2022年新高考数学二轮提升数列专题第6讲《通项公式的求解策略sn与an关系》（解析版）

1、第6讲 通项公式的求解策略:Sn与an关系参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1（2021蒙阴县校级期中）已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为A，B，C，D，【解答】解：数列满足，时，；时，可得，数列为等比数列，首项为，公比为对任意都有，则的取值范围为故选：二填空题（共3小题）2（2021道里区校级期中）设是数列的前项和，当时，有，则使成立的正整数的最小值为1010【解答】解：，令，则数列是以为首项，以2为公差的等差数列即，得由，解得即正整数的最小值为1010故答案为：10103设数列的前项和为，若且当时，则数列的通项公式【解答】解：数列的前项和为，若且当时，则：，整理得：（常数），所

2、以：数列是以为首项，为公差的等差数列则：，整理得：则：故答案为：4（2021冀州市校级模拟）已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是，【解答】解：数列的首项，其前项和为，且满足，时，即，当时，得：，对，恒成立，即，解得，实数的取值范围是，故答案为：，三解答题（共36小题）5（2021浙江模拟）已知数列前项和为满足，（）求通项公式；（）设，求证：【解答】解：由，得，两式相减，得由，得，所以，即数列是以2为首项，公比为3的等比数列，从而有（7分）证明：由知，从而，所以，当时，从而有；当时，不等式显然成立综上，有成立（15分）6已知数列的前项和为，求的前3项，并求它的通项

3、公式【解答】解：因为，当时，当时，适合上式，故，数列的前3项分别为2，4，67已知数列的前项和是，求数列的前3项，并求它的通项公式【解答】解：，时，时，8（2021武进区校级模拟）已知数列的前项和为，且为与的等差中项，当时，总有（1）求数列的通项公式；（2）记为在区间，内的个数，记数列的前项和为，求【解答】解：（1）因为，所以，因为，依次成等差数列，即有，所以，可得，所以，所以数列是以1为首项、公比为的等比数列，所以；（2）由（1）可得，所以，所以，即，所以；当为偶数时，所以，所以9在数列中，是的前项和，当时，（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和【解答】

4、解：（1），为常数，而，数列是以1为首项，为公差的等差数列（2）由（1）可知，当时，有，故数列的通项公式为（3）由（2）知，两式相减得，10（2021春宣威市月考）已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当时，总是与的等差中项（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求；（）设，是数列的前项和，试证明：【解答】（）解：当时，即，（1分），数列是首项是2，公比是的等比数列，（4分）（）解：由（），知则（5分），得（8分）（）证明：（12分）（14分）11（2021春崂山区校级期中）已知是数列的前项和，当时，且，（1）求数列的通项公式；（2）等比数列满足，求数列的前项和【解答】解：（1）当时，

5、且，即，数列为等差数列，公差为4，首项为0（2）解：设等比数列的公比为，满足，解得：数列的前项和，12（2021安徽月考）已知数列的前项和为，满足，为常数）（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和为【解答】解：（1）令，可得，所以，时，相减可得，所以，又因为满足上式，所以（6分）（2）解法一：因为，所以（12分）解法二：为偶数为奇数所以（12分）13（2021浦城县期中）已知数列的前项和是，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求的取值范围【解答】解：（1）由，得，两式相减得，即，又当时，有，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，故；（2）由（1）可知，所以，所以，则，所以当时，单调递增，

6、且，故，所以的取值范围是，14（2021永昌县校级月考）已知数列为正项等比数列，数列满足，且（）求数列和的通项公式；（）若的前项和，求的取值范围【解答】解：（）令，则，所以，令，则，所以，因为，所以，设数列的公比为，则，所以因为，当时，由得，则，当时也成立，所以，；（）由（）可知，所以，因为随着的增大而增大，当时，当时，所以的取值范围是，15（2021沈阳四模）已知数列中，其前项和满足（1）求；（2）记，求数列的前项和【解答】解：（1）当时，又，所以，即，在中，令，可得因为，所以，故是首项为，公比为2的等比数列，其通项公式为，所以（2）因为，所以16（2021福田区校级四模）已知数列的前项和为

