浅谈反证法原理及应用

1、-. z. 摘 要反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能到达化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义.本论文主要研究的容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改良反证法教学提供参考.关

2、键词:反证法,否认,矛盾,应用-. zPrinciple and application of the reduction to absurdityABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an e*tremely important role in cultivating and improving the peoples t

3、hinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great signi

4、ficance to establish a correct conception of mathematics.The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;e*pounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe applica

5、tion of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so a

6、s to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity.Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application-. z.目 录TOC o 1-3 t h z u HYPERLINK l _Toc386538967一、引言 PAGEREF _Toc386538967 h 1HYPERLINK l _Toc386538968二、反证法的由来 PAGEREF _Toc386538968 h 1 HYPE

7、RLINK l _Toc386538969 三、反证法的概念及分类 PAGEREF _Toc386538969 h 1HYPERLINK l _Toc386538970一反证法的定义 PAGEREF _Toc386538970 h 1HYPERLINK l _Toc386538971二反证法的分类 PAGEREF _Toc386538971 h 2HYPERLINK l _Toc3865389721归谬法 PAGEREF _Toc386538972 h 2HYPERLINK l _Toc3865389732穷举法PAGEREF _Toc386538973 h 2HYPERLINK l _Toc

8、386538974三反证法的作用 PAGEREF _Toc386538974 h 2HYPERLINK l _Toc386538975四、 反证法的科学依据 PAGEREF _Toc386538975 h 3HYPERLINK l _Toc386538976一反证法的理论依据 PAGEREF _Toc386538976 h 3HYPERLINK l _Toc386538977二反证法的步骤 PAGEREF _Toc386538977 h 3HYPERLINK l _Toc386538978三反证法的可信性 PAGEREF _Toc386538978 h 4HYPERLINK l _Toc386

9、538979五、反证法的应用 PAGEREF _Toc386538979 h 4HYPERLINK l _Toc386538980一反证法在初等数学中的应用 PAGEREF _Toc386538980 h 4HYPERLINK l _Toc386538981二反证法在高等数学中的应用 PAGEREF _Toc386538981 h 6HYPERLINK l _Toc3865389821在数学分析中的应用 PAGEREF _Toc386538982 h 6HYPERLINK l _Toc3865389832在高等代数中的应用 PAGEREF _Toc386538983 h 8HYPERLINK

10、l _Toc386538984三应用反证法应注意的问题 PAGEREF _Toc386538984 h 9HYPERLINK l _Toc3865389851反设要正确 PAGEREF _Toc386538985 h 9HYPERLINK l _Toc3865389862明确推理特点 PAGEREF _Toc386538986 h 9HYPERLINK l _Toc3865389873善于灵活运用 PAGEREF _Toc386538987 h 10HYPERLINK l _Toc3865389884了解矛盾种类 PAGEREF _Toc386538988 h 10HYPERLINK l _T

11、oc386538989六、反证法的教学价值及建议 PAGEREF _Toc386538989 h 10HYPERLINK l _Toc386538990一反证法的教学价值 PAGEREF _Toc386538990 h 10HYPERLINK l _Toc3865389911训练逆向思维 PAGEREF _Toc386538991 h 10HYPERLINK l _Toc3865389922促进数学思维的形成 PAGEREF _Toc386538992 h 10HYPERLINK l _Toc3865389933培养思维严密性 PAGEREF _Toc386538993 h 11HYPERLI

12、NK l _Toc3865389944渗透数学史 PAGEREF _Toc386538994 h 11HYPERLINK l _Toc386538995二反证法的教学建议 PAGEREF _Toc386538995 h 11HYPERLINK l _Toc3865389961屡次反复,螺旋上升 PAGEREF _Toc386538996 h 11HYPERLINK l _Toc3865389972精心研究,训练反设 PAGEREF _Toc386538997 h 12HYPERLINK l _Toc3865389983渗透数学思想方法,训练严密 PAGEREF _Toc386538998 h

13、12HYPERLINK l _Toc386538999七、完毕语 PAGEREF _Toc386538999 h 12HYPERLINK l _Toc386539000八、参考文献 PAGEREF _Toc386539000 h 13-. z一、引言在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一,但在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍,学生在运用上又不如直接证法那样顺理成章,而且在归谬过程学生对所学的定义、定理以及命题本身又要有分析、判断、联想和创造能力,对在怎样的情况下才可采用反证法,学生又不容易判断,所以对反证法的理解和在恰当地应用上都存在不少的问题,因此本文就反证法做一

