高等数学复习-微分方程

1、常微分方程基本要求一阶微分方程的分类与求解；线性方程解的结构与性质；二阶微分方程的 分类与求解；二阶齐次与非齐次线性常系数微分方程解的结构-通解与特解命题特点填空题与选择题一般考核基本概念，以及解的结构定理；计算题一般考核一阶（二阶）方程的求解，以及几何方面的应用题，并常与变上限定积分、无 穷级数等联合出题。内容综述.微分方程的基本概念微分方程：凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程， 称为微分方程.微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为 微分方程的阶.微分方程的解：将某函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就 称为该微分方程的解.一般有隐式解

2、与显示解之分.微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且互相独立的任意常 数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.初始条件：为了确定微分方程的一个特定解，我们通常给出这个解必需满足 的初始条件，用来确定微分方程的通解中任意常数的条件，称为初始条件.微分方程的特解：确定了通解中的任意常数后，得到的解，称为特解.初值问题：求微分方程满足初始条件的问题，称为微分方程的初值问题.三类一阶方程及求解方法：可分离变量方程，齐次方程，线性方程 为三个基本类型,可化为齐次方程 的方程，贝努利方程等非标准方程的初等解法是通过变量代换转化为三类标准 方程。这里分离变量法及线性方程的求解方

3、法是求解微分方程的基本方法。关键：辨别方程类型，掌握求解步骤；而变量代换法：代换自变量，代换因变量，代换某组合式.可降阶的高阶方程：所谓高阶微方程是指二阶以上的微分方程，其求解方法一般是：通过变量 代换化为低阶的方程或方程组来求解.具体解法(以二阶方程为例)如下表：方程形式方程特点求解方法y(n)= f(x)方程中不显含， fn=y,y, ,v J积分n次，可得方程含n个 任意常数的通解.y= f(x,y)方程中不显含y令 y= p(x),则 y= p,原方程化为彳阶的方程p=f(x,p),设其通解为p=(x,c1) 5再解彳阶方程 y-q(x,q)即得原方程之解y = ”(x,Ci)dx+

4、C2 .y= f(y,y)方程中不显含x令 y = p(y),则 y - pd：，原方程化为p乎=f (y, p),设其通解 dy为 p (yq),再解丫=中(丫6)得原方程通解-=x + C2 ”(y,。).二阶线性方程：1线性方程解的结构定理(1)设yi, y2, y3,，yn是齐次线性方程的n个线性无关解，则 Y =C1yi +C2y2 +C3y3 +yn是该方程的通解.(2)设y*是非齐次线性方程的特解，Y为其对应的齐次方程的通解,_ _ * 一则 y = 丫 y是该非齐次方程的通解.2常系数齐次线性方程的通解特征方程r2 +pr +q =0的两根J ,2微分方程y+pyqy =0的通

5、解两个不相等的实根 1,2两个相等的实根1=2=r一对共钝复根1,2= % 土 3iy =C1e” +C2产y =(C1 + C2x)erxy = eax(C1 cos Fx + C2 sin Px)特征根法可推广至n (2)阶常系数齐次线性微分方程.3常系数非齐次线性方程y+py + qy = f (x),其通解为y = Y + y ,其中y是原万程的一个特解，Y为对应的齐次方程的通解，y*求法(待定系数法)如下：f(x) = Pm(x)ex,则设y* =xkQm(x)e，其中Pm(x)为已知的m次多项式, Qm(x)为系数待定的m次多项式.k=0, 1, 2,分别对应入不是特征方程的根，

6、是单根，是二重根.f (x) =Pm(x)ea cos Px + Pn(x)ea sin Px 5则设 y* = xke能Ql (x) cosPx+ T|(x)sinPx. 其中l =maxm,n, k=0,1分别对应 土产不是特征方程的根，或是单根.常见题型题型1.求一阶线性微分方程的通解或特解注意三种标准类型，其中一阶线性方程是重点，要记住通解公式 注意一题多解，即方法不是唯一的。例1. 2004 ,三(19)设级数468x x x-(一二2 4 2 4 6 2 4 6 8 X父十叼的和函数为S(x),求(1) S(x)所满足的一阶微分方程；(2) S(x)的表达式解：考查级数与微分方程。

