问题是应变 驱动的 , 总的应变张量按照下式变化 :n+1=n+su(35)其中 ,s(.)=(.)+T(.)使用无条件稳定的且为一阶准确的向后欧拉准则 , 可以即时 离散化内部变量的演化方程。得到的方程组如下 :=+(vn+1 : (n+1 -n)(36)k=kn+(vn+1 : (n+1 -n)(37)前面的方程组必须依据加载 -卸载标准求解。 这里, 广义塑性 理论的结构与经典塑性理

26、论相比 , 具有计算方面的优势。这种优 势源于未使用屈服表面及协调条件。 经典塑性理论中的演化方程 式定义了一个单方面约束的演化问题 ,与此不同 ,广义塑性理论 中的演化方程定义了一个普通微分方程系统。 这个系统并不受到 一致条件强化的约束。对这一方程组的求解 , 可以采用 Panoskaltsis 等提出的步骤。加载- 卸载算法的标准如下所示 :如果fn+1 w 0,就处于弹性状态；如果 fn+10, 就处于塑性状态。此外,如果vn+1:( (T n+1-(T n)0,为塑性加载;通过预测 -校正算法 ,可以求解离散的方程组。7.1 预测阶段冻结内部变量 , 则该问题可以视为弹性的。 那么,

27、可以得到如 下的试验关系式 :=,k=kn,=-根据试验结果，可以计算(T和v,然后就可以计算f和V ：(彷-(T )的大小。如果该值小于或等于 0,可以接受这一试验 状态而进入下一个时段 ; 如果两个数值都为正值 , 则内部变量必 须进行更新 , 从而进入校正阶段。7.2 校正阶段经典的弹塑性案例中 , 算法的校正阶段包括了一个朝向屈服 平面的松弛过程 , 这一过程不断演化 , 即称之为返回映射的过程 , 与此不同 , 在广义塑性案例中 , 校正阶段包括了对等式 (36) 和(37) 的直接求解过程。利用相应的算法 , 将麦考利括号带入到这些等式中。利用多维的 Newton-Raphson

28、法则 , 可以求解这一方程组。校正阶段变量的初值是试验中求解的数值。这样有 ,=,k=kn, (T =其中 , 括号中的上标表示迭代次数。算法采用了 Newton-Raphson 法则来求解时间 tn+1 时塑性方 程的最终应力 , 时间 tn+1 时的各向同性硬化变量值以及时间 tn+1 时的非弹性应变值。非线性方程 (k) 迭代的残值为 :R=-(v ：(-n)(38)S=k-k+(v ：(-n)(39)这些等式是线性的 , 可以求解增量 , 和 k, 这些增量体现了从 迭代 k 到迭代 k+1 的变化。然后将应力 , 非弹性应变以及硬化变 量更新至迭代k+1。迭代过程一致持续直到残值等式(38)和(39) 小于给定的限制。随后 , 接受这种求解结果 , 并进入下个时间阶 段。模型模拟和预估最终模型的参数是a1a9以及x,l,H, a , n和m;这些参数 可以通过非线性优化过程获得 , 这一过程类似于前文介绍的获取 弹性参数 a1a9 的过程。优化过程的目标函数为 :f=(-)2(40)式中:N:数据点的数量；: 第 j 个数据点模型预估的非弹性应变数值 ;: 第 j 个试验点的数值。采用