弹性力学大作业计算报告

1、*iijAhjnnwntinivrpitv弹性力学大作业学生姓名:指导老师:所属单位:专题调研或社会调查课题名称：求固支无肋板与加肋板最低阶自然频率山东大学二O二年五月求夹支圆板最低自然频率分析报告摘要：通过能量法和Ansys软件来求一周边夹支圆板的最小自然频率，将这两种方法所得结果与精确解对比，观察误差情况。随后对圆板加肋，同样用能量法和Ansys软件分析此种情况下的最小自然频率。通过这种计算，熟悉弹性力学的解题步骤，熟悉matlab和Ansys的功能。关键词：能量法，Ansys1问题描述设有圆形薄板，半径为a,边界夹支，如图1所示，作轴对称自由振动。求最低阶自然频率。沿直径方向加筋，求最低

2、阶自然频率。图1：半径为a的夹支圆形薄板2.能量法求圆板的近似解l=J|=|21求解无肋板的最低阶自然频率211建立坐标系与模型该问题为轴对称问题，如果选取极坐标p,屮，因轴对称则振形函数及其他各项表达式将只与r有关。可以简化计算。所以建立模型如下：图2：半径为a的夹支无肋板模型2.1.2边界条件数,(w)=0,(dW)=0r=adrr=a轴对称条件：(型)=0位移边界条件:drr=0力边界条件没有2.1.3振形函数设振型型函数为W=(1-f)2C+C(1-r)+C(1-f)+.a212a23a2显然满足边界条件。214代入方程求解由里茨的理论取W=xCW其中W是满足边界条件的设定函mmmmC

3、是互不依赖的待定系数。mN=(1-工)2,N=(1-忙)3,N1-r2r2=(1-)n+1=N*(1-)a2n-1a2W=CN+CN+CN112233V=kDJar(，max0dr2)2+()2dr;E=Kw2rdrk，maxmJaW2rdr0要想求得最低阶自然频率,需要满足方程丄(VQC,maxm-E)=0k,max那么需要求求最大势能与动能的偏微分QV&maxQCmQEk,maxQCmad2Wd2aw1dWd/QW、_=2兀DJar()+()dr0dr2dr2QCrdrdrQCmmQW=2兀w2mJaWrdroQCm先对C求偏导1avf8,max=2兀DJaac01av8,maxac1d2

4、(Nc+Nc+.Nc)d2N1d(Nc+Nc+.Nc)dNr1_1222dr2竺c+dr21-nn1+11dr2rd2Nd2Nd2N2c+nc)dr22dr2ndr222dr-nn1IdrdrI8,maxac1d2Nd2Nriidr2dr2c+1他线cdrirdrdri1+1(线c+rdr1dN厂dN厂、dN2c+nc)1dr2drndrav8,maxacn由此可以得到一般性公式:av8,maxacjjc+-dNidNjcdr2dr2irdrdridr可得其中代入a(V-E)=0式:,maxk,maxacm(DK-W2mM以Cc12丄0a(r0d2Nd2Nidr2.1dNj+idr2rdrdN

5、d/Wm=JaNNrdri,j0ij_Im假设飞D，解得即可得到2.1.5Matlab编程及求解用MATlab进行编程。然后从对n从1开始取数，运行程序，得出结果如下:表一无肋板阵型函数n取不同值时的(rad/s)n的取值最低阶的频率精确解误差110.328010.221.056%210.217010.220.029%310.215810.220.041%410.215810.220.041%510.215810.220.041%2.2求解加肋板的最低阶自然频率221建立坐标系沿直径方向加筋，该问题仍然为为轴对称问题，取极坐标p，屮，振形函数及各表达式将只与r有关。可以简化计算。建立模型如下：

6、图3：半径为a的夹支加肋板模型2.2.2边界条件梁和板具有相同的边界条件，所以有n位移边界条件：（w）二0,（dw）二0r=adrr=a轴对称条件：（型）二0drr=0力边界条件没有22.3振形函数设梁和板的振型函数都为W=(1-r)2C+C(1-工)+C(1-匚+a212a23a2显然满足边界条件。2.2.4代入方程同无肋板要求一样，按无肋板的步骤，我们可以得到最大动能和最大势能变为:&maxdr+E1J：(船2dr,Ek,maxW2rdr+22最终推出一般形式dV,maxdC(r+E)dN也C+1虬也Cdr兀Ddr2dr2irdrdridEk,maxdC二2兀2mJaNNC(r+0ijiP

7、A)dr兀m由(V-E)=0得:dCE,maxk,maxmCK=Jaij0M=aNNCrdr（/0iji又因为:D，只需求出o即可:m（r+岂）dNdNC+1虬虬Cdr兀Ddr2dr2irdrdr122.5Matlab编程及求解求解：对n从1开始取数，运行该程序，得出结果如下:表二加肋板阵型函数n取不同值时的o(rad/s)n的取值最低阶的o19.520329.398439.395349.395159.395069.3950至此，用能量法求解就结束了3Ansys建模求解3.1求解无肋板最低阶自然频率311建模利用shell63号单元建模，将圆的周边全部约束住，模拟出固支的情景，随后用模态处理得

8、到其最低自然频率，我们给出参数如下：a=1m;8=0.1m;E=2x10ii;p=7800kg/m3；卩二0.3D=121肘m=p8模型如下：图4无肋板Ansys模型312计算结果表三Ansys求解结果第一次划分网格第一次细化网格第二次细化网格第三次细化网格最低阶自然频率248.91249.08249.13249.14随着网格的细化，最低阶自然频率趋向于一个定值。大约为249.1432加肋板的最低阶自然频率3.21建模利用shell63号单元建板模型，将圆的周边全部约束住，模拟出固最低阶自然频率228.69228.84228.88228.89第一次划分网格第一次细化网格第二次细化网格第三次细化

9、网格支的情景，用Beam3建梁模型，在求解过程中，我们发现，如果不将线和面进行处理的话，得到的最低阶自然频率是不准备的，因为梁和板之间相当于没有影响。为了模拟真实场景，我们需要用到NumberiingCtrlsMergeItems命令，将线和面进行耦合。随后用模态处理即可得到其最低自然频率。我们给出参数如下：a=1m;5=0.1m;E=2x10n;p=7800kg/m3；y=0.3;b二0.2;h二0.1;模型如下:图5加肋板Ansys模型322计算结果表四Ansys求解结果同样，随着网格的细化，最低阶自然频率趋向于一个定值228.894.结果分析41无肋板结果分析表五无肋板求解结果分析精确解

10、能量法近似解Ansys解最低阶自然频率249.246249.148249.14与精确解误差00.039%0.043%由以上求解可知，能量法得到最低阶自然频率为10.2158a210.22D，而精确解答为卡需，所求解非常接近精确解，其误差仅有0.04%左右。因此所取振型函数求解四边夹支的圆板最低阶自然频率非常理想，可以得到满意的解答。而Ansys的结果同样很令人满意，随着网格的细分，Ansys的解逐步趋近于精确解，虽然最后并没有收敛于精确解，但是其误差也是很小的，能够在工程实际上运用。42加肋板结果分析表六加肋板求解结果分析能量法近似解Ansys解误差最低阶自然频率229.126228.890.103%由于没有精确解，所以只能将能量法近似解和Ansys解进行横向比较，我们不难发现，这两个解是趋于一