7、因为要求微分方程，当然要先求导数，再找规律。S(x) =468x x x _ S(x)二2 4 2 4 6 2 4 6 8357x x x 十十2 4 2 4 6+ 11133xx=x &为- S x ) -万=S (x)- x SM万(一阶线性方程)- P(x)dxP(x)dx= S(x)=e ,Q(x)e dx+cjx2-1 e,； 2(-x)dxx3(-x)dxS(x) = e e e dx+ C TOC o 1-5 h z -21P(x)dxy = Ce )2y =一。x例2. 2005 , (2)微分方程xy+ y= 0满足初始条件y(1)= 2的特解解：可分离变量型，(也可看成是一

8、阶线性齐次型：通解入 y 1c 1xy y=0 _- - y = c -y xx例3. 2007 ,二(14)微分方程dx x2 0.已知曲线 y= f(x)与直线y = 0, x = 1, x= t (t 1)所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周 所成的旋转体积值是曲边梯形面积值的 冗t倍.求该曲线方程。解：考查定积分应用-面积、体积、变上限函数的导数以及一阶齐次微分方程的求解。t 2t由已知：1 n f (x)dx = n1f (x)dx,2t两边对t求导：f (t) 71f (x)dx tf (t),令t =1,可得定解条件：f2(1)=0 + 1 f(1) = f (1)(f(1)-1)=

9、 0 =f(1) = 1,现在还不是微分方程，还要再导一次：2f (t) f (t) = f (t) f (t) tf (t) = f(t)= 2f2f (t)- t(齐次方程)例5.求微分方程dy 1_22 Zdx x y 2xy的通解解：什么类型？ 作变量代换dy 1dx（ x + y）2人工dt ,1令 t = x y 1.=dx t2t- dt = dx 1 t2例6.求微分方程dy 二 dx1的通解。x 一 y解：什么类型？可作变量代换，可代数变形,dt 11=-dx tdt , 1=1 dx t(可分离变量)、 dy变重颠倒：晟二dx了 x-y (一阶线性)例7.设y = ex是x

10、y+P(x)y = x的一个解，求满足 丫*/2=。的特解 xI 12解：含未知函数，先利用y = ex求出P(x),再从头求解. P(x) = xe-x - x 1 _. x .一 y = e Ce (C e 2)题型2.与线性方程解的性质与结构相关的命题例8. 2006 ,二(10)设非齐次线性微分方程y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解yi(x), y2(x), C为任意常数，则该方程的通解是()A Cyi(x) - y2(x)B y(x) Cy(x) - y2(x)C Cyi(x) y2(x)D,(x) C%(x) y2(x)解：注意非齐次线性方程通解的结构：y(x) = y(x)

11、y (x)-其中y(x)是齐次通解，y(x)是非齐次特解.例9. 2010, 一设yi, y2是一阶线性非齐次微分方程y+ P(x)y = Q(x)的两个特解，若常数 九，以使九yi + Ry2是该方程的解，九yi-Ry2是该方程对应的齐次方程的解，则()2,2,解：考查线性方程解的概念： 注意题设条件，将人yi + Ry?、zyi-Ry2分别代入非齐次，与齐次方程，可得恒等式:(yiy2)P(x)( yiy2)= Q(x),dyi - Ry2)+P(x)dyi-Ry2)=0, ,(yiP(x)yi)l(Y2P(x)y2)= Q(x),(yiP(x)Yi)- l(Y2P(x)y2) = 0,i

12、工Q(x) + NQ(x)=Q(x), + N =i, 一2,Q(x)-Q(x) = 0,-=0, i _ ir - .题型3.二阶常系数线性微分方程求解注意齐次与非齐次方程通解和特解的设定模式(特别注意含参的)例10.求微分方程y + 4y + 4y= eax的通解.解：常系数非齐次线性 含参方程：特征方程为：r2+4r+4 = 0 =(r + 2)2 = 0 =r1,2 =-2 ,可先求得齐次通解为： 而 =(G + C2x)ex ；再依据非齐次项的形式求特解： 对参数的不同情况进行讨论当a#-2时，设特解为ax 一y = Ae =axA 1eA =2 = y =2 (a 2)2(a 2)