7、，数列满足（1）求；（2）设，求数列的前项和【解答】解：（1）由已知，得：，解得，故（2）由（）得，所以，所以17（2021温州模拟）已知数列的前项和为，且（）求，及通项公式；（）记，求数列的前项的和【解答】解：（）由，可得，所以，所以，当为奇数时，也符合上式；当为偶数时，故通项公式（2）当为奇数时，当为偶数时，故，令，则，令，为奇数项和，为偶数项和，所以，所以，所以18（2021厦门一模）在，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：已知数列的前项和为，且满足 _，若，求使不等式成立的最小正整数【解答】解：选，则，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，所以，

8、又，也满足上式，所以选是与的等比中项，则，两式相减可得，即，则，所以数列为常数列，所以，所以选，两式相减可得，即，即，所以，即，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以所以，所以，即，解得，所以使不等式成立的最小正整数19（2021河南期末）已知数列的前项和满足，数列满足（）求，的通项公式；（）若数列满足，求的前项和【解答】解：（）由题意，当时，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，化简整理，得，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，（）由（），可得，两式相减，可得，20（2021皇姑区校级期末）已知数列前项和为，且，数列为等差数列，且（）求数列和的通项公式；（）若，求的前项和【解答】解：（

9、），可得，即有，时，又，两式相减可得，即有，可得时，则；设等差数列的公差为，由，即为，即，解得，则；（）时，；时，所以前项和21（2021碑林区校级模拟）已知数列的前项和为，若，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解答】解：（1）因为，所以，因为，所以，所以，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以，当时，所以（2）由（1）知，所以，所以数列的前项和22已知数列的前项和为，且（1）证明为等比数列；（2）若，求的前项和【解答】证明：（1）数列的前项和为，且当时，整理得，当时，整理得，故数列是以4为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）得：，所以，所以，故，故23（2021淮安期末

10、）从条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答已知数列的前项和为，_（1）求数列的通项公式；（2）若，成等比数列，求正整数的值【解答】解：若选：（1）因为，所以，相减可得，整理可得，又，所以，故；（2）由（1）可得，则，因为，成等比数列，所以，即，又，所以若选择：（1）因为，变形可得，因为，所以，故数列是等差数列，首项，公差也为1，所以，则，当时，当时，也适合上式，故；（2）由（1）可知，所以，因为，成等比数列，所以，即，又，所以若选：（1）因为，所以，相减可得，整理可得，因为，所以，即，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以；（2）由（1）可得，则，因为，成等比数列，所以，即，又，

11、所以24（2021连城县校级月考）已知正项数列的前项和为，是与的等比中项，数列中，若，且（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）若，记数列的前项和为，对，求使不等式恒成立的的最小正整数值【解答】证明：（1）正项数列的前项和为，是与的等比中项，解得，且，是首项为4，公比为2的等比数列，解：（2）由（1）可得，时，整理，得，数列是首项为1，公差为2的等差数列，由可得，数列为递增数列，对，不等式恒成立，的最小正整数值为225（2021息县校级三模）已知在数列中，前项和为，若（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求【解答】解：（1）因为，所以，从而，因为，所以，从而，所以数列是一个

12、首项为、公差为1的等差数列，则，即，当时，当时，所以（2）由（1）可知当时，又因为当时满足上式，所以26（2016荆州模拟）已知数列中，其前项和满足（）求数列的通项公式；（） 若，设数列的前的和为，当为何值时，有最大值，并求最大值【解答】解：（）由题意知，即（3分）（5分），（7分）检验知，2时，结论也成立，故（8分）（） 由（10分）当时，；当时，；当时，（12分）故或时，达最大值，（14分）27（2016秋儋州校级期末）已知数列满足，（1）求证：数列为等差数列；（2）求的通项公式【解答】（1）证明：则：整理得：所以：即：数列为等差数列（2）解：由（1）得：则：当时，所以：28（2021河西

