2000-2022年(新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷及答案(试题全与答案分开)

1、2022 上海市初中数学竞赛(新知杯)2022 年 12 月 8 日 上午 9:0011:00题 号一18二9101112总 分得 分评 卷复 核一、填空题(每题 10 分)112 72 71. a , b ，那么a3 a b3 b .l1/ l2/ l3/ l , m41/ m2/ m3/ m4， SABCD 100, SILKJ 20,则SEFGH.A 90，AB 6, AC 8, E、F 在 AB 上且 AE 2, BF 3 过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于D ， FD 的延长线交 AC 的延长线于G ，那么GF .凸五边形的边长为a , a, a , a, a , f (x)

2、为二次三项式；当 x a或者 x aa aa 时，f (x) 5 ，1234512345当 x a1a 时， f (x) p, 当 x a a234a 时， f (x) q ，那么 p q .5一个三位数是 35 的倍数且各个数位上数字之和为15，那么这个三位数为.关于 x 的一元二次方程 x2 ax (m 1)(m 2) 0 对于任意的实数a 都有实数根，那么m 的取值范围是.四边形 ABCD的面积为 2022，E 为 AD 上一点，BCE, ABE, CDE 的重心分别为G , G , G ，123那么G G G123的面积为.直角三角形斜边 AB 上的高CD 3 ，延长DC 到 P 使得

3、CP 2 ，过B 作 BF AP 交CD 于 E ， 交 AP 于 F ，那么 DE .二、解答题第 9 题、第 10 题 15 分，第 11 题、第 12 题 20 分BAC 90，四边形 ADEF 是正方形且边长为 1，求 111的最大值.xy a 是不为 0 的实数，求解方程组： x a yABBCCAxy y 1xa11.： n 1, a , a12, a , a3n为整数且a a12 a a3n a a12 a a3n 2013 ，求n 的最小值.12.正整数a、b、c、d 满足a2 c(d 13), b2 c(d 13), 求所有满足条件的d 的值.答案：1. 2 10272.60

4、3.4.05.7356. 2 m 17. 6713265a2 198. 5a2 1229.11 1 1 x 经检验原方程组的解为：x a，a.ABBCCA4a2 1a2 1 y y 【解析】当n 5, a a12 1, a a34 1, a5 2013 满足题设等式，下证当n 4 时，不存在满足等式要求的整数，不妨设a a12 a a ，3n(1)当 n 4 时， 2013 311 61，当a , a12, a , a34中有负整数时，必为a a 2015a a 1, 34，假设a 1, a 2013 不满足条件，当12a a3 4 201334a 3, a34 671 a a34 2a4 2

5、015 无解.不可能，当a , a12, a , a34中无负整数时，显然a 2013 ， a 671，容易验证等式不可能成立.44当 n 3时，当a , a , a123中有负整数时，必为a a12 1, 显然等式不成立，当a , a , a123中无负整数时，同上容易验证等式不可能成立.当 n 2 时， a , a12均为正整数，同上易验证等式不可能成立.综上所述， n 的最小值为 5. 12. d 852022 上海新知杯初中数学竞赛答案2022 年新知杯上海市初中数学竞赛试卷2022 年 12 月 9 日 上午 9:0011:00题 号一18二9101112总 分得 分评 卷复 核解答

6、本试卷可以使用科学计算器一、 填空题每题 10 分，共 80 分的边上的高为 ，与边平行的两条直线将的面积三等分，那么直线 与 之间的距离为。同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为 的概率，那么的值为。在平面直角坐标系中，点 ， ，点 在直线上，使得是等腰三角形，那么点的坐标是。在矩形使得中，。点。分别在是矩形内部的一点，假设四边形上， 的面积为，那么四边形的面积等于。使得平面上一动点是素数的整数 共有个。到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时， 。一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式是常数 的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数， 那么这个梯

7、形的面积为 。将所有除以那 么 数。余 和除以 余 的正整数从小到大排成一列，设 。这里表示这数列的前表示不超过实数项的和， 的最大整二、 解答题第 9,10 题，每题 15 分，第 11,12 题，每题 20 分，共 70 分如图，是正方形，求证：或者内一点，过点分别作，或者的垂线，垂足分别为。解方程组。给定正实数 ，对任意一个正整数 ，记最大整数。，这里，表示不超过实数 的1假设2求证：，求 的取值范围；。证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足2022 年新知杯上海市初中数学竞赛试卷2022 年 12 月 4 日 上午 9:0011:00题号一二总分189101112得分评卷

