2011考研数学姚孟臣概率论与数理统计强化课程讲义全图文

1、2011考研数学姚孟臣概率论与数理统计强化课程讲义全_图文2011考研强化班概率论与数理统计讲义主讲：姚孟臣第1讲 随机事件和概率11 知识网络图 12 重点考核点的分布(1)样本空间与随机事件*(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式)*(3)条件概率与概率的乘法公式*(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性)*(5)全概公式与贝叶斯(Bayes)公式(6)伯努利(Bernoulli)概型各个考核点前面加“*”表示重点考核点；“*”表示次重点考核点；括号前没有标注的表示一般考核点(下同)13 课上复习内容131 预备知识在复习“概率论”之前，我们需要掌握“二值集合”、“组合分

2、析中的几个定理”、“随机现象及其统计规律”和“微积分”等内容，下面将有关内容作一简单介绍：1311 二值集合集合是一个不能给出数学定义的概念，尽管如此，我们仍然可以给它一个定性描述所谓集合就是按照某些规定能够识别的一些具体对象或事物的全体构成集合的每一个对象或事物叫做集合的元素集合通常用大写字母A，B，C表示，其元素用小写字母a，b，c表示设A是一个集合，如果a是A的元素，记作aA，用“1”表示这一隶属关系；如果a不是A的元素，记作aA(或aA)，用“0”表示这一隶属关系因此，我们称这种集合为“二值集合”，在初等概率论中，我们只研究这样的集合 有关二值集合的表示方法、基本性质在初等数学中已作过

3、详细讨论，这里不再重复下面仅就集合的“相等”与“等价”概念以及集合分类情况作一简单介绍例1 设A2，4，8，则集合A的所有子集是，2，4，8，2，4，2，8，4，8，2，4，8注意，在考虑集合A的所有子集时，不要把空集和它本身忘掉 设A，B是两个集合如果AB，BA，那么称集合A与B相等，记作AB很明显，含有相同元素的两个集合相等1例2 设A0，2，3，Bx|x为方程x35x26x0的解，则AB设A，B是两个集合如果B的每一个元素对应于A的唯一的元素，反之A的每一个元素对应于B的唯一的元素，那么就说在A和B的元素之间建立了一一对应关系，并称A与B等价，记作AB与自然数集N等价的任何集合，称为可列

4、集显然，一切可列集彼此都是等价的今后我们常称这类集合中元素的个数为可列个(或可数个)，并把有限个或可列个统称为至多可列个(或至多可数个)例3 设Aa|a2n，nN，Bb|bn21，nN，则AB由上面的讨论可以看出，集合的分类如下： 1312 组合分析中的几个定理1加法原理定理1 设完成一件事有n类方法，只要选择任何一类中的一种方法，这件事就可以完成若第一类方法有m1种，第二类方法有m2种，第n类方法有mn种，并且这m1m2mn种方法里，任何两种方法都不相同，则完成这件事就有m1m2mn种方法2乘法原理定理2 设完成一件事有n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，第n步有mn种方法，并

5、且完成这件事必须经过每一步，则完成这件事共有m1m2mn种方法3排列定义1 从n个不同元素中，每次取出m个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个元素中每次取出m个元素的排列定理3 从n个不同元素中，有放回地逐一取出m个元素进行排列(简称为可重复排列)，共有nm种不同的排列例4 袋中有N个球，其中M个为白色，从中有放回地取出n个：N10，M2，n3；N10，M4，n3考虑以下各事件的排列数： ()全不是白色的球 ()恰有两个白色的球()至少有两个白色的球 ()至多有两个白色的球()颜色相同 ()不考虑球的颜色答案是：当M2时，()83 ()3228 ()322823()3228328383(或1

6、0323) ()2383 ()103当M4时，将上面的24，86即可分析 这是一个可重复的排列问题由定理3，可求出其排列数问题 恰有两个白色球的答案中为什么是3倍的228，而不是1倍或6倍的？ 提示 根据加法原理 2定理4 从n个不同元素中，无放回地取出m个(mn)元素进行排列(简称为选排列)共有本资料由九天考研网 提供 联系QQ:268019001n(n1)(nm1)m种不同的排列选排列的种数用An(或Pnm)表示，即 n! (nm)!mAnn! (nm)!特别地，当mn时的排列(简称为全排列)共有n(n1)(n2)321n!n种不同排列全排列的种数用Pn(或An)表示，即Pnn!，并规定0

7、!14组合定义2 从n个不同元素中，每次取出m个元素不考虑其先后顺序作为一组，称为从n个元素中每次取出m个元素的组合定理5 从n个不同元素中取出m个元素的组合(简称为一般组合)共有n(n1)(nm1)n! m!m!(nm)!m种不同的组合一般组合的组合种数用Cn(或n)表示，即 mmCnn!, m!(nm)!0并且规定Cn1.不难看出mAnC mmn例5 袋中有N个球，其中M个为白色，从中任取n个：N10，M2，n3；N10，M4，n3考虑以下各事件的组合数：()全不是白色的球 ()恰有两个白色的球()至少有两个白色的球 ()至多有两个白色的球()颜色相同 ()不考虑球的颜色答案是：当M2时，

