2019年江苏省高考数学一模试卷(解析版)

1、2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把每小题的 答案填在答题纸相应的位置上）.若集合 A=0, 1,集合 B=0, T,则 AUB=.命题：？x6R, x2+2x+mw0”的否定是.复数Z满足（1+i） Z=| 1-i| ,是Z的虚部为. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000人，并根据 所得数据画出了如图所示的频率分布直方图， 现要从这10000人中再 用分层抽样的方法抽出 100人作进一步调查，则月收入在2500, 3000）（元）内应抽出 人.频率线距。二O.OOOJ二双3 &.D0C2 |二.二二：一一-一一 - 1Q

2、M 工上 亚 30M S5W 工二 月收入元）5.如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10,则输出S的值是 .6. 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球,从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为 .已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线、-*=1 (a0)的右焦点, a J则双曲线的右准线方程.已知函数 久工):卜(1一*)的定义域是 I +8),则实数a的值 为一.若函数 f (x) =Asin (沙 0), (A0,(o0, 4 1门工对n N*恒成立，则实数t的取值范围是. 11.在等腰4ABC 中，CA=CB=6, /ACB=120，点M 满足丽=赤, 则石J庭等

3、于.若对满足条件 x+y+3=xy (x0, y0)的任意 x, y, (x+y) 2第2页(共31页)-a (x+y) +1A0恒成立，则实数a的取值范围是.已知圆 C: (x-3) 2+ (y-4) 2=1 和两点 A (-m, 0), B (m, 0) (m0),若圆上存在点P,使得/ APB=90 ,则m的取值范围 是.已知 A (xi, yi), B(X2, y2)(XiX2)是函数 f (x) =x3-|x| 图象上的两个不同点，且在A, B两点处的切线互相平行，则年的取 值范围为二、解答题：(本大题共6道题，计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)I冗.已知4A

4、BC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, Z B=y(1)若 a=2, b=2V3,求 c 的值；(2)若tanA=2百，求tanC的值.如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，已知/ ACB=90 , BC=CCbE、F分别为AB、AA1的中点.(1)求证：直线EF/平面BC1A1；(2)求证：EJBQ.ATT.如图，有一块扇形草地 OMN,已知半径为R, Z MON=,现 要在其中圈出一块矩形场地 ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B 在弧MN上，且线段AB平行于线段MN(1)若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形 ABCD的面积S;(2)当A在何处时，矩形ABCD的面积

5、S最大？最大值为多少？.已知直线x - 2y+2=0经过椭圆。s+十1 Ob0)的左顶电A a b -和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方 的动点，直线AS, BS与直线:L k寺分别交于M, N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值；(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T, 使得ATSB的面积为卷？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明 理由.已知数列an的首项为a (a?0),前n项和为Sn,且有Sn+ktSn+a(t?0), bn=Sn+1.(I)求数列an的通项公式；(H)当 t=1, a=2 第4页(共31页)时，若对任意

6、n6N*,都有k (+V+昌)wbn,求k的 r 112 0203取值范围;(m)当t八时，若Cn=2 + bl+b2+ Tbn,求能够使数列Cn为等比数列的所有数对(a, t).已知函数f (x) =ex-a (x-1),其中，aS R, e是自然对数的底数.(1)当a=-1时，求函数f (x)在点(1, f (1)处的切线方程；(2)讨论函数f (x)的单调性，并写出相应的单调区间；(3)已知b6 R,若函数f (x) b对任意x6R都成立，求ab的最大值.数学n (附加题)A.(几何证明选讲).如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于 点D, CD=2, DELAB,垂

7、足为E,且E是OB的中点，求BC的长.B.(矩阵与变换).已知矩阵;:的属于特征值b的一个特征向量为求实数a、 .乙aLkb的值.C.(极坐标与参数方程)(0为参数,t为常数)化为普工=（巴七+已cos 9.将参数方程；_Ce1 - e t）sin6通方程(结果可保留e).D.(不等式选讲).设 ai, a2, a3均为正数，且 ai+a2+a3=1,求证：+ +-+9.三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答 题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知一口袋中共有4只白球和2只红球(1)从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红 球