13、2 从而原方程的通解为:y(x) = y y=(C1 C2x)e-2xaxe(a 2)2 ；2 _2x._ -2 2x1当a = -2时，设特解为y=xBe = B= =2 -2x一 一 ?Y x e从而原方程的通解为:y(x)= y y = (GC2x)ex -y-例11.求微分方程 y+a2y = sinx, (a 0)的通解.解：常系数非齐次线性 含参方程：特征方程为：r2+a2 = 0= r = ai,可先求得齐次通解为：y(x) = (C1 cosax + C2 sin ax)；再依据非齐次项的形式求特解：同样要对参数的不同情况进行讨论注意第二形式下的特解形式为：y = xke x(

14、QmCos x Qmsin x)其中k = 0, 1,要考查 九i是否为特征根？所以当a =6 =1时，设特解为1 sin x TOC o 1-5 h z y =Acosx+Bsinx = A=0, B = = y = a -1a -1、 一一 .、 sin x HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 此时原方程通解为：y(x) = (G cosax+ C2 sinax) +；a -1所以当a = 0 =1时，设特解为-1xcosxy = x(Ccosx Dsin x)=C = ,B = 0 = y =22此时原方程通解为：y(x)二xcosx(C1

15、 cos1x + C2sin1x) o,._x_2xx -xx 2x x 一 . “例 12.已知 y1 = xe + e , y2 = xe + e , y? = xe + e -e 是某二阶非齐次微分方程的三个特解，求该微分方程.解：考查线性方程的解的结构：因为非齐次的解相减是齐次的解：W e-x, w e2x- 2e-x,齐次的解相加仍是齐次的解：2e-x (e2x - 2e-x) = e2x,2x t 2x -x从而得两个线性无关的齐次解：e , e ( e /e #C)一 _2xx因此对应有特征根：e =1 = 2, e =2 = -1 ,对应特征方程为：(r-2)(r1)=0 =

16、r2-r-2=0,对应齐次微分方程为：y2 - y - 2y = 0,对应非齐次微分方程为：y2-y-2y= f(x) ,( f(x)待定)将 y = xex+e2x代入方程可求出f (x)。例 13. 2000 ,三求 y-2y-e2x = 0 满足条件 y(0) = 1,y(0) = 1 的解.解：略。例14. 2002，七(1)验证函数 TOC o 1-5 h z 3693n/、/xxxxy(x) =1tHIH(-: x ：二)3!6!9!(3n)!满足微分方程y+y+y = ex；(2)利用(1)的结果求哥级数3n x Z n=1 (3n)!的和函数。解：(1)/ d x3y(x )=

17、 13!y (x)=2 x x 十6x+6 !5x-十 一2!5! 8!x9、3 ti p;tlll , 9 !n ( 3 ) !8n .3 1-tn(3n -1)!x4 x7 x3n TOC o 1-5 h z () y (x) = x * HI4!7!(3n-2)!234y“ + y+ y=1+x+|=ex. 2!3!4!331(2)解微分方程得：y(x)= e 2(C1 COSx+C2Sln x)+-e223例题选解1选择题2x ti设连续函数f(x)满足关系式：f(x)=1f)dt，2则f(x)02(A) exln2； (B) e2xln2； (C) ex+ln2； (D) e2x+l

18、n2.已知微分方程y+p(x)y = xsinx有一特解y=-xcosx,则此方程的通解是.y = cxcosx,y = c-xcosx,y = cx- xcosx ,y = - xcosx .解(1)所给关系式两端对变量x求导得f x) = 2f(x).分离变量积分得ln | f (x)卜2x + Ci ,即f(x) = ce2x,其中 cec1.由条件f(0) = ln2得 c= ln2,故选B.(2)先由特解y= -xcosx确定微分方程中的待定函数 p(x),为此将特解y=-xcosx代入方程中得xsin x cosx + p(x)(-xcosx) = xsin x,-，、 i整理得p

19、(x) = -,x.1.从而所给微分方程为y - y =xs i x ,x求得对应的齐次方程的通解为y = cx,故选c.x2 设 f (x)cosx+2f(t)sintdt =x+1 ,求 f (x). 0解方程两端对x求导得f (x)cosx- f (x) sin x + 2 f (x)sin x T ,一一 一 1整理得f (x) + tanxf(x)= (一阶线性)cosx由一阶线性微分方程求解公式- I tan xdx1itan xdxf (x); e ( e dx c)cosx，11、.= cosx(J2dx + c) = sin x + ccosx cos x因为 f (0) =