8、302121()C8C2. ()C2C8. ()C2C8.33()C2C8C2C8C2C8(或C10). ()C8. ()C10 21120333当M4时，30212130()C6C4. ()C4C6. ()C4C6C4C6.21120333333()C4C6C4C6C4C6(或C10C4) ()C4C6.()C10分析(略)定理6 从不同的k类元素中，取出m个元素从第1类n1个不同元素中取出m1个，从第2类n2个不同的元素中取出m2个，从第k类nk个不同的元素中取出mk个，并且nimi0(i1，2，k)(简称为不同类元素的组合)，共有CCCm1n1m2n2mknkmi Cnii1k种不同取法

9、例6 从3个电阻，4个电感，5个电容中，取出9个元件，问其中有2个电阻，3个电感，4个电容的取法有多少种？解 这是一个不同类元素的组合问题由定理6知，共有222111C3C4C5C3C4C560即60种取法例7 五双不同号的鞋，从中任取4只，取出的4只都不配对(即不成双)，求()排列数；()组合数111141111答案是：()C10C8C6C4；()C5C2C2C2C2.分析(略)1313 微积分概率论可以分为“高等概率论”与“初等概率论”初等概率论是建立在排列组合和微积分等数学方法的基础上的全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的“概率论”就是初等概率论微积分作为初等概率论的基础知识，除了

10、我们已经比较了解的“函数、极限、连续、可导、可积”等概念之外，还应了解下面的有关概念1可求积与不可求积在微积分中，求不定积分与求导数有很大不同，我们知道，任何初等函数的导数仍为初等函数，而许多初等函数的不定积分，例如xedx,2sinx1dx,dx,sinx2dx,x3dx xlnx等，虽然它们的被积函数的表达式都很简单，但在初等函数的范围内却积不出来这不是因为积分方法不够，而是由于被积函数的原函数不是初等函数的缘故我们称这种函数是“不可求积”的因此，我们可以将函数划分为： 在初等概率论中，正态分布密度函数就是属于可积而不可求积的一类函数42绝对收敛(1)任意项级数的绝对收敛所谓任意项级数是指

11、级数的各项可以随意地取正数、负数或零下面给出绝对收敛与条件收敛两个概念定义3 若任意项级数un1n的各项取绝对值所成的级数|un1n|收敛，则称级数unn1是绝对收敛的；若|un1n|发散，而级数un收敛，则称级数un是条件收敛的n1n1例如，级数(1)n1n11是收敛的，但各项取绝对值所成的级数 n|(1)n1n1111|1. n2n是发散的，因而级数级数(1)n1n11n11是条件收敛又如，级数(1)各项取绝对值所成2nnn1|(1)n1n11n2|11221n2是收敛的，因而级数(1)n1n1n1是绝对收敛的 n2定理7 若级数证明 令un1绝对收敛，则un1n必定收敛un(un0)，1

12、vn(un|un|)(n1,2,)20(un0)，于是 |un|vn0(n1,2, ）由|un1n|收敛，根据正项级数的比较判别法，可知级数vn是收敛的n1考虑到 un2vn|un|， 根据级数的基本性质，可知级数un1n也是收敛的5根据上面的定理，判断任意一个级数un1n的收敛性，可以先判断它是否绝对收敛如果|un1n|收敛，则un也收敛这样一来，我们可以借助于正项级数的判别法来判断任n1意项级数的敛散性了但是，当级数|un1n|发散时，不能由此推出级数un也发散n1在初等概率论中，我们将用绝对收敛这一概念来给出离散型随机变量均值的定义 (2)无穷积分的绝对收敛定义4 如果函数f(x)在任何

13、有限区间a，b(ba)上可积，并且积分收敛，那么，我们称积分a|f(x)|dx定理8 若积分af(x)dx是绝对收敛的此时，我们也称函数f(x)在无穷区间a，)上绝对可积af(x)dx绝对收敛，则f(x)dx必定收敛a上面的定理的逆定理并不成立，也就是说，从af(x)dx的收敛性，不能推出a|f(x)|dx也收敛，例如，积分是收敛的，但是积分 sinxdx x存在若积分 |sinx|x x却发散这一点与定积分不同，对于定积分，从f(x)dx的存在性，必能推出abba|f(x)|dxaf(x)dx收敛，而积分|f(x)|dx发散时，则称积分f(x)dx为条件收aa敛的例如积分asinxx是条件收

14、敛的 x在初等概率论中，我们将用绝对可积这一概念来给出连续型随机变量均值的定义 132 样本空间与随机事件1随机现象及其统计规律性在客观世界中存在着两类不同的现象：确定性现象和随机现象 在一组不变的条件S下，某种结果必定发生或必定不发生的现象称为确定性现象这类现象的一个共同点是：事先可以断定其结果在一组不变的条件S下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象这类现象的一个共同点是：事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种6一般来说，随机现象具有两重性：表面上的偶然性与内部蕴含着的必然规律性随机现象的偶然性又称为它的随机性在一次实验或观察中，结果的不确定性就是随机现象随机性的一面；在相同的条件下