8、得2分，设得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望；(2)从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率.26.在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两 个动点A、B,且满足菽标，过A、B两点分别作抛物线的切线， 设两切线的交点为M.(1)求：0A屈的值；(2)证明：而忘为定值.参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把每小题的 答案填在答题纸相应的位置上）.若集合 A=0, 1,集合 B=0, -1,则 AUB= - 1, 0, 1【考点】并集及其运算.【分析】AUB=x|x6 A或x6B.【解答

9、】解：AUB=-1, 0, 1.故答案为：-1, 0, 1.命题：？ xSR, x2+2x+mw 0的否定是 ？ x6 R, x2+2x+m0 .【考点】命题的否定.【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是？ x6R, x2+2x+m0”，故答案为 ？ x6 R, x2+2x+m0” 3.复数Z满足（1+i） Z=| 1-i| ,是Z的虚部为乎一.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出.【解答】解：复数Z满足（1+i） Z=| 1 - i| ,7=3二收工区一返i1+i Cl+iXl-D

10、22 i.Z的虚部为-春.故答案为：-9.4. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在2500,3000）（元）内应抽出 25 人.，频率相距。.二江5 0.0MJO.CKiJ &.D0C210M 加工工亚3 35M ;二:：月玩）【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图.【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出 2500, 3000） 内的频率，再计算所需抽取人数即可.【解答】解：由直方图可得2500, 3000）（元）月收入段共有100

11、00X0.0005X 500=2500人按分层抽样应抽出2500X=25人.故答案为：25.5.如图是一个算法的流程图，若输入 n的值是10,则输出S的值是54 .开始能束【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n2时，S=10+9+8+ - +2的值.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序, 可知：该程序的作用是输出满足条件 n0)的右焦点， 邕 3则双曲线的右准线方程 x= .【考点】抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线的方程，算出它的焦点为 F (2, 0),即为双曲 线的右焦点，由此

12、建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线 的右准线方程.【解答】解：二.抛物线方程为y2=8x,.2p=8,可得抛物线的焦点为F (2, 0).22;抛物线y2=8x的焦点是双曲线*=1 (a0)的右焦点， a j双曲线的右焦点为(2, 0),可得c=/ZM=2,解得a2=1, 因此双曲线的右准线方程为x=1.故答案为：x=T .8.已知函数小)二1晨1一康)的定义域是 当8),则实数a的值为/一.【考点】对数函数的定义域.【分析】根据函数的定义域，得出x之时，1-言0;由此求出函 数的自变量xlog2a；令log2a斗，即可求出a的值.【解答】解：.函数3口晨1一*）的定义域是 告+8）

13、, TOC o 1-5 h z 二当 x时，1泉0； /Z即方1,.alog2a；A .1令 log2a=,I 1得 a=27=/2；.实数a的值为a. 故答案为：破.9.若函数 f （x） =Asin（3处0）, （A0, e0, | 4三）的部分 图象如图所示，则函数的单调增区间为 16k6, 16k+2 , k6Z .j）2 0 2 48 10.a 7【考点】由丫二人5访（3奸6的部分图象确定其解析式.【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出以由五点法作图求出。的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求第11页（共31页）得函数的单调增区间.【解答】解：由函数f （x）

14、 =Asin（3壮小），（A0,0, 4 ,由2V所以-8n2-4nAtn2,所以t - 8-对n N*恒成立, nt0, y0）的任意 x, y, （x+y） 2-a （x+y） +1A0恒成立，则实数a的取值范围是十 .【考点】函数恒成立问题；基本不等式.【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xyw得，从而可求x+y的 范围，然后由(x+y) 2- a (x+y) +1A0得卡叶叶/恒成立，则只 要awg+P+黑封即可【解答】解：:“。，y0/. x+y+3=xy6由(x+y) 2- a (x+y) +1n0可得 叶片击恒成立令x+y=t, f (t) =t+4在6, +oo)上单调递增，

15、则当t=6时f (t) min=f(6)=37 =&aw37故答案为：a0),若圆上存在点 巳使得/APB=90 ,则m的取值范围是 4, 6.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】根据圆心C到O (0, 0)的距离为5,可得圆C上的点到点 O的距离的最大值为6,最小值为4,再由/ APB=90 ,可得Po4) AB=m,从而得到答案.【解答】解：圆C: (x-3) 2+ (y-4) 2=1的圆心C (3, 4),半径 为1,.圆心C到O (0, 0)的距离为5,圆C上的点到点。的距离的最大值为6,最小值为4,再由/ APB=90，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得POAB=m,故有4 mX2)

