2022年全国高考文科数学模拟试题及答案新课标卷

1、2022 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第 I 卷一、选择题：（本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。（1） 已知集合 A 1,3,5,7,9 , B 0,3,6,9,12,则 AB (A)(C)3,5(B)3,7(D)3,63,9（2） 复数 3 2i 2 3i（A）1（B） 1（C） i(D) i对变量x, y有观测数据（ x ， y11）（ i 1,2,.,10 ），得散点图1；对变量u, v 有观测数据（ u ， v11）（i=1,2,，10）,得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。（A）变量x 与y 正相关，u 与v

2、 正相关（B）变量x 与 y 正相关，u 与v 负相关（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D）变量x 与 y 负相关，u 与v 负相关有四个关于三角函数的命题：p ： xR, sin2 x + cos2 x = 1p : x, y R , sin(x y) sin x sin y12222p : x 0, ,31 cos 2x 2 sin xp4: sin x cos y x y 2其中假命题的是p ， p14p ， p24p ， p13p ， p23已知圆C1：(x 1)2 + ( y 1)2 =1，圆C2与圆C1关于直线 x y 1 0 对称，则圆C 的2方程为（A） (x 2)

3、2 + ( y 2)2 =1（B） (x 2)2 + ( y 2)2 =1（C） (x 2)2 + ( y 2)2 =1（D） (x 2)2 + ( y 2)2 =12x y 4,设 x, y 满足x y 1,则 z x yx 2 y 2,（A）有最小值 2，最大值 3（B）有最小值 2，无最大值（C）有最大值 3，无最小值（D）既无最小值，也无最大值（7）已知a 3,2 ,b 1,0 ，向量 a b 与 a 2b 垂直，则实数 的值为（A） 11（B）（C） 11（D）7766等比数列a的前n 项和为 S，已知a aa2 0 ， S 38 ,则m nnm1m1m2m1（A）38（B）20（C

4、）10（D）9如图，正方体 ABCD A B C D的棱线长为 1，线段1 1111B D 上有两个动点E，F，且 EF ，则下列结论中错112误的是AC BEEF / 平面ABCD三棱锥 A BEF 的体积为定值AEF的面积与BEF的面积相等如果执行右边的程序框图，输入 x 2, h 0.5 ，那么输出的各个数的和等于（A）3（B）（C） 4（D）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2 ）为（A） 48 122（B） 48 242（C） 36 122（D） 36 242用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值。设f (x) min2x, x 2,10 x (x 0

5、), 则 f x的最大值为（A） 4（B） 5（C） 6（D） 7第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13 题）第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22 题）第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。曲线 y xex 2x 1 在点（0,1）处的切线方程为。已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于 A，B 两点，若 P 2,2 为 AB 的中点，则抛物线C 的方程为。等比数列 a 的公比 q 0 , 已知 a =1， a a 6a ，则 a 的前 4 项和n2n2n1nnS =。4已知函数 f (

6、x) 2sin(x ) 的图像如图所示，则 f 7 12 。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C 三点进行测量，已知AB 50m ，BC 120m ，于 A 处测得水深 AD 80m ，于 B 处测得水深 BE 200m ，于C 处 测 得 水 深 CF 110m ， 求 DEF 的 余 弦 值 。（18）（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 P ABC 中， PAB 是等边三角形，PAC=PBC=90 （）证明：ABPC（）若PC 4 ，且平面PAC 平面 PBC ，求三棱锥P AB

7、C 体积。（19）（本小题满分 12 分）某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.（）A 类工人中和B 类工人各抽查多少工人？（）从A 类工人中抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2表 1：生产能力分组100,110110,120120,130130,140140,150人数48x53表 2：生产能力分组人数110,1206120,130y130

8、,14036140,15018（1） 先确定 x, y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。（20）(12 分)已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和 1（）求椭圆C 的方程（）若P 为椭圆C 的动点， M 为OP过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，OM并说明轨迹是什么曲线

9、。 e（e 为椭圆C 的离心率），求点M 的轨迹方程，（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) x3 3ax2 9a2 x a3 .设 a 1 ，求函数 f x的极值；若 a 1 ，且当 x 1,4 a时， f4 (x) 12a 恒成立，试确定a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 41；几何证明选讲如图，已知 ABC 中的两条角平分线 AD 和CE 相交于 H ， B=60 ， F 在 AC 上，且 AE AF 。（1）证

10、明： B, D, H , E 四点共圆； （2）证明：CE 平分 DEF。（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程。已知曲线Cx 4 cos t,： x 8cos,（t 为参数）， C 2 ： （ 为参数）。1 y 3 sin t, y 3sin ,化C ，C12的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；若C1上的点P 对应的参数为t ，Q 为 C22上的动点，求 PQ 中点 M 到直线x 3 2t,C :3 y 2 t（t 为参数）距离的最小值。（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲如图， O 为数轴的原点， A, B, M 为数轴上三点， C 为线