15、进行大量重复实验或观察时呈现出来的规律性是随机现象必然性的一面，称随机现象的必然性为统计规律性2随机试验与随机事件为了叙述方便，我们把对随机现象进行的一次观测或一次实验统称为它的一个试验如果这个试验满足下面的三个条件：(1)在相同的条件下，试验可以重复地进行(2)试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果(3)在进行试验前不能确定出现哪一个结果那么我们就称它是一个随机试验，以后简称为试验一般用字母E表示问题“一个具体的人，在一次乘车郊游时，因发生交通事故而受伤”，是否为随机试验？ 在随机试验中，每一个可能出现的不可分解的最简单的结果称为随机试验的基本事件或样本点，用表示；而由全体基本事

16、件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，记为例8 设E1为在一定条件下抛掷一枚匀称的硬币，观察正、反面出现的情况记1是出现正面，2是出现反面于是由两个基本事件1，2构成，即1，2例9 设E2为在一定条件下掷一粒骰子，观察出现的点数记i为出现i个点(i1，2，6)于是有1，2，6问题 例8、例9中样本空间的子集个数是多少？为什么？ 所谓随机事件是样本空间的一个子集，随机事件简称为事件，用字母A，B，C等表示因此，某个事件A发生当且仅当这个子集中的一个样本点发生，记为A在例9中，1，2，6，而E2中的一个事件是具有某些特征的样本点组成的集合例如，设事件A出现偶数点，B出现的点数大于4，C出现3点，

17、可见它们都是的子集显然，如果事件A发生，那么子集2，4，6中的一个样本点一定发生，反之亦然，故有A2，4，6；类似地有B5，6和C3一般而言，在例9中，任一由样本点组成的的子集也都是随机事件133 事件之间的关系与运算事件之间的关系有：“包含”、“等价(或相等)”、“互不相容(或互斥)”以及“独立”四种事件之间的基本运算有：“并”、“交”以及“逆”如果没有特别的说明，下面问题的讨论我们都假定是在同一样本空间中进行的1事件的包含关系与等价关系设A，B为两个事件如果A中的每一个样本点都属于B，那么称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为AB或BA如果AB与BA同时成立，那么称事件A与事件B

18、等价或相等，记为AB 在下面的讨论中，我们经常说“事件相同、对应概率相等”，这里的“相同”指的是两个事件“等价”2事件的并与交设A，B为两个事件我们把至少属于A或B中一个的所有样本点构成的集合称为事件A与B的并或和，记为AB或AB7设A，B为两个事件我们把同时属于A及B的所有样本点构成的集合称为事件A与B的交或积，记为AB或AB，有时也简记为AB3事件的互不相容关系与事件的逆设A，B为两个事件，如果AB，那么称事件A与B是互不相容的(或互斥的) 对于事件A，我们把不包含在A中的所有样本点构成的集合称为事件A的逆(或A的对立事件)，记为A.我们规定它是事件的基本运算之一在一次试验中，事件A与A不

19、会同时发生(即AA，称它们具有互斥性)，而且A与A至少有一个发生(即AA，称它们具有完全性)这就是说，事件A与A满足：AA, AA.问题 (1)事件的互不相容关系如何推广到多于两个事件的情形？(2)三个事件A，B，C，ABC与AB,AC,BC关系如何？根据事件的基本运算定义，这里给出事件之间运算的几个重要规律：(1)A(BC)ABAC(分配律) (2)ABC(AB)(AC)(分配律) (3)ABAB (德摩根律) (4)ABAB(德摩根律) 有了事件的三种基本运算我们就可以定义事件的其他一些运算例如，我们称事件为事件A与B的差，记为AB可见，事件AB是由包含于A而不包含于B的所有样本点构成的集

20、合例10 在数学系学生中任选一名学生设事件A选出的学生是男生，B选出的学生是三年级学生，C选出的学生是科普队的(1)叙述事件的含义(2)在什么条件下，ABCC成立？(3)在什么条件下，CB成立？解 (1)事件的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员(2)由于ABCC，故ABCC当且仅当CABC这又当且仅当CAB，即科普队员都是三年级的男生(3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即CB成立4事件的独立性设A，B是某一随机试验的任意两个随机事件，称A与B是相互独立的，如果P(AB)P(A)P(B)可见事件A与B相互独立是建立在概率基础上事件之间的一种关系所谓事件A与B相互独立就是

21、指其中一个事件发生与否不影响另一个事件发生的可能性，即当P(B)0时，A与B相互独立也可以用P(A|B)P(A)8来定义由两个随机事件相互独立的定义，我们可以得到：若事件A与B相互独立，则与B，A与B，与B也相互独立如果事件A，B，C满足P(AB)P(A)P(B),P(BC)P(B)P(C), P(AC)P(A)P(C),P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A，B，C相互独立注意，事件A，B，C相互独立与事件A，B，C两两独立不同，两两独立是指上述四个式子中前三个式子成立因此，相互独立一定是两两独立，但反之不一定例11 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A掷第一次出现正面，B掷第二次