16、是函数 f (x) =x3一|x| Xn图象上的两个不同点，且在A, B两点处的切线互相平行，则子的取值范围为(-1, 0).【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导， 通过在A, B两点处的切线互相平行，即在 A, B两点处的导数值相 等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧.根据A, B两点 处的导数相等，得到X1与X2的关系式，根据关系式得出它表示的曲 线，然后利用式子的几何意义求解.【解答】解：由题意，f (x) =x3|x| = : K工, 工 0当 XA0 时，f(x) =3x2 1,当 x乂2, 所以x10, x2X2

17、, X20）3 y表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：工表示这个曲线上的点与原点连线的斜率， si叼由图可知丁取值范围是（-1, 0）,故答案为：（-1, 0）. K132二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）I冗I.已知4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, / B行（1）若 a=2, b=2*,求 c 的值；（2）若tanA=2百，求tanC的值.【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】（1） A ABC中，由条件利用余弦定理可得b2=12=4+c2-4c?cos,由此求得c的值.(2)由 tanA=2, tanB=ta

18、np=6,再根据 tanC=tan (A+B)，计算求得结果.,由余弦定理【解答】解：（1） A ABC 中，.a=2, b=2js5 / B-可得 b2=12=4+c2 - 4c?co/=4+c2 - 2c,求得c=4,或c= - 2 （舍去），即c=4.(2)若 tanA=23 , / tanB=tan- =/3 , .tanC=tan (A+B)tanA+tanB23+3_-tanAtanfi - 1 -2限 1 5，.如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，已知/ ACB=90 , BC=CCi,E、F分别为AB、AA1的中点.（1）求证：直线EF/平面BCiAi;（2）求证：EF

19、XB1C.【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.【分析】（1）欲证直线EF/平面BC1A1,只需证明EF平行平面BC1A1中的一条直线即可，由E、F分别为AB、AA1的中点，可知EF/A1B, EF/A1B?平面 BC1A1,问题得证.（2）欲证EF BQ,只需证明EF的平行线A1B垂直于BQ即可，第17页（共31页）也即证明BiC垂直于AiB所在的平面BAiCi,又须证明BiC垂直于 平面BAiCi中的两条相交直线，由三棱柱ABC - AiBiCi为直三棱柱， 以及/ACB=90 , BC=CCi,极易证明 BCiXBiC, AiCiXBiC, 而BCi, AiCi为平面BAi

20、Ci中的两条相交直线，问题得证.【解答】解：(i) E、F分别为AB、AAi的中点，/. EF/AiB. EF?平面 BCiAi, AiB?平面 BCiAi.EF/平面 BCiAi. . /ACB=90 ,ACBC,.三棱柱ABC-AiBiCi为直三棱柱，ACCCi,.AC，平面 BBiCiC,.AC，BiC,又.AiCi/AC, .AiCiLBiC,. BC=CCi, BCXCCi, /. BCiXBiC.BiC，平面 BAiCi, /. BiCXAiB由(i)知，EF/AiB/. EFXBiC.JCi7.如图，有一块扇形草地 OMN,已知半径为R, /MON二旬，现要在其中圈出一块矩形场地

21、 ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN(i)若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形 ABCD的面积S;(2)当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【考点】扇形面积公式.【分析】（1）作OHLAB于点H,交线段CD于点E,连接OA、OB,求出AB, EH,可得矩形ABCD的面积S；设/AOB与（004r）,求出AB, EH,可得矩形ABCD的面积S,再求最大值.解：（1）如图,作OHLAB于点H,交线段CD于点E,连接OA、OB,. AB=24sin12OE=DE=-AB=12sinOH=12cosTT12EH=OH-OE=12 (co兀12-

22、siS=AB?EH=144 (2sinjycosj-2sin)，277)=72 (V3 - 1)-IL(2)设/ aob= (0 e0,故可设直线AS的方程为y=k (x+2),从而M曙，号)，由，/2 ,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2 4=01F 上 工-42i+a/4kl+4k2得，1+4产4k，从而打又 B (2, 0)厂北10X310y=-3k设 S (Xi, yi),则二七h故-11= -一二1又k0,1皿仁华当且仅当喈4,即此昌时等号成立.舄时，线段MN的长度取最小值日（2）另解：设S （xs, ys）,见廿 y浦依题意，A, S, M三点共线, 且所在直线斜率存在，周