14、些介绍和探讨.二、反证法的由来反证法顾名思义是一种证明方法,在数学和逻辑上是统一的.早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为万物皆数,用整数和几何图形构建了一个宇宙图式.万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的.随着的出现,希腊人渐渐开场重新审视他们的数学,图形和直观并不是万能的,推理和逻辑走上了数学的舞台.此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性.表现形式就是:逻辑、演绎的体系.可见它是指证明的数学与算的数学正好相反.希腊人重视逻辑和演绎的证明,反证法最早应用在欧几里得的几何原本中.三、反证法的概念及分类一反证法的定义反证法有多种不同

15、的描述,其本质都是一样的.最早的法国数学家J阿达玛在其所著初等数学教程平面几何卷中作了如下的描述:反证法在于说明,假设肯定定理的假设而否认其结论,就会导致矛盾.维基百科中这样描述反证法,就是由否认命题结论的正确性出发,根据题设条件、定义、法则、公理、定理,进展一系列正确的逻辑推理,最后得到一个矛盾的结果.即就是结论的反面不能成立,从而肯定命题结论的正确性,这种驳倒命题结论反面的证法叫做反证法.二反证法的分类反证法分类分为:归谬法和穷举法.1归谬法假设命题的反面只有一种情形,则只需把这一种情形驳倒,便可到达反证的目的.例1两条直线同时平行于第三条直线,则原两条直线互相平行.ACEBDF图1:求证

16、:现用反证法予以证明.假设与不平行,则(利用平行定义的反面意义),(即)、(即)(题设),过点有两条不同的直线与平行,但这与平行公理矛盾平行公理,临时假设不平行矛盾律),故(排中律).2穷举法假设命题题设反面不止一种情况,则必须将其逐一驳倒,才能间接证明题设的正面成立.这就叫穷举法.例2假设,则有,证明:假设不然,则有,与题设矛盾,与题设矛盾,因此,.三反证法的作用牛顿曾经说过:反证法是数学家最精当的武器之一.最早在数学中引用反证法的是古希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉提斯前460年左右,在欧几里得的几何原本中也有不少用反证法的例.我国在五世纪时邱建算经中已有运用.反证法是数学证明中的一种重要方法

17、,当正面不容易或者不能证明时,我们可以从命题的反面来思考问题,假设能恰当使用,往往可以收到较好的效果.特别是有些数学命题至今除了反证法还别无它法,因此认识和掌握反证法就显得十分重要.反证法的科学依据一反证法的理论依据反证法所依据的是亚里士多德的形式逻辑的根本规律中的矛盾律和排中律.其根本容是:在同一论证过程中,对同一对象的两个相矛盾的、对立的判断,不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是矛盾律.如对这个对象,是有理数和是无理数的两个判断中至少有一个是假的.在同一论证过程中,对同一对象的肯定判断和否认判断,这两个相矛盾的判断必有一个是真的,这就是排中律.如要证明是无理数,只要证明是有理数不真就够

18、了.因为是有理数和不是有理数,是对象的两个相矛盾的判断,依据排中律,其中必有一个判断是真的.如能证明不是有理数不真,就可以证明是无理数为真.二反证法的步骤反证法的三个步骤:反设、归谬、结论,三者之间相辅相成,不可分割.1、反设是根底.反设是反证法证题的第一步.反设的正确与否,直接影响反证法的后续步骤.因此,实施教学时,应指导学生做到:先弄清所证命题的条件局部和结论局部各是什么;再找出结论的相反情况,要求做到不重不漏;最后对结论加上不或不是,这样就完成了反设.2、归谬是关键.归谬即利用反设导致矛盾.这不但是反证法的核心局部,而且也是反证法教学的难点所在.一些学生也知道需要经过逻辑推理,才能导出矛

19、盾,但不明确怎样去寻找矛盾.因此,实施教学时,应指导学生明确:反设后条件局部是什么;逻辑推理应向哪个方向前进;矛盾将在何处产生.3、结论是目的.归谬后,其矛盾的产生并非别的原理,只因反设所致,所以命题的原结论就得以成立.至此,反证法证题已经完成,目的也就到达了.三反证法的可信性反证法在其证明过程中,根据矛盾律,对原结论和否认的原结论来说,这两个相矛盾的判断不能同时都为真,必有一假,而条件、公理、定理、法则或者已证明为正确的命题都是真的,所以否认的原结论必为假.再根据排中律,原结论与否认的原结论这一对立的互相否认的判断不能同时为假,必有一个是真,而否认的原结论为假,于是我们得到原结论必为真.综上