22、出现正面，C正、反面各出现一次，则事件A，B，C是相互独立，还是两两独立？解 由题设，可知P(AB)P(A)P(B)，即A，B相互独立而1P(AC)P(A(ABAB)P(AB)P(A)P(B), 4P(A)P(C)P(A)P(ABAB)P(A)(P(AB)P(AB)1111() 2244故A，C相互独立，同理B，C也相互独立但是P(ABC)P()0，而 P(A)P(B)P(C)1111, 2228即 P(ABC)P(A)P(B)P(C),因此A，B，C两两独立问题 (1)两个事件的“独立”与“互斥”之间有没有关系？在一般情况下，即P(A)0，P(B)0时，有关系吗？为什么？(2)设0P(A)1

23、，0P(B)1，P(B|A)P(|)1问A与B是否独立，为什么？由此可以得到什么结论？ 134 概率的定义与性质1概率的公理化定义定义5 设E是一个随机试验，为它的样本空间，以E中所有的随机事件组成的集合为定义域，定义一个函数P(A)(其中A为任一随机事件)，且P(A)满足以下三条公理，则称函数P(A)为事件A的概率公理1(非负性) 0P(A)19公理2(规范性) P()1公理3(可列可加性) 若A1，A2，An，两两互斥，则P(Ai)P(Ai).i1i1由上面三条公理可以推导出概率的一些基本性质性质1(有限可加性) 设A1，A2，An两两互斥，则P(Ai)P(Ai).i1i1nn性质2(加法

24、公式) 设A，B为任意两个随机事件，则P(AB)P(A)P(B)P(AB)性质3 设A为任意随机事件，则P()1P(A)性质4 设A，B为两个任意的随机事件，若AB，则P(BA)P(B)P(A)由于P(BA)0，根据性质4可以推得，当AB时，P(A)P(B)例12 设A，B，C是三个随机事件，且p(A)P(B)P(C)14,P(AB)P(CB)0，P(AC)1,求A，B，C中至少有一个发生的概率 8解 设DA，B，C中至少有一个发生，则DABC，于是P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)又因为P(A)P(B)P(C)而由P(AB)0，有P(ABC

25、)0，所以 11, P(AB)P(CB)0, P(AC), 84315 488P(D)问题 怎样由P(AB)0推出P(ABC)0？提示 利用事件的关系与运算导出 例13 设事件A与B相互独立，P(A)a，P(B)b若事件C发生，必然导致A与B同时发生，求A，B，C都不发生的概率解 由于事件A与B相互独立，因此P(AB)P(A)P(B)ab考虑到CAB，故有CABABAB,10因此P(ABC)P(AB)P(A)P(B)(1a)(1b).2概率的统计定义定义6 在一组不变的条件S下，独立地重复做n次试验设是n次试验中事件A发生的次数，当试验次数n很大时，如果A的频率fn(A)稳定地在某一数值p附近

26、摆动；而且一般说来随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值p为事件A在条件组S下发生的概率，记作P(A)p.问题 (1)试判断下式limnnp成立吗？为什么？(2)野生资源调查问题 池塘中有鱼若干(不妨假设为x条)，先捞上200条作记号，放回后再捞上200条，发现其中有4条带记号用A表示事件任捞一条带记号，问下面两个数2004, x200哪个是A的频率？哪个是A的概率？为什么？ 3古典概型古典型试验：()结果为有限个；()每个结果出现的可能性是相同的等概完备事件组：()完全性；()互斥性；()等概性(满足()，()两条的事件组称为完备事件组)定义7 设古典概型随机试验的基本事件空

27、间由n个基本事件组成，即1，2，n如果事件A是由上述n个事件中的m个组成，则称事件A发生的概率为P(A)m (11) n所谓古典概型就是利用式(11)来讨论事件发生的概率的数学模型根据概率的古典定义可以计算古典型随机试验中事件的概率在古典概型中确定事件A的概率时，只需求出基本事件的总数n以及事件A包含的基本事件的个数m为此弄清随机试验的全部基本事件是什么以及所讨论的事件A包含了哪些基本事件是非常重要的例14 掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率解 设A出现正正，其基本事件空间可以有下面三种情况：()1同面、异面，n12()2正正、反反、一正一反，n23()3正正、反反、反正、正反，n34于是

28、，根据古典概型，对于()来说，由于两个都出现正面，即同面出现，因此，m11，于是有P(A)而对于()来说，m21，于是有 1 2111P(A) 3而对于()来说，m31，于是有P(A)1 4问题 以上讨论的三个结果哪个正确，为什么？例15 求131预备知识的例5中()至()问的概率答案是：当M2时，33131333 ()C8/C10 ()C8/C10 ()C8/C10 ()1 ()C8/C10 当M4时，213333213()C8 C6C4)/C10/C10 ()C4C6/C10 ()(C4333333()(C10 () (C4 C4)/C10C6)/C10分析(略)问题 (1)例15中各问可