23、 贤d y z由kAM=kAS,可得 二 V 葭*同理可得： /丁） 斗六+第；二12r-r PfC-4 ys 6目 1 16 F a、九n所以，=J W）-刀不仿设 yM0, yN b对任意x6R都成立，求ab的最 大值.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线 方程.【分析】(1)求出a=- 1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由 点斜式方程即可得到；(2)求出导数，讨论当a0时，令导数大于0,得增区 间，令导数小于0,得减区间；(3)由(2)可得，a0时f (x)取得极小值也为最小值，由恒成 立思想可得 a (2-lna) nb,则 abwa2(2-lna), at

24、=a2(2Tna), 求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到.【解答】解：(1)当a=- 1时，f (x) =ex+x- 1的导数为f(x) =ex+1, 函数f (x)在点(1, f (1)处的切线斜率为e+1,又切点为(1, e),则切线方程为y - e= (e+1) (x-1),即为(e+1)x - y - 1=0；(2)函数 f (x) =ex - a (x - 1)的导数 f (x) =ex - a,当aw 0时，f(x) 0, f (x)递增，则f (x)的增区间为+)；当 a0 时，f(x) 0,解得，xlna, f(x) 0,解得，xlna.即有f (x)的增区间为(lna,

25、 +oo),减区间为(-, lna);(3)由(2)可得，a0时，f (x)在(-8, lna)上递减，在(lna, +s)上递增，则f (x)在x=lna处取得极小值也为最小值，且为 a- a (lna-1) =a(2 - lna).函数f (x) nb对任意x6 R都成立，则有a (2-lna) nb,则 ab a2 (2 - lna),令 t=a2 (2Tna),贝U t =2a2- lna) - a=a (3 2lna),当0a0, t递增；当a/时，t之0, t递减.则1在2=年时取得极大，也为最大，且为 e3 (2 )4e3.则ab的最大值为十e3.数学H (附加题)A.(几何证明

26、选讲)21.如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D, CD=2, DELAB,垂足为E,且E是OB的中点，求BC的长.A 0 E B C【考点】弦切角.【分析】连接OD,则ODLDC,在Roed中，。艮.。5。，所以/ODE=30 ,在 RSdc 中，/ DCO=30 ,由 DC=2,能求出 BC 的长.【解答】解：连接OD,则ODXDC在RtzOED中，:E是OB的中点，oeBoCgd所以/ ODE=30在 RtzODC 中，/DCO=30 .DC=2,g 二。（：皿30收J1所以 BC=OC OB =OC- OD=W3 _ 2V3T咨 1_.3 .B.（矩阵与变换）

27、.已知矩阵:的属于特征值b的一个特征向量为；,求实数a、 .乙aLkb的值.【考点】特征值与特征向量的计算.【分析】由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知；：；卜b；，即 可求实数a、b的值.=b1【解答】解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知 所以匿2,解得=3C.（极坐标与参数方程）广-（广+已cos 9.将参数方程:_（ 0为参数，t为常数）化为普产（/- e sin通方程（结果可保留e）.【考点】参数方程化成普通方程.【分析】当t=0时，y=0, x=cos 0,即y=0,且1wxw1；当t?0时, .sin 嗫J，cos【解答】 解：当t=0时，y=0, x=cos Q即y=0,且一

28、iwxwl； TOC o 1-5 h z 当 t?0 时，sin 8上（七一 一”，cos。圭 f t 公心e222一工1y1所以.Lf t+ -t） Lf -t - 7 巴+匕e ）D.（不等式选讲）11 X.设 a1 , a2, a3 均为正数，且 al+a2+a3=1,求证：% + + 9.【考点】不等式的证明.【分析】由ai, a2, a3均为正数，且曰+a+由=1,运用乘1法和三元 均值不等式，以及不等式的性质，即可得证.【解答】证明：因为a，a2, 与均为正数，且ai+a2+%=1,所以=匚u十二；.:一十|al a2 a3 123 al a2 a33（七安口户.J 1 尸二9，（当且仅当已1二七二%用时等号成立）所以占9.31 a2 a3三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答 题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说