20、,我们可以看出反证法是以逻辑思维的根本规律和理论为依据,通过逻辑推理,得出令人信服的正确结论.反证法也是唯物辩证法中否认之否认原理在数学中的具体应用.五、反证法的应用本局部主要总结反证法在初等数学和高等数学的应用.一反证法在初等数学中的应用之前我们主要介绍了一些反证法的概念,对于反证法的定义、历史及逻辑根底有了一定的了解,反证法这种间接证明方法理论上可以用于证明任何题目,但是它像直接证明一样总有局限性,这局部我们主要介绍常用反证法的几类命题.否认性命题:结论以没有、不是、不能等形式出现的命题,直接证法不容易入手,反证法可以发挥它的作用.例1.求证:在一个三角形中,不能有两个角是钝角. 证明:、

21、是三角形的三个角. 求证:中不能有两个钝角.证明:假设中有两个钝角, 则有,这与三角形和为产生矛盾,所以,一个三角形不可能有两个钝角.关于唯一性、存在性、至多至少命题:例2.,求证关于的方程有且只有一个根.证明:假设方程至少存在两个根,不妨设其中的两根分别为,且,则,与矛盾,故假设不成立,结论成立.例3.当时,试证方程和中,至少有一个方程有实数根.证明:假设两个方程,都没有实根,即,.所以,又, 即 ,假设不成立,结论成立.所以说明 和 中至少有一个方程有实根. 例4.试证:不是有理数.分析 我们知道,有理数恒可表示为既约分数为互质的自然数的形式.直接证明这个命题需要证不是任何一个既约分数,这

22、不仅涉及既约分数的无限集,而且也难于把与既约分数联系起来它们本来就没有直接联系.如果使用反证法,情况就迥然不同了.证明:设是有理数,则有互质的自然数,使,由此推出,这说明有因数2,设,代入上式,得,即,这又表示有因数2.于是,有公因数2,这与互质的假设矛盾,因此,不是有理数.评注:本命题使用反证法的优点是只要考察*一特定的有理数,而且自然的把与这个特定的既约分数联系起来了,这就为利用自然数的运算性质导致矛盾的结果创造了有利条件.二反证法在高等数学中的应用反证法虽然是在平面几何教材中出现的,但对数学的其它各局部容,如数学分析、高等代数都可应用.则,终究什么样的命题可以用反证法来证呢当然没有绝对的

23、标准,但证题的实践告诉我们:下面几种命题一般用反证法来证比拟方便.1在数学分析中的应用要能熟练掌握一种解题方法,仅仅满足于会用这种方法解个别题目是不够的,还要在解题的证明中注意积累经历,总结规律,解决何时可以用这种方法来解决的问题,这有助于进一步加深对这种解题的方法实质的理解.下面就数学分析中几类常见的运用反证法证明的命题类型,举例说明反证法的应用.当结论中出现唯一或者量词只有一个时,运用反证法也比拟适宜.例1 收敛数列的极限都是唯一的.证明:假设有*一收敛数列,其极限不唯一,设与,且,不妨设,令,根据极限的定义,存在自然数,使时,有,时,有,因此,当时,有,注意到,便得,但这是不可能的,故假

24、设不成了,所以结论成立.当结论中含有否认词无或者非时,一般用反证法.例2.试证明:假设函数在有限区间可微,但无界,则其导函数也无界.证明:假设在有界,即,有,取定,由拉格朗日中值定理知,存在在与之间,使,而,故,这与无界相矛盾,故结论成立.当结论中以至多或者至少形式出现时用反证法可以收到良好的效果.例3设在上连续,试证:在至少有两个零点.证明:,至少存在一个零点,否则,假设在只有一个零点,假设在两侧异号,有,矛盾,假设在两侧同号,有,矛盾,所以假设不成立,故结论成立,在至少有两个零点.2在高等代数中的应用反证法在数学中有着广泛的应用,针对高等代数中许多结论、定理的证明虽然可以用构造法、数学归纳

25、法等其他方法证明,但是证明过程比拟复杂,有时用反证法证明到达了化难为易的效果.例1.假设可由线性表示,证明:表示方法唯一线性无关.证明:必要性由唯一的线性表示,设,假设线性相关,则存在不全为0,使,于是,不全为0,与不完全一样,这与可由表示方法唯一相矛盾,所以假设不成立,即线性无关.例2设为实矩阵,证:如果,则.证明:假设,设,则线性相关,从而存在不全为零的数,使,设,则,这与矛盾,所以假设不成立,三应用反证法应注意的问题反证法是数学中一种重要的证明方法,在许多方面有着不可替代的作用.它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义.反证法不仅可以单独使用,也可以

