黄金分割专项练习

1、黄金分割专项练习 ABC.定义：如图1,点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图 2, 中，AB=AC=1 , / A=36 , BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D .(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.如图，用长为 40cm的细铁丝围成一个矩形 ABCD (ABAD).1c40cmAB(1)若这个矩形的面积等于 99cm2,求AB的长度；(2)这个矩形的面积可能等于 101cm2吗？若能，求出 AB的长度，若不能，说明理由；(3)若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之比等于黄金比 返二1),求该矩形的面积.(结果保留根号)

2、29.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形,如在矩形ABCD中，当时,称矩形ABCD为黄金矩形ABCD .请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.DC10.如图，设 AB是已知线段，在 AB上作正方形 ABCD ;取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB ; 以线段AF为边作正方形 AFGH ,则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说.12.已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点 D在AB上，且AD2=BD?AB,求兴的值.五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C, D分别

3、是线段AB的黄金分割点，AB=20cm ,求EC+CD的长.0.618时，是比较好看的黄.人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为金身段.一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？.如图，点P是线段AB的黄金分割点，且 APBP,设以AP为边长的正方形面积为 S1,以PB为宽和以AB为 长的矩形面积为 S2，试比较&与S2的大小.,y ,., 一,人rJr - 1.如图，在平行四边形 ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且 D为AE的黄金分割点，即AD=一通BE交DC于点F,已知AB=V5 + 1,求CF的长.AP RP

4、20.（如图1）,点P将线段AB分成一条较小线段 AP和一条较大线段 BP,如果常嗑，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设 J=k,则k就是黄金比，并且 k-0.618.BP AB口A p图e图a图3（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰4APB （如图2）,等腰4APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为:满足-0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义:（2）如图1,设AB=1，请你说明为什么 k约为0.618;（3）由线段的黄金分割点联想到图形的黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为 S1和面积为S2的两部分（设S1V

5、S2）,如果二上，那么称直线l为该图形的黄金分割线.（如图 s2 S3）,点P是线段AB的黄金分割点，那么直线 CP是4ABC的黄金分割线吗？请说明理由;（4）图3中的 ABC的黄金分割线有几条？21.在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618,越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60m,她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）23.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片 ABCD ,先折出BC的中点E,再折出线段AE ,然后通过折叠 使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B；因而EB=

6、EB.类似地，在 AB上折出点B使AB =AB 这时B 就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.25.如图，在 4ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC ,已知/ ACE=108, BC=2 .（1）求/ B的度数；（2）我们把有一个内角等于 36。的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比运二2写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由;求AD的长; 在直线AB或BC上是否存在点P （点A、B除外），使4PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点巳 简 要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由.A.折纸与证明 用纸折出黄

7、金分割点：第一步：如图（1）,先将一张正方形纸片 ABCD对折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE的对角线BF.第二步：如图（2）,将AB边折到BF上，得到折痕 BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点（AGGD）AD.三角形中，顶角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形，如图 1,在4ABC中，已知：AB=AC ,且/ A=36 .(1)在图1中，用尺规作 AB的垂直平分线交 AC于D,并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)；(2) ABCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3)设至二上试求k的值；AC(4)如图2,在AAiBlCl中，已知AiBl=AlCl, /A

8、i=108,且A1B1=AB ,请直接写出 , 一 的值.30.如图1,点C将线段AB分成两部分，如果壬卑，那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行 Ad AC课题学习时，由黄金分割点联想到黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为上 E S 1 S n八、S1, S2,如果 w二,那么称直线D 3 l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在 4ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图 2),则直线CD是 ABC的黄金分割 线.你认为对吗？为什么？(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究

9、小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交 AB于点巳再过点D作直线DF / CE,交AC于点F,连接EF (如图3),则直线EF也是4ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是平行四边形 ABCD的边AB的黄金分割点，过点 E作EF/ AD ,交DC于点F,显然直线EF 是平行四边形 ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形 ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形 ABCD 各边黄金分割点.黄金分割专项练习30题参考答案：1. (1)证明：: AB=AC=1 ,.Z ABC= ZC=1 (180 - Z A) =1 (180 - 36 ) =72 ,22 BD平分/ AB