20、 1 知 c = 1 ,故 f (x) = sin x+ cosx .3判断下列方程的类型并求解:x y . X -y .(I ) y +srn=sin；22(3) (y +xln y)? =yln y ；dx(2)223x ，y -6x-2y-4 y 二2xy 2x -2y -2dy _ y3. 一 22、7dx 2(xy -x )解(1)可化为分离变量型.注意到s ixt2y -s i：xt2-y -2c Qxs i/，原方程可化为dy c x . y=2 cos-sin dx 22xy y2 s i-n分离变量积分得原方程通解c s g - c 0古=ce 2(2 )可化为齐次方程，将原

21、方程整理如下3(x2 -2x 1) (y2 2y 1) y ;2(x-1)(y 1)_ 3(x-1)2 (y 1)2一 2(x-1)(y 1)(1)令u=x-1,v = y+1代入(1)式得到齐次方程dv 3 u 1 vdu 2 V 2 u，(2)作变换V = uz代入(2 )式得dz 1/3-z2、 u()du 2 z 2、分离变量积分得u(3 - z );c ,2,.、2,.、代回原变量并整理得通解3(x-1) -(y + 1) =c(x-1).(3)关于函数x(y) 一阶线性.取y为自变量将原方程整理如下dx x 1-=dy y ln y 用公式得dy iy +c) = y(ln|lny

22、| 十c).(4)可化为贝努利方程.取y为自变量方程化为dx _ 2(xy2 _ x2) TOC o 1-5 h z dy y3,dx 2x - 2x2即dy yy3(1) ，、_1 _这是贝努利方程，在方程(1)中令z =一得xdz 2z 2+ =dy y y3一 2dy 2从而有 z =e y (.e2 , f-dyiy dy + c) = (ln|y|2 +c). y2y=cie x ,其中 Ci = e-cf(x)=2x：27x 1x 1. 、一一一. .2积分并整理得原方程的通解为y，人小 2, x 1,4设y - 2y = *(x),其中0(x)=0八1试求(-巴+叼上的连续函数y

23、= f(x) 工 u, x 1 I使它满足所给的方程且f(0)=0.解 因外x)是分段函数，所以对自变量x1的情形分别解方程.当 x1,方程为 y-2y = 0,其解为y=c2e2x,由f(0) =0可知。=1 ,又因为y = f(x)在x= 1处连续，所以有 _2_2f(1 -0) = e -1= f(1+0) = c2e ,2-解得C2= 1 -e ，故f(x)=；e 一？ 2x X 15求方程则(1)式为dy+x + sin(x + y) =。满足初始条件 y|x/=0的特解. dx-2解 原方程可化为分离变量的方程。事实上令 u = x + y ,则业=1 5dx dxdy du=一

24、1dx dx代入原方程，有du xdx-1 x sin u = 0 xx TOC o 1-5 h z dudx = - HYPERLINK l bookmark66 o Current Document sin ux1 - c ous C积分得In | cscu - cotu |= - In | x | + In C ，即 =一s i n x由y|x/二 0, u= x+丫得。=T，故所求特解为22- cos(x y) _ 二 sin(x+ y) 2x ,令 u = x +y 即 ux= Jx2 + y x将(3)代入(4)得将(5)式整理得积分得将(2)式两端平方并对X微分得 TOC o 1

25、-5 h z 2 du2xu 2x u - dx2Uu1 = 2u2xu-dx 2ududx2 一 .u - 2u、333x +y) = x + xy + cx udu dx(1 - u)(1 2u) 2x，ln(1 - u)2 (1 2u) = -3ln xc1代回原变量并整理得通解7选择题(1)设线性无关函数y1,y2,y3都是方程y,+p(x)y + q(x)y = f (x)的解, cc2是任意常数，则该方程的通解是 .(A) Gy1 c2y2 y3 ,(B)c2y2-(。c2)y3,(C) ow c2y2 (1-cz)y3 , (D) ac2y2 -(1 -c1 -c?)y3.一,

26、sin x(2)设y = f(x)是微分方程y - y -e =0的解，(心)=0 ,贝u f (x)在 x.(A)某个邻域内单调增加， (B)某个邻域内单调减少，(C)取得极小值，(D)取得极大值.(3)设函数乂。2是方程y十p(x)y + q(x)y = 