29、否使用排列做，为什么？(2)用排列或组合完成例15时哪种方法较为简便？ 例16 求131预备知识的例4中()至()问的概率答案是：当M2时，()8/10 ()328/10 ()(322823)/103 ()(102)/10 ()(28)/10当M4时，将上面的24，86即可分析(略)问题 (1)例16中各问可否使用组合做，为什么？(2)用元素可重复的排列或组合完成例16时，哪种方法较为简便？(3)小结一下“古典概型”中“有放回地抽取”与“无放回地抽取”时分别应采用的方法 例17 求131预备知识的例7中“取出的4只都不配对”的概率11114答案是：C10C8C6C4/P10 或 C5C2C2C

30、2C2/C10 4111143323333333分析(略)例18 从一副扑克牌的13张梅花中，有放回地取3次，求三张都不同号的概率3解 这是一个古典概型问题设A三张都不同号由题意，有n133，mP13，则P(A)m132 n16912问题 如果我们进一步问三张都同号，三张中恰有两张同号如何求出？另外，本题可否使用二项概型计算？ 例19 在20枚硬币的背面分别写上5或10，两者各半，从中任意翻转10枚硬币，这10枚硬币背面的数字之和为100，95，90，55，50，共有十一种不同情况问出现“70，75，80”与出现“100，95，90，85，65，60，55，50”的可能性哪个大，为什么？答案是

31、：出现“70，75，80”可能性大，约为82分析 这是一个古典概型问题设A出现“70，75，80”，由题意，有105546nC20,mC10C102C10C10,则P(A)m151704 n1847564几何概型几何型试验：()结果为无限不可数；()每个结果出现的可能性是均匀的定义4 设E为几何型的随机试验，其基本事件空间中的所有基本事件可以用一个有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件A所包含的基本事件，则称事件A发生的概率为P(A)L(A), (12) L()其中L()与L(A)分别为与A的几何度量所谓几何概型就是利用式(12)来讨论事件发生的概率的数学模型注意，上述事件A的概率P(A

32、)只与L(A)有关，而与L(A)对应区域的位置及形状无关 例20 候车问题 某地铁每隔5 min有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于2 min的概率解 设A每一个乘客等车时间不多于2 min由于乘客可以在接连两列车之间的任何一个时刻到达车站，因此每一乘客到达站台时刻t可以看成是均匀地出现在长为5 min的时间区间上的一个随机点，即0，5)又设前一列车在时刻T1开出，后一列车在时刻T2到达，线段T1T2长为5(见图11)，即L()5；T0是T1T2上一点，且T0T2长为2显然，乘客只有在T0之后到达(即只有t落在线段T0T2上)，等车时间才不会

33、多于2min，即L(A)2因此 图11P(A)L(A)2 L()5问题 (1)例20可否使用一维均匀分布来计算？(2)举例说明：()概率为0的事件不一定是不可能事件()概率为1的事件不一定是必然事件 13 例21 会面问题 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，它们同日到达时会面的概率是多少？解 这是一个几何概型问题设A它们会面又设甲乙两船到达的时刻分别是x，y，则0 x24，0y24由题意可知，若要甲乙会面，必须满足|xy|2，即图中阴影部分由图12可知：L()是由x0，x24，y0，y 24 图12所围图形面

34、积S242，而L(A)242222，因此242222222P(A)1(). 224L()24L(A)问题 例21可否使用二维均匀分布来计算？ 135 条件概率与概率的乘法公式1条件概率前面我们所讨论的事件B的概率PS(B)，都是指在一组不变条件S下事件B发生的概率(但是为了叙述简练，一般不再提及条件组S，而把PS(B)简记为P(B)在实际问题中，除了考虑概率PS(B)外，有时还需要考虑“在事件A已发生”这一附加条件下，事件B发生的概率与前者相区别，称后者为条件概率，记作P(B|A)，读作在A发生的条件下事件B的概率在一般情况下，如果A，B是条件S下的两个随机事件，且P(A)0，则在A发生的前提

35、下B发生的概率(即条件概率)为P(B|A)P(AB)， (13) P(A)并且满足下面三个性质：(1)(非负性)P(B|A)0；(2)(规范性)P(|A)1；(3)(可列可加性)如果事件B1，B2，互不相容，那么P(Bi|A)P(Bi|A).i1i1问题 (1)条件概率在原样本空间中是某一个事件的概率吗？(2)如何判断一个问题中所求的是条件概率还是无条件概率？(3)在一个具体问题中条件概率如何获得？ 14 例22 设随机事件B是A的子事件，已知P(A)1/4，P(B)1/6，求P(B|A)分析 这是一个条件概率问题解 因为BA，所以P(B)P(AB)，因此P(B|A)P(AB)P(B)2 P(

36、A)P(A)32概率的乘法公式在条件概率公式(13)的两边同乘P(A)，即得P(AB)P(A)P(B|A) (14)例23 在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解 设事件A第一次取到正品，B第二次取到次品用古典概型方法求出P(A)950. 100由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以P(B|A)由公式(14)， 5 99P(AB)P(A)P(B|A)9510099519396问题 (1)例23中，问两件产品为一件正品，一件次品的概率是多少？(2)例23中，将“无放回地抽取”改为“有放回地