26、与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中屡次使用.只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨、提高教学解题能力.1反设要正确正确否认结论是运用反证法的首要问题.如:命题一个三角形中,至多有一个角是直角.至多有一个是指只有一个或一个没有,其反面是有两个直角或三个角都是直角,即至少有两个是直角.2明确推理特点使用反证法证题,要明确我们的任务是否认结论导出矛盾,但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不能预测的,也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的.一般的总是在命题的相关领域里考虑例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定理、公式、定义等,这正是反证法推理的特点.因

27、此,在推理前不必要也不可能事先规定要得到什么样的矛盾.我们在运用反证法时只需正确否认结论,严格遵守推理规则,进展步步有据的推理,一旦出现了矛盾,证明也就完毕了.3善于灵活运用虽然数学证明题一般都可采用反证法,但并不是说,所有证明题都应该使用反证法来证明,就多数题目来说,用直接证法就可以证出,不能一味往反证法上面靠,要灵活运用反证法,毕竟我们平时训练的题目多是运用的直接证法.对待用反证法证题的策略思想是:首先试用直接证法,假设一时不能成功,即可使用反证法.4了解矛盾种类反证法推理过程中出现的矛盾种类是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或局部题设矛盾,可能与真命题定义或公理、或定理、或性质相矛盾

28、,可能与临时假设矛盾或推出一对相互矛盾的结果等.六、反证法的教学价值及建议关于反证法的教学,从早期就要向学生渗透这种思想,凡事不一定非常慎重,只要学生能够明白、认可其中的原理即可.一反证法的教学价值1训练逆向思维为了解决一个面临的数学问题,通常总是先从正面入手进展思考,即根据问题中的条件,搜索运用已掌握的数学知识去推理运算逐步由导出未知.假设从正面入手繁琐或难度较大,不妨考虑问题的相反方面,往往会绝处逢生,开拓解题思路.这种逆向思维,在数学解题中有4种形式:正逆运算转化、条件,结论转化、互为反函数间的转化、以反证法解题,反证法的教学能摆脱学生的思维定势、简化运算过程,明晰解题思路,提高解题速度

29、,促进创新思维.2促进数学思维的形成数学思想方法是科学思维的方法和技术,是数学的精华,它为提醒数学本质,提供了有力的思想武器.数学思想方法是动态思辩的,重在培养创造性、开拓性人才.新一轮课程教学改革强调创造性、生成性,得以形成数学文化、数学思维,如何去做是我们关注的.中国初等数学教育明显的好于西方,但到大学阶段的学生却缺少创造性,很难有所成就,更不必说获诺贝尔奖,这种情况早就应引起我们反思.我们的数学教学偏重于解题训练,题海战术,而启发性思维、理解、悟得思想方法的不多.因而形成学生成绩的两极分化,讨厌数学,甚至数学尖子生也远离数学,回想起数学来就心生畏惧.加强思想方法教学是数学的本质要求,是当

30、下世界经济竞争的需要,也是提高全民族整体素质的重要举措,是社会开展的需要,更是提高数学质量的根本保证.而通过反证法的训练是培养数学思想方法的很好途径.欧几里得很喜欢运用的归谬法,它是数学家最有力的一件武器,比起象棋开局时牺牲一子以取得全局的让子法,它还要高明.象棋奕者不外牺牲一卒或顶多一子,数学家索性把全局拱手让给对方,这种先弃后取、欲擒故纵的策略实在是数学证明中极为有效的一种方法.3培养思维严密性训练逻辑思维能力,反证法是典型的间接证法,也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题.在证明过程中的每一环节都要全面、不遗漏.比方否认原题结论反设后有几种情况,必须进展分类讨论一一加以否认.反证法与直接证法是密切联系的,二者相结合往往相辅相成,相得益彰.就全局而言是反证法,但从局部看,在作反设后的推理过程用的是直接证法.有时在根本直接证法的推理中,又会穿插一段反证法,以确定*些所需论据,反设时,必须注意弄清原题结论的反面,周密地列出与原题结论相悖的所有不同情况,再否认,不能有所遗漏.4渗透数学史提高辩证思维的能力,反证法是一种重要的证明方法,无论在初等数学还是高等数学中,都有广泛的应用,数学中一