8、复核解答本试卷可以使用科学计算器一、 填空题每题10 分，共80 分关于 x 的两个方程： x 2 x 3m 0 ， x 2x m 0 ，其中m 0 。假设方程中有一个根是方程的某个根的3 倍，那么实数m 的值是。梯形 ABCD 中，AB / CD ，ABC 90 ，BD AD ，BC 5 ，BD 13 ，那么梯形 ABCD的面积为。3.4.将8 个数 7 ， 5 ， 3 ， 2 ， 2 ， 4 ， 6 ， 13 排列为a ， b ， c ， d ， e ， f ， g ， h ，使得a b c d 2e f g h2 的值最小，那么这个最小值为 。正方形 ABCD 的边长为 4 ， E ，

9、F 分别是边 AB ， BC 上的点，使得 AE 3 ， BF 2 ， 线段 AF 与 DE 相交于点G ，那么四边形 DGFC 的面积为。在等腰直角三角形 ABC 中， ACB 90 ， P 是ABC 内一点，使得 PA 11 ， PB 7 ，PC 6 ，那么边 AC 的长为。有10 名象棋选手进行单循环赛即每两名选手比赛一场，规定获胜得 2 分，平局得1 分，负得0 分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第 2 名的得分是最后五名选手的得分4和的 5 ，那么第2 名选手的得分是。a ， b ， c ， d 都是质数质数即素数，允许a ， b ， c ， d 有相同的情况，且abcd

10、 是35 个连续正整数的和，那么a b c d 的最小值为。二、 解答题第9 ， 10 题，每题15 分，第11 ， 12 题，每题20 分，共70 分如图，矩形 ABCD 的对角线交点为O ，DAC 60 ，角 DAC 的平分线与边 DC 交于点 S ， 直线OS 与 AD 相交于点 L ，直线 BL 与 AC 相交于点 M。求证： SM / LC 。解对 于 正 整 数 n ， 记 n! 1 2 n 。 求 所 有 的 正 整 数 组 a, b, c, d , e, f ， 使 得a! b!c!d!e! f !，且a b c d e f 。解1证明：存在整数 x ， y ，满足 x 24

11、xy y 2 2022 ；2问：是否存在整数 x ， y ，满足 x 24 xy y 2 2011? 证明你的结论。解对每一个大于 1 的整数 n ，设它的所有不同的质因数为p1， p ， . ， p2k，对于每个p 1 i k ，存在正整数aii，使得 paii n piai 1 ，1记 pn p a1 p a2 p2kak 例如， p100 26 52 89 。1试找出一个正整数n ，使得 pn n ；2证明：存在无穷多个正整数n ，使得 pn 1.1n 。解2022 年新知杯上海市初中数学竞赛试卷一、填空题第 15 小题，每题 8 分，第 610 小题，每题 10 分，共 90 分111

12、x 3 ，那么 x10 x5 xx5x10。满足方程x 32y 2 x y 2 3 的所有实数对x，y为。yAMNOBCx直角三角形ABC 中，C 90，BC 6，CA 3 ，CD 为C 的角平分线，那么 。4. 假设前 2022 个正整数的乘积1 2 2011能被2010k整数k 的最大值为。整除，那么正如图，平面直角坐标系内，正三角形 ABC 的顶点B，C 的坐标分别为1，0，3，0，过坐标原点O 的一条直线分别与边AB，AC 交于点M，N，假设OM=MN，那么点M 的坐标为。如图，矩形 ABCD 中，AB=5，BC=8，点 E，F，G，H 分别在边 AB，BC，CD，DA 上，使得AE=

13、2，BF=5，DG=3，AH=3，点 O 在线段 HF 上，使得四边形 AEOH 的面积为 9，那么四边形OFCG 的面积是。整 数 p，q 满 足 p q 2010 ， 且 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程AHD67x 2 px q 0 的两个根均为正整数，那么 p 。EGO实数 a，b，c 满足a b c，a b c 0 且a 0 。设 x ，x 是方12BCF程 ax 2bx c 0 的两个实数根， 那么平面直线坐标系内两点APQAx ，x，Bx ，x之间的距离的最大值为。1221BE如图，设ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD阴影局部的面积为1，设AC 与BE 的交点为P，B

14、D 与CE 的交点为Q，那么四边形APQD 的面积等于。设 a，b，c 是整数，1 a b c 9 ，且abc bca cab 1能被 9CD整除，那么a b c 的最小值是，最大值是。二、 解答题每题 15 分，共 60 分面积为 4 的ABC 的边长分别为 BC a，CA b，AB c，c b ，AD 是A 的角平分线， 点C 是点C 关于直线AD 的对称点，假设C BD 与ABC 相似，求CABC 的周长的最小值。A将 1，2，9 这 9 个数字分别填入图 1 中的 9 个小方格中，使得 7 个三位数abc ，def ，ghi ，beh ，cfi 和aei 都能被 11 整除，求三位数c