37、抽取”，答案与上题一样吗？为什么？ 例24 抓阄问题 五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率分析 (1)什么是“抓阄”问题，如何判断它？(2)例24中“求第二个人抓到的概率”是指“在第一人没有抓到的条件下，第二个人抓到的概率”吗？解 这是一个乘法公式的问题设Ai第i个人抓到有物之阄(i1，2，3，4，5)，有A2A2A2(A1A1)A1A2A1A2A1A2A1A2根据事件相同，对应概率相等有P(A2)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1).又因为P(A1)141,P(A1),P(A2|A1), 55415所以P(A2)411 545问题 (1)本题还有其他方法解决吗？(2)若改成n个人抓

38、m个有物之阄(mn)，下面的结论P(Ak)m(k1,2,n) n还成立吗？ 例25 设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色今从袋中随机地取一个球，设事件A取出的球涂有白色，B取出的球涂有红色，C取出的球涂有蓝色 试验证事件A，B，C两两相互独立，但不相互独立证 根据古典概型，我们有n4，而事件A，B同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m1，因而P(AB)1 4同理，事件A发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而2121P(B) 4242111因此，有 P(A)P(B), 224P(A)所以 P(AB)P(A

39、)P(B)， 即事件A，B相互独立类似可证，事件A，C相互独立，事件B，C相互独立，即A，B，C两两相互独立，但是由于P(ABC)而 P(A)P(B)P(C)1, 411111, 22284所以A，B，C并不相互独立例26 加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2、3、5、3，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率答案是：0.124(或10.980.970.950.97)问题 本题使用加法公式还是乘法公式较为简便？ 例27 一批零件共100个，其中有次品10个每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率

40、答案是：0.0084(或10990) 100999816问题 本题若改为“已知第一、二次取到的是次品，求第三次取到正品的概率”，答案与原题相同吗？为什么？(应为90) 98 例28 用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的概率是0.6，试问：(1)用两门高射炮分别射击一次击中飞机的概率是多少？(2)若有一架敌机入侵，至少需要多少架高射炮同时射击才能以99的概率命中敌机？分析 本题既可使用加法公式，也可使用乘法公式解 (1)令Bi第i门高射炮击中敌机(i1，2)，A击中敌机在同时射击时，B1与B2可以看成是互相独立的，从而B1,B2也是相互独立的，且有P(B1)P(B2)0.6，P(B1)P(

41、B2)1P(B1)0.4.方法1(加法公式)由于AB1B2，有P(A)P(B1B2)P(B1)P(B2)P(B1)P(B2)0.60.60.60.60.84方法2(乘法公式) 由于AB1B2，有P(A)P(B1B2)P(B1)P(B2)0.40.40.16,于是 P(A)1P(A)0.84.(2)令n是以99的概率击中敌机所需高射炮的门数，由上面讨论可知，9910.4n 即 0.4n0.01，亦即nlg0.0125.026. lg0.40.3979因此若有一架敌机入侵，至少需要配置6门高射炮方能以99的把握击中它问题 (1)为什么要将5.026进到6？什么时候采取“四舍五入”？(2)通过上面的

42、讨论，小结一下“加法公式”与“乘法公式”的使用问题 136 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式1全概率公式如果事件组A1，A2，An满足(1) A且P(A)0(i1，2，n) iini1(2)AiAj(ij；i，j1，2，n)，则对任一事件B，有17P(B)P(Ai)P(B|Ai).i1n上式称之为全概率公式2贝叶斯公式设A1，A2，An是某一随机试验的一个完备事件组，对任意事件B(P(B)0)，在事件B已发生的条件下事件Ai发生的概率为P(Ai|B)P(Ai)P(B|Ai)P(Aj1n(i1,2,n). j)P(B|Aj)上式称之为贝叶斯公式(或逆概率公式)利用全概率公式和贝叶斯公式计算概

43、率的关键是找满足全概率公式中条件的事件组，即完备事件组A1，A2，An要掌握以下两点：(1)事件B必须伴随着n个互不相容事件A1，A2，An之一发生，B的概率就可用全概率公式计算(2)如果我们已知事件B发生了，求事件Aj(j1，2，n)的概率，则应使用贝叶斯公式这里用贝叶斯公式计算的是条件概率P(Aj|B)(j1，n)这里，我们把导致试验结果的各种“原因”：A1，A2，An的概率P(Ai)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道现在若试验产生了事件B，它将有助于探讨事件发生的“原因”我们把条件概率P(Ai|B)称为后验概率，它反映了试验之后

44、对各种“原因”发生的可能性大小的新知识例29 设某人从外地赶来参加紧急会议他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别3112及，如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别105105111为、试问：(1)他迟到的概率；(2)此人若迟到，试推断他是怎样来的可能性最大？ 4312是解 令A1乘火车，A2乘轮船，A3乘汽车，A4乘飞机，B迟到按题意有：P(A1)3112, P(A2), P(A3), P(A4), 105105 P(B|A1)111, P(B|A2), P(B|A3), P(B|A4)0. 4312(1)由全概率公式，有P(B)i1P(Ai)P(B|Ai)P(Ai|B