13、区一模）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，恰为等比数列的前3项（）求数列，的通项公式；（）设，求数列的前项和【解答】解：，时，相减可得：，即，数列的各项均为正数，即，数列在时是等差数列，公差为1，由题意可得：，解得由时，解得满足数列是等差数列，公差为1，首项为2可得：等比数列的前3项分别为2，4，8首项为2，公比为2数列的前项和29（2021春瑶海区月考）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且当时，、构成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和为，求【解答】解：（1）由题意，可知，当时，则有，两式相减，可得，化简整理，得，即，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，（

14、2）由（1）知，当为奇数时，当为偶数时，综合，可得30（2021春平顶山期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足（）证明：数列为等差数列；（）求满足的最小正整数【解答】（）当 时，当 时，由 得：，化简得所以数列 是以 4 为首项，4 为公差的等差数列（）由（）知，所以，所以，当 时，令，即，两边平方整理得，所以，因为，所以 的最小值为 531（2021邵东市校级月考）已知数列的各项均为正数，对任意的，它的前项和满足，并且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求【解答】解（1）对任意，有当时，有，解得或2，当时，有并整理得，而数列的各项均为正数，当时，此时成立；当

15、时，此时不成立，舍去，；（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，且，32（2021南通模拟）已知数列的各项均为正数，前项和为，首项为2若对任意的正整数，恒成立（1）求，；（2）求证：是等比数列；（3）设数列满足，若数列，为等差数列，求的最大值【解答】（1）解：由，对任意的正整数，恒成立，取，可得，即，得取，得，取，得，解得，；（2）证明：取，得，取，得两式相除，得，即，由于，对于任意均成立是首项为4，公比为2的等比数列，则当时，而适合上式，是等比数列；（3）解：由（2）知，设，成等差数列，则，即，整理得，若，则，只能为2或4，则只能为1或2若，则，故矛盾综上，只能是，成等差数列

16、或，为等差数列，其中为奇数，则的最大值为333（2021通州区学业考试）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且（1）求证：数列为等差数列；（2）从数列中抽出个不同的项按一定次序组成新数列若，且，成等差数列，求的值；是否存在偶数，使得，成等差数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）证明：当时，由，可得（负的舍去），可得，即有，则数列为首项为1，公差为1的等差数列；（2）由（1）可得，成等差数列，可得，即，设，若，则，无解；若，则，显然不为1，则无解；若，则，显然不为1，所以，所以，容易得，适合，则；若，成等差数列，则，所以，令，2，则，所以即为，若，则均为1，所以，2，不

17、合题意；若，则，即，以此类推，可得，2，这与，矛盾；若，可类似得到矛盾，综上可得，不存在偶数，使得，成等差数列34已知数列，对任意，都有（1）若是首项为1，公差为1的等差数列，求数列的通项公式；（2）若是等差数列，是等比数列，求证：【解答】解：（1）由是首项为1，公差为1的等差数列，得又，得：，又，故，两式相减得，则；（2）证明：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，解得从而可得故35（2021春广东月考）已知数列满足：，（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围【解答】解：（1）因为，所以，解得，同理可得，解得；（2）因为，则有，可得，即，又

18、，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则有；（3）由（2）可得，则，因为，则，由，可得，所以，故有最大值，所以对任意，有，如果对于任意，都有，即恒成立，则，所以，解得或，所以实数的取值范围为36已知数列的首项，其前项和为，且满足；（1）求数列的通项公式；（2）当时，证明：对任意，都有【解答】解：（1），可得时，即有；由，得，两式相减得，故，两式再相减得，构成以为首项，公差为6的等差数列；，构成以为首项，公差为6的等差数列由（1）得；由条件，取得，得，从而，；（2）证明：由（1）可得为偶数时，；为大于1的奇数时，可得；则37（2021春内江期末）已知数列的前项和为，且，数列满足，对任意，都有（1）求数列、的通项公式；（2）令求证：；【解答】解：（1）数列的前项和为，且，两式相减得，即，又，故数列的通项公式数列满足，对任意，都有数列是等比数列，首项、公比均为，数列的通项公式证明：（2），两式相减得：，当时，38（2021新罗区校级期中）已知数列满足对任意的都有，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，不等式式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1），则有，得，同样有，得，又，即当时都有，数列是首项为1，公差为1的等差数列，（2）