15、eg 的最大值设 实 数BDCad gbehcf ix，y，z满 足x y z 0， 且x y2 y z 2 z x2 2 ，求 x 的最大值和最小值称具有a 2 161b 2 形式的数为“好数，其中a，b 都是整数1证明：100，2022 都是“好数。2证明：存在正整数x，y ，使得 x161y161 是“好数，而 x y 不是“好数。2022年新知杯上海市初中数学竞赛试题2022年12月6日一、填空题第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分1、对于任意实数a,b，定义,ab=a(a+b) +b,a2.5=28.5，那么实数a的值是。2、在三角形ABC中， AB b2 1,B

16、C a2 ,CA 2a ，其中a,b是大于1的整数，那么b-a=。3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。4、关于x的方程x4 2x3 (3 k )x2 (2 k )x 2k 0 有实根，并且所有实根的乘P积为2，那么所有实根的平方和为。B5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边EAB上一动点。PEBC，PFCA，那么线段EF长的最小值为。6、设a，b是方程x2 68x 1 0 的两个根，c，d是方程x2 86x 1 0 的两个根，那么(a+ c)( b + c)( a d)( b d)CFA第五题图的值。7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1

17、) , Q (2,2)，函数y=kx1的图像与线段PQ延长线相交交点不包括Q，那么实数k的取值范围是 。8方程xyz=2022的所有整数解有 组。9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，ABC=78，BCD=162。设AD,BC延长线交于E ，那么AEB=。10、如图，在直角梯形ABCD中，ABC=BCD= 90，AB=BC=10，点M在BC上，使得ADM是正三角形，那么ABM与DCM的面积和是。二、此题15分如图，ABC中ACB =90，点D在CA上，使得CD=1,BCAD第二大题图AD=3，并且BDC=3BAC，求BC的长。三、此题15分求所有满足以下条件的四位数abcd ， abcd

18、(ab cd )2 其中数字c可以是0。四、此题15分正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2022的两 两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。五、此题15分假设两个实数a,b,使得, a2 b 与a b2 都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；证明：假设(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，那么a,b都是有 理数；证明：假设(a，b)是和谐的，且 a 是有理数，那么a,b都是有理数；b2022年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分1、对于任意实数a,b，定义,ab=

19、a(a+b) +b,a2.5=28.5，那么实数a的值是。【答案】4， 1322、在三角形ABC中， AB b2 1,BC a2 ,CA 2a ，其中a,b是大于1的整数，那么b-a=。【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。【答案】50,944、关于x的方程x4 2x3 (3 k )x2 (2 k )x 2k 0 有实根，并且所有实根的乘积为2，那么所有实根的平方和为。P【答案】5B5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边EAB上一动点。PEBC，PFCA，那么线段EF长的最小值为。25【答案】5CFA第五题图6、设a，b是方程x2

20、 68x 1 0 的两个根，c，d是方程x2 86x 1 0 的两个根，那么(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值。【答案】27727在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx1的图像与线段PQ延长线相交交点不包括Q，那么实数k的取值范围是 。【答案】1 k 3328方程xyz=2022的所有整数解有 组。【答案】729如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，ABC=78，BCD=162。设AD,BC延长线交于E ，那么AEB=。【答案】2110、如图，在直角梯形ABCD中，90，AB=BC=10，点M在BC上，使DCABC=BCD=得ADM是正

21、三角形，那么ABM与DCM的面积3【答案】300 150二、此题15分如图，ABC中MB第十题图B和是。ACDE第二大题图ACB =90，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且BDC=3BAC，求BC的长。x2 16解：设BC=x，那么BD x2 1 ， AB 那么 BDEADB ,因此BD2 DE DA 3DE 。，如图，作ABD平分线BE，由角平分线定理可知 DE BD DEBD DE 3BD。因此x2 1 AEABAE DEAB BDAB BD9x2 1x2 16 x2 1411，解得BC x 11三、此题15分求所有满足以下条件的四位数abcd ， abcd (ab cd )2

22、其中数字c可以是0。解：设x ab, y cd ,，那么100 x y (x y)2 ，故x2 (2 y 100) x ( y2 y) 0 有整数解，由于10 x 100，故y0。因此x完全平方数， (2 y 100)2 4( y2 y) 4(2500 99 y) 是可设t 2 2500 99 y ，故99 y (50 t)(50 t) ，050-t1，使所有满足题设的三个质数a、b、c 的和 a+b+c 都能被 n整除；2求上一小题中 n 的最大值。四、此题 20 分如图：在RtABC 中，CACB，C=90，CDEF、KLMN 是ABC 的两个内接正方形，SCDEF=441，SKLMN=4