45、)411111230 1045310125203(2)由逆概率公式 P(Ai)P(B|Ai)P(A)P(B|A)jjj14(i1,2,3,4),得到18P(A1|B)141,P(A2|B),P(A3|B),P(A4|B)0. 2918由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大例30 三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6，0.7又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率解 设Ai第i个人射中(i1，2，3)，有P(A1)0.5， P(A2)0.6， P(A

46、3)0.7又设B0三人都射不中，B1只有一人射中，B2恰有两人射中，B3三人同时射中，C飞机坠毁由题设可知P(C|B0)0, P(C|B1)0.2, P(C|B2)0.6, P(C|B3)1,并且P(B0)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.50.40.30.06.同理P(B1)P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1)P(2)P(3)P(1)P(A2)P(3)P(1)P(2)P(A3)0.50.40.30.50.60.30.50.40.70.29；P(B2)0.44；P(B3)0.21利用全概率公式便得到P(C)

47、P(Bi)P(C|Bi)i030.0600.290.20.440.60.2110.532由上面的讨论可以看出，在使用全概率公式和逆概率公式解题时，“分析题目，正确写出题设，找出(或计算)先验概率和条件概率”是十分重要的例31 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；又：如果任意取出的零件经检查是废品，求它是由第二台机床加工的概率 答案是：0.973；0.25问题 在例31中“设Ai第i台生产的废品，i1，2”对否，为什么？ 137 伯努利(Be

48、rnoulli)概型19在实际问题中，我们常常要做多次试验条件完全相同(即可以看成是一个试验的多次重复)并且都是相互独立(即每次试验中的随机事件的概率不依赖于其他各次试验的结果)的试验我们称这种类型的试验为重复独立试验在单次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，则在n次独立重复试验中PA发生k次defPn(k)kkCnp(1p)nk(k0,1,2,n). (15)所谓伯努利概型就是利用关系式(15)来讨论事件概率的数学模型伯努利概型又称为独立试验序列概型(或二项概型)问题 (1)相同条件下的多个(独立)试验，可以看作一个试验进行多次，而使用二项概型吗？(2)二项概型与古典概型有何异同？在什么情

49、况下，古典概型问题也可使用二项概型？ 例32 某类电灯泡使用时数在1000 h以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000 h以后最多只坏一个的概率解 这是一个n3，p0.8二项概型问题P3(1)P(0)P(1)例33 袋中有10个球，其中2个为白色，从中有放回地取出3个，求这3个球中恰有2个白球的概率解 方法1 设A恰有2个白球，由古典概型，有n103, m3228，3228 因此 P(A)103方法2 由二项概型，有P(A)P3(2)C()()10102322813228103138 练习题依题意，指出以下各题的主要考核内容：11 袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的

50、6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是_分析 本题主要考查_12 有一批产品，其中正品有n个，次品有m个，先从这批产品中任意取出l个(不知其中的次品数)，然后再从剩下的产品中任取一个恰为正品的概率为( )分析 本题主要考查_13 袋中有5个球，其中1个是红球，每次取1个球，取出后不放回，前3次取到红球的概率为( ) 分析 本题主要考查_14 设两两相互独立的三事件A，B，C，满足：ABC，P(A)P(B)P(C)1，220并且P(ABC)9，求事件A的概率 16分析 本题主要考查_15 设P(A)0，P(B)0，证明(1)若A与B相互独立，则A与B不互斥(2)若A与B互斥，则A与B不独立分析

51、本题主要考查_16 设A，B是两个随机事件，且0P(A)1，P(B)0，P(B|A)P(B|A)，则P(AB)P(A)P(B)分析 本题主要考查_17 设两个随机事件A，B相互独立，已知仅有A发生的概率为概率为1，仅有B发生的41，则P(A)_，P(B)_ 4分析 本题主要考查_18 设随机事件A与B的和事件的概率为0.6，且积事件AB的概率为0.3，则事件A的概率P(A)( )分析 本题主要考查_19 甲、乙两封信随机地投入标号是1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒恰好只投入一封信的概率为( )分析 本题主要考查_110 袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球从中任取3个，求这3个

52、球中至少有1个是白球的概率分析 本题主要考查_111 从52张扑克牌中任取13张，求(1)至少有两种4张同号的概率(2)恰有两种4张同号的概率分析 本题主要考查_112 三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人如今三人各取一只，恰好取到自己的笔的概率是( )；都没有取到自己的笔的概率是( )分析 本题主要考查_113 一批产品共100件，对产品进行不放回地抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的5件产品中至少有一件是废品如果在该批产品中有5件是废品，求该批产品被拒绝接收的概率分析 本题主要考查_114 由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2，10，90的概率分别为0.