11、段OM 上的动点，设 x 表示C 与原点的距离， y表示C 到 A 距离 4 倍与C 到 B 距离的 6 倍的和.（1）将 y 表示为 x 的函数；（2）要使 y 的值不超过 70， x应该在什么范围内取值？参考答案：DCCABBACDBAC(13) y 3x 1(14) y2 4x(15) 152(16)0(17) 解：作 DM / AC 交 BE 于 N，交CF 于 MDF MF 2 DM 2 302 1702 10 198 ，DE DN 2 EN 2 502 1202 130，EF (BE FC)2 BC2 902 1202 150 在DEF 中，由余弦定理，6 分DE 2 EF 2 D

12、F 21302 1502 102 29816cos DEF . 12 分2DE EF2 130 15065解：（）因为 PAB 是等边三角形， PAC PBC 90 ,所以 RtPBC RtPAC ,可得 AC BC 。如图，取 AB 中点 D ，连结 PD , CD , 则 PD AB , CD AB ,所以 AB 平面 PDC ,所以 AB PC 。 6 分（）作 BE PC ，垂足为 E ，连结 AE 因为 RtPBC RtPAC ，所以 AE PC ， AE BE 由已知，平面 PAC 平面 PBC ，故AEB 90 8 分因为 RtAEB RtPEB ，所以AEB, PEB, CEB

13、 都是等腰直角三角形。由已知 PC 4 ，得 AE BE 2 ， AEB 的面积S 2 因为 PC 平面 AEB ， 所以三角锥 P ABC 的体积V 1 S PC 812 分33解：（） A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 4 分（）()由4 8 x 5 3 25，得 x 5 ，6 y 36 18 75 ，得 y 15 。频率分布直方图如下 8 分从直方图可以判断： B 类工人中个体间的差异程度更小。 9 分（ii） x 4 105 8 115 5 125 5 135 3 145 123 ，A2525252525x 6 115 15 125 36 135 18 14

14、5 133.8 ，B75757575x 25123 75 133.8 131.1100100A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123，和.解：（）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得a c 1x2解得a=4,c=3,所以椭圆C 的方程为y2 1.a c 7167x2 y21（）设M（x,y）,P(x, y13),其中 x 4,4. 由已知得x2 y2 e2 .而e ，故16( x2 y2 ) 9(x2 y2 ).41由点 P 在椭圆C 上得y21 112 7x2 , 16代入式并化简得9 y2 112,473所以点M 的轨迹方程

15、为 y (4 x 4), 轨迹是两条平行于x 轴的线段（21）解：（）当 a=1 时，对函数 f (x) 求导数，得 f (x) 3x2 6x 9.令 f (x) 0, 解得x1 1, x2 3. 列表讨论 f (x), f (x) 的变化情况：x(, 1)1（-1，3）3(3,)f (x)+00+f (x)极大值 6极小值-26所以， f (x) 的极大值是 f (1) 6 ，极小值是 f (3) 26.（） f (x) 3x2 6ax 9a2 的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a 对称.1若 a 1,则f (x)在1,4a上是增函数，从而4f (x)在1,4a上的最小值是 f (1)

16、3 6a 9a2 , 最大值是 f (4a) 15a2 .由| f (x) | 12a, 得12a 3x2 6ax 9a2 12a, 于是有f (1) 3 6a 9a2 12a,且f (4a) 15a2 12a.14由 f (1) 12a得 a 1,由f (4a) 12a得0 a . 35所以a ( 1 ,1 1 ,10, 4,即a ( 1 , 4.4354 5若 a1,则| f (a) | 12a2 12a.故当x 1,4a时| f ( x) | 12a 不恒成立.所以使| f (x) | 12a(x 1,4a) 恒成立的a 的取值范围是( 1 , 4.45（22）解（：）在ABC 中，因为B=60，所以BAC+BCA=120.因为 AD,CE 是角平分线，所以HAC+HCA=60，故AHC=120 于是EHD=AHC=120.因为EBD+EHD=180，所以 B,D,H,E 四点共圆。（）连结BH，则 BH 为ABC 的平分线，得HBD 30由（）知B，D，H，E 四点共圆，所以CED HBD 30又AHE EBD 60，由已知可得EF AD ，可得CEF 30 所以 CE 平分DEF（23）解：（）C: (x 4)2 ( y 3)2 1,C: x2 y2 1 C为圆心是(4,3) ，半径是 1126491的圆。C2为中心是坐标