23、40，求ABC 的三边长。2005 年宇振杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题101、6，31；2、4648；3、18；4、5；5、10 2；2 136、 17、18；8、39、3 510、293二、设矩形 ABCD的相邻两边长为 m、n，那么按题意有 m+n= 1 (a b), mn 1 ab ，33因此 m、n 是二次方程 x2 1 (a b)x 31 ab 0 的两正根。3 1 (a b) 0, 1 ab 0 上述二次方程有两正根的条件是33即a (5 2b )b或a (5 2b )b 0或a (5 2b )b 0a (5 2b )b 0a (5 2b )b 0 当 a (5 2b )

24、b或01(例如 n=3)，使n (a b c)2a、b、c 都是大于 3 的质数a、b、c 都不是 3 的倍数假设a 1(mod3), b 2(mod)3 ，例c 2a 5b 2 10 0(mod3) ，这与 C 不是 3 的倍数矛盾同理， a 2(mod3), b 1(mod3) ，也将导致矛盾因此，只能a b 1(mod3)或a b 2(mod3) ， 于是a 2b 3a 0(mod3),从而9 (a b c)当a 7, b 13时, c 2 7 513 79 为质数，a+b+c=99=911；在所有n (a b c)的n 中，最大为 9四、论正方形 CDEF 的边长为 x，正方形 KLM

25、N 的边长为 y，110那么按题设 x=21，y= 2，设 BC=a，CA=b，AB=c，那么 a2+b2=c2注意到ax by 2(S S) 2S abCEBCEAABC x aba b又由AKLABC 得 AL= y b同理，MB= y aab故c AL LM MB x( b 1 a ) yc2 aby abcc2 ababab1 1 (1 c )2 ( 1 1)2 ( 1 2 c2) ( 1 2 1 ) 1y2x2cababc2aba2b2a2abb2c2于是将它代入式，可得ab yc2 c y 212 22进而于是 a、b 是二次方程t 2 21 22 212 22 0 的两根ba a

26、 231 63 11 ， b 231 63 112004 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题一、填空题(前 5 题每题 6 分，后 5 题每题 8 分，共 7 O 分)假设关于x 的二次方程x2+(3a-1)x+a+8=0 有两个不相等的实根x 、x ，且x 1，那么实数1212a 的取值范围是1方程23=3 的解是5 x4 x3 x一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的2 倍；又假设这二位数加上9，那么得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2 倍；原二位数是如图，ABC 中，CD、CE 分别是AB 边上高和中线，CE=BE=1，又CE 的中垂线过点B， 且交 AC

27、于点F，那么CD+BF 的长为 如图，分别以RtXYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，假设直角边YZ=1，XZ=2，那么六边形ABCDEF 的面积为 如图，正方形纸片 ABCD 的面积为 1，点 M、N 分别在AD、BC 上，且AM=BN=2/5，将点 C 折至MN 上，落在点P 的位置。折痕为BQ(Q 在 CD 上)，连PQ，那么以PQ为边长的正方形面积为三个不同的正整数 a、b、c，使 a+b+c=13 3,且任意两个数的和都是完全平方数，那么a、 b、c 是8假设实数 a、b、c、d 满足 a2+b2+c2+d2=10，那么 y=(a-b)2+(a-c)2

28、+(a-d)2+(b- c)2+(b-d)2+(c-d)2 的最大值是实系数一元二次方程 ax2+2bx+c=O 有两个实根 x 、x ，假设 abc，且 a+b+c=0，那么12d=|x -x |的取值范围为 121O如图，ABC 中。AB=AC，点P、Q 分别在AC、AB 上，且AP=PQ=QB=BC，那么A 的大小是二、(此题 16 分)如图PQMN 是平行四边形ABCD 的内接四边形1假设MPBC,NQAB，求证：S 四边形PQMN= 2 SABCD；1假设S 四边形PQMN= 2 ABCD，问是否能推出MPBc 或 NQAB?证明你的结论三、(此题 l 6 分)设n 是正整数，d d

29、 d d 是n 的四个最小的正整数约数，假设 n=d 2+d 2+d 2+d 2，12341234求 n 的值四、(此题l 8 分)如图，ABC，且S16=1，D、E 分别是AB、AC 上的动点，BD 与 CE 相交于点P，ABC使 S=S BPC，求 S的最大值DEPBCDE92003 年宇振杯上海市初中数学竞赛试题2003 年 12 月 7 日 上午 9001100解答本试卷不得使用计算器.一、填空题本大题 10 小题，前 5 题每题 6 分、后 5 题每题 8 分，共 70 分.11221、设曲线C 为函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象，C 关于 y 轴对称的曲线为C ，C 关