53、8，0.15和0.05现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的试分析这批物品的损坏率为多少？ 分析 本题主要考查_115 若有M件产品中包括m件废品，从中任取2件，求21(1)已知取出两件中有一件次品件条件下，另一件也是次品的概率(2)已知取出两件中有一件不是次品的条件下，另一种是次品的概率(3)取出2件中至少有一件是次品的概率分析 本题主要考查_116 袋中有15个小球，其中7个是白球，8个是黑球现在从中任取4个球，发现它们颜色相同，问它们都是黑色的概率为多少？分析 本题主要考查_117 某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为0.3，并且它们下车与否相互独立求在发车时有10

54、个乘客的条件下，中途有3个人下车的概率分析 本题主要考查_118 设有甲、乙两个口袋，甲袋中有9个白球、1个黑球，乙袋中有10个白球现从两个口袋中各任取一球，交换后放回袋中，求交换三次后，黑球在乙袋中的概率分析 本题主要考查_119 在对某厂的产品进行重复抽样检查时，从抽取的200件中发现有4件次品，问能否相信该厂产品的次品率不超过0.005？分析 本题主要考查_120 在第一个箱中有10个球，其中8个是白的；在第二个箱中有20个球，其中4个是白的现从每个箱中任取一球，然后从这两球中任取一球，取到白球的概率为( )分析 本题主要考查_14 典型例题分析11 袋中有4个白球、6个红球，先从中任取

55、出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是_分析 设Ai第i次取到白球，根据古典概型，我们有1C44P(A1)1 1010由于 A2A2A2(A1A1)A1A2A1A2,并且P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)364,P(A1A2)P(A1)P(A2|A1),1091094因此 P(A2)43644 109104 10同理 P(A5)说明 (1)注意一般事件的概率与条件概率的区别(2)有放回地抽取与无放回地抽取，其结果一致，但意义不同12 有一批产品，其中正品有n个，次品有m个，先从这批产品中任意取出l个(不知其中的次品数)，然后再从剩下的产品中任取一个恰为正品的概率为(

56、 ) 分析 这个题目与11类似，用全概率公式解之22方法1 设Ak前l次中恰有k个正品，kq，q1，p；其中qmax(lm，0)，pmin(n，l)又设B第l1个恰为正品，有klkCnCmAqAq1Ap,P(Ak), mn1Cnnk, 而 P(B|Ak)kmnlmnl由全概率公式有P(B)P(Ak)P(B|Ak)kqpn mn举例说明：(1)n3，m5，l4，这时k0，1，2，323P(B)(1560300)/(4C84) 8P(B)(2090605)/(4C84)8n 方法2 利用抓阄问题的讨论，直接得到mn方法3 前l1次取到正品的概率减去前l次取到正品的概率(有条件限制，有时使用起来不一

57、定方便)方法4 (全排列方法)令第l1个位置上为正品，由于有n个正品，故有n种方法，于是P(B)n(mn1)!n(mn)!mn方法5 将第l1次看成第1次，于是1CnnP(B)1mnmn13 袋中有5个球，其中1个是红球，每次取1个球，取出后不放回，前3次取到红球的概率为( )分析 设A前3次取到红球，根据古典概型，有12C1C43P(A) 3C55 说明 利用这一结论，可以计算第3次取到红球的概率：P第3次取到红球P前3次取到红球P前2次取到红球1211C1C4C1C4321 23C55555注意 这里实际用到了互斥情况下的加法公式14 设两两相互独立的三事件A，B，C，满足：ABC，P(A

58、)P(B)P(C)1,224 并且P(ABC)9，求事件A的概率 16分析 设P(A)p由于ABC，有P(ABC)0，根据三个事件两两独立情况下的加P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(B)P(C)P(A)P(C)P(ABC)， 法公式，有即 3p3p0亦即 pp解得 p229, 1630, 1613或(由题意舍去) 441于是 P(A) 4说明 (1)三个事件两两独立，不能推出三个事件相互独立(2)由ABCP(ABC)0，反之不真15 设P(A)0，P(B)0，证明(1)若A与B相互独立，则A与B不互斥(2)若A与B互斥，则A与B不独立分析 (1)由于事件A与B相互独立，且

59、P(A)0，P(B)0，因此P(AB)P(A)P(B)0可见，AB，即事件A与B不互斥(相容)(2)由于事件A与B互斥，即AB，因此P(AB)0，而P(A)0，P(B)0，故P(AB)P(A)P(B)，即事件A与B不可能相互独立说明 (1)事件之间相互独立，并不意味着它们互斥，反之亦然(2)在P(A)0，P(B)0的条件下，两个事件独立与否，是在它们相容情况下讨论的(3)事件的“互斥”与“相互独立”是没有关系的两个“关系”16 设A，B是两个随机事件，且0P(A)1，P(B)0，P(B|A)P(B|A)，则P(AB)P(A)P(B)分析 由公式P(B|A)P(AB)P(AB)P(AB),P(B

60、|A), P(A)P()1P(A)由题设 P(B|A)P(B|A), 即于是，有 P(AB)P(AB), P(A)1P(A)P(AB)P(A)(P(AB)P(AB)P(A)P(ABAB)P(A)P(B),25即A、B相互独立说明 (1) P(B|A)P(B|)是A，B独立的一个充要条件(2)若此题换成下述选择题：设，则_ (A)P(A|B)P(A|B). (B)P(A|B)P(|B).(C)P(AB)P(A)P(B) (D)P(AB)P(A)P(B)时，能否认为(A)与(B)，或(C)与(D)之中必有一个成立17 设两个随机事件A，B相互独立，已知仅有A发生的概率为概率为1，仅有B发生的41，