10、C交AC于点D,.Z ABD= Z CBD= 1Z ABC=36 ,2./ BDC=180 - 36 - 72 =72 ,DA=DB , BD=BC ,AD=BD=BC ,易得 ABDCs ABC ,BC: AC=CD : BC,即 BC =CD?AC , 2AD =CD?AC ,.点D是线段AC的黄金分割点；(2)设 AD=x ,贝U CD=AC - AD=1 - x, 2-AD =CD ?AC,2) Vs - Vs -12即AD的长为在二122 .解：(1)设 AB=xcm ,贝U AD= 根据题意得x (20-x) =99, 整理得 x2- 20 x+99=0 ,解得 xi=9, 当 x

11、=9 时，20 - x=11 ;当 x=11 时,x =1 - X, 解彳导 X1=-, X2= ,(20 - x) cm,X2=11,20- 11=9,2而 AB AD,所以x=11 ,即AB的长为11cm；(2)不能.理由如下：设 AB=xcm ,贝U AD= (20 - x) cm,根据题意得x (20-x) =101 , 2整理得 x - 20 x+101=0 ,因为uZOZ 4X101= - 4V0,所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2;(3)设 AB=xcm ,贝U AD= (20 - x) cm, a/r - 1根据题意得 根-x=V? x,2解得x=10

12、(遍- 1),则 20-x=10 (3 - V5),所以矩形的面积=10 (V5- D ?10 (3-V5) = (400点- 800) cm2.3.解：(1) / A=36 , AB=AC ,Z ABC= Z ACB=72 ,BD 平分/ ABC ,Z CBD= Z ABD=36 , Z BDC=72 ,AD=BD , BC=BD ,ABCA BDC ,BD CD 0n AT CDAB-BC， AC-ad52AD =AC ?CD .点D是线段AC的黄金分割点.(2)二点D是线段AC的黄金分割点，Vr -1 入AD=AC ,2 AC=2 ,AD=14.解：(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图,

13、(2)作法：画线段AB作为三角形底边；取AB的一半作 AB的垂线 AC,连接BC ,在BC上取CD=CA .分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为 E;分别连接EA、EB,则4ABE即是所求的三角形.(3)证明：设 AB=2 ,贝U AC=1 , BC=V5, AE=BE=BD=BC CD=n一1,AE.Vs-1 -.AB 2B5.解：(1)由于P为线段AB=2的黄金分割点,贝u AP=2 延工 1 = 4 -1,或 AP=2 - ( VS- 1) =3 - V5；(2)如图，点P是线段AB的一个黄金分割点.AP B6.解：(1)设 AC=x ,则 BC=AB - AC=1 x, a

14、c2=bc?ab ,X2=1 x (1 - x),整理得x2+x- 1=0,解得 X1=2 1 , x2=(舍去)，所以线段AC的长度为(2)设线段AD的长度为x, AC=l ,ad2=cd?ac , -x2=i x(l - x),T+爬一 1 一旗人，X1=2-，x2= (舍去)，线段AD的长度返二IaC ;2(3)同理得到线段 AE的长度返二IaD ;2上面各题的结果反映： 若线段AB分成两条线段 AC和BC (AC BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB :AC=AC : BC),则C点为AB的黄金分割点7.解：D是AC的黄金分割点.理由如下：.在 4ABC 中，AB=AC ,

15、/ A=36 ,/ ABC= / ACB= 1_=72 ,2Z 1 = 7 2,/ 1 = Z 2=1ZABC=36 .2在 4BDC 中，Z BDC=180 - Z 2 - Z C=72 ,./ C=Z bdc ,bc=bd .Z A= Z 1 ,ad=bc . ABC 和 BDC 中，/2=/A, /C=/C,abca bdc ,迫区BD-CD又 ab=ac , ad=bc=bd , AC_ AD ) AD CD AD2=AC ?CD,即D是AC的黄金分割点8.证明：AB=AC , / A=36 ,./ ABC=1 (180 - 36) =72,2 BD平分/ ABC ,交于 AC于D,.

16、/ DBC=1 ABC= 1x72 =36 ,22/ A= / DBC ,又/ c=/c,. BCD ABC ,.工匚ID ABBC ab=ac ,BC CD 一=, AC BC AB=AC=2 , bc=Vs- 1, (Vs-1)_2=2X (2-AD),解得 AD= V5 - 1,AD : AC=(近1) : 2.点D是线段AC的黄金分割点.MBc9.证明：在 AB上截取 AE=BC , DF=BC ,连接EF. AE=BC , DF=BC , AE=DF=BC=AD , 又. / ADF=90 ,四边形AEFD是正方形.BE= .1.1 - .Z .三C-B二 一|；:22二BC- 2

17、，.矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形 BCFE是黄金矩形. ，黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.D F CAE B10.解：设正方形 ABCD的边长为2, 在RtAAEB中，依题意，得 AE=1 , AB=2 , 由勾股定理知 EB=-= .TT=:AH=AF=EF - AE=EB - AE=T, HB=AB - AH=3 -“；AH2=(粕 - 1) 2=6-2遍，AB?HB=2X (3-V5) =6 -2/5, ah2=ab ?HB ,所以点H是线段AB的黄金分割点.11 .证明：(1)A=36, Z 0=72,./ ABC=180 - 36 - 72 =72 ,.

18、 / ADB=108 ,./ ABD=180 - 36 - 108 =36 ,. ADB是等腰三角形，. / BDC=180。-/ ADC=180 - 108 =72,. BDC是等腰三角形，AD=BD=B0 .(2)/ DBC=/A=36, /C=/C,ABCA BD0 , BC: A0=0D : B0 , bc2=ac ?DC , BC=AD ,AD2=AC ?dc,.点D是线段AC的黄金分割点.解： D 在 AB 上，且 AD2=BD?AB ,.点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，AC=立1】AB=泥T , AD=AB AB= 1AB= JLjAB=3 &或 AD=V 1 ,

19、 AC=3 泥，CD=y-1 - (3-巫)=2而 4,.里带. 4=12或里人用工返二.AC V5-12 AC 3-V52.解：矩形 ABFE是黄金矩形. AD=BC , DE=AB ,.AE AD-DE BC-AB BC2 _ .巡+1 5+1 _ 2_Vs _ 1=-1=iAB- AB - AB AB 诋222.矩形ABFE是黄金矩形.14.解：: D为AB的黄金分割点（ADBD）, AD= V_LaB=10 V5 - 10, EC+CD=AC+CD=AD , EC+CD= （10泥-10） cm .解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段,根据题意得x： 1.70=0.618,即

20、 x=1.70 X0.618Z.1 （m）.pd=VaD2 + AP=遍，答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段.解：（1）在 RtAAPD中，AP=1 , AD=2 ,由勾股定理知AM=AF=PF - AP=PD - AP=&T , DM=AD - AM=3 -巡.故AM的长为Vs - 1 , DM的长为3 - V5 j (2)点M是AD的黄金分割点.AD 2.点M是AD的黄金分割点.解：二.点P是线段AB的黄金分割点，且 APBP,. . AP2=BP 沿B , 2 八又 Si=AP , S2=PB 沿B , 1- Si=S2.解：二四边形 ABCD为平行四边形，/ CBF= /

21、 AEB , / BCF= / BAE , . BCFA EAB ,.图1,即迪g,CF BA AE AB把 AD=Y-出 AB=，j+1 代入得，近_=-, 22V5+1解得：CF=2.故答案为：2 .19.解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：:四边形 ABEF是正方形,AB=DC=AF ,又AB=V5AD- 2AF_V5-i二AD- 2即点F是线段AD的黄金分割点. FD AF V5-1研一AD2DC 2.矩形CDFE是黄金矩形.20.解:(1)满足IXJaL 民长一宽+长2618的矩形是黄金矩形;RP(2)由2二k 得，BP=1k=k,从而 AP=1 - k,AB由里1得，BP2=APAB

22、,BP AB即 k2= (1 - k) M ,解得k=1 一屈,2k0,k=-2用.618;2(3)因为点P是线段AB的黄金分割点，所以 期BP AB设4ABC的AB上的高为h,则APC,BPCAPXh6iBPXhAP sabk iBPXh BP . -=Z-四运瓯lABXh检.辽APC 办帆 EFC AAEC,直线CP是 ABC的黄金分割线.(4)由(2)知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q,则AQ也是黄金分割线，设点W的直线均是4ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条.AQ 与 CPW,则过21.解：根据已知条件得下半身长是160O.6=96cm ,设选择的高跟鞋的高度是 xcm,则根

23、据黄金分割的定义得:160+x=0.618,解得：x勺.5cm.故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美.22.解：设正方形 ABCD的边长为2a,在 RtAAEB 中，依题意，得 AE=a, AB=2a ,由勾股定理知EB=二a,AH=AF=EF - AE=EB - AE= （“T） a,HB=AB - AH= （3-加）a；AH2= （6-2遥）a2,AB?HB=2aX （3-加）a= （6-2丫石）a： AH2=AB ?HB ,所以点H是线段AB的黄金分割点.23.证明：设正方形 ABCD的边长为2, E为BC的中点，BE=1ae=Iab2 + BE 卜而，又 BE=BE=1 ,

24、AB =AE - BE=1, . AB： AB=（在 - 1） 1 2点B 是线段AB的黄金分割点.DC24.证明：二正方形 ABCD的边长为2, E为BC的中点, BE=1AE=底“=后 EF=BE=1 ,AF=AE - EF=T5- 1 ,AM=AF= V5- 1 , AM : AB=（&-1） : 2,.点M是线段AB的黄金分割点.25.解：（1） BD=DC=AC .则/ B= / DCB , / CDA= / A .设 / B=x ,则/ DCB=x , / CDA= / A=2x .又/ BOC=108 , . B+Z A=108 . . x+2x=108, x=36 . ./ B

25、=36 ;（2）有三个： ABDC, AADC , ABAC . DB=DC , / B=36 ,. DBC是黄金三角形，（或: CD=CA , / ACD=180 - / CDA / A=36 . CDA是黄金三角形.或 : / ACE=108 ,./ ACB=72 ,又/ A=2x=72 ,Z A=Z ACB .BA=BC . BAC是黄金三角形.ABAC是黄金三角形，至三二，BC- 2BC=2,AC=V5- 1. BA=BC=2 , BD=AC=J-1,AD=BA - BD=2 -（近-1） =3-泥,存在，有三个符合条件的点 P1、P2、P3.AB、BC 得到点 Pi、P2.BC的交点

26、为点 P3.i ）以CD为底边的黄金三角形：作 CD的垂直平分线分别交直线 ii）以CD为腰的黄金三角形：以点 C为圆心，CD为半径作弧与26.证明：在正方形 ABCD中，取 AB=2a ,N为BC的中点，NC=BC=a.2在 RtADNC 中，ND=7NC2+CD2=7a2+（2a） a又 NE=ND ,CE=NE - NC= ypT - 1） a. . CE （在-1）a V5-I -CD 2a 2故矩形DCEF为黄金矩形.（2） CM=AB （4 分）28 .证明：如图，连接 GF,设正方形ABCD的边长为1,则在 RtBCF 中，BF=9Z+cf2也,贝U A F=BF - BA 三三-1 .2设 AG=A G=x,贝U GD=1 x,在 RtAGF 和 RtA DGF 中，有 AF 2+AG5ASC S仙 c立麻_3四边形BEFC一因此，直线EF也是ABC的黄金分割线.(7分)=DF2+DG 2,解得x=_2即点G是AD的黄金分割点(AG GD).29.解：(1)如图所示;c图I BCD是黄金三角形.证明如下：二.点 D在AB的垂直平分线上, AD=BD ,./ ABD= / A. / A=36