30、于 x 轴对称的曲线为C ，那么曲线C 是函数 y 的图象.2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是1 元。一天学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲痁实行每买 5 支送 1 支缺乏 5 支不送，乙店实行买 4 支或 4 支以上打 8.5 折，小王买13 支这种铅笔，最少需要化元。3、实数a、b、c 满足a+b+c=0， a2 b2 c2 0.1，那么a4 b4 c4 的值是.4、凸四边形 ABCD 的四边长为 AB8，BC4，CDDA6，那么用不等式表示A 大小的范围是。5、在 1，2，3，2003 中有些正整数 n，使得 x2 x n 能分解为两个整系数一次式的乘积，那么这样的n 共

31、有个。6、设正整数m，n 满足m n，且是。11m2 mm 12 m 11 1 ，那么m n 的值n2 n237、数 1，2，3， k 2 按以下方式排列：12k 1k 2k 2kk 1k 1k 1k 2k 2任取其中一数，并划去该数所在的行与列；这样做了k 次后，所取出的k 个数的和是。8、如图，边长为1 的正三角形ANB 放置在边长为MN3，NP4 的正方形MNPQ 内，且 NB 在边NP 上。假设正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN 翻转一圈后回到原来起始位置，那么顶点A 在翻转过程中形成轨迹的总长是保存。9、如图，ABC 中，ABBC10，点M、N 在BC 上，使得MNAM4

32、，MACBAN，那么ABC 的面积是。10、ABC 中，C3A，AB10，BC8，那么AC 的长是。二、此题 16 分m ， n 均为正整数，假设关于 x 的方程4x2 2mx n 0 的两个实数根都大于 1，且小于 2，求m ， n 的值。三、此题 16 分如图，正方形ABCD 的边长为 1，点M、N 分别在BC、CD 上，使得CMN 的周长为 2。求1MAN 的大小；2MAN 面积的最小值。四、此题 18 分某学生为了描点作出函数y=ax2+bx+c(a0)的图象，取自变量的7 个值： x x12 x ，且7x x21 x x32 x x76，分别算出对应的 y 的值，列出下表：xx1x2

33、x3x4x5x6x7y51107185285407549717但由于粗心算错了其中一个y 值。请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由。参考答案一 、 1-ax2+bx-c 21095 3O005 40A90 5446527150577 k(k2+1) 85 9103219m二、令f(x)=4x22mx+n，那么y=f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x=42002 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛一、填空题(15 题每题 6 分，610 题每题 8 分，共 70 分)在2002 当中嵌入一个数码组成五位数2002假设这个五位数能被7 整除，那么嵌入的数码“是假设实数a 满足a3

34、a1ax 解为如图，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A处，第二次过A再折叠，使折痕DEBC 假设AB=2，AC=3，那么梯形BDEC 的面积为关于正整数n 的二次式y=n2+an(n 为实常数)假设当且仅当n=5 时，y 有最小值，那么实数n 的取值范围是如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的 4 个顶点为A(10， B(0，10)、C(10，O)、D(O，10)，那么该正方形内及边界上共有个整点横坐标都是整数的点)如图，P 为ABC 形内一点，点D、E、F 分别在BC、CA、AB 上过A、B、作 PD、PE、PF 的平行线，交对边或对边的延长线于点 X、Y、Z假O)、(即

35、纵、C 分别设PD1PE, 1 ，那么 PF =AX4BY3CZ假设ABC 的三边两两不等，面积为15，且中线AD、BE 的3长 分 别为 1 和 2，那么中线CF 的长为8计算：9假设正数x、y、z 满足xyz(x+y+z)=4，那么(x+y)(y+z)的最小可能值为lO假设关于x 的方程 x2 1 4 x2 1 c 恰有两个不同的实数解，那么实数a 的取值范围是23二、(16 分)p 为质数，使二次方程x22px+p25p1=0 的两根都是整数求出p 的所有可能值 三、(16 分)XYZ 是直角边长为 l 的等腰直角三角形 (Z=90)，它的 3 个顶点分别在等腰RtABC(C=90)的三边上求ABC 直角边长的最大可能值四、(18 分)平面上有 7 个点，它们之间可以连一些线段，使7 点中的任意 3 点必存在 2 点有线段相连问至少要连多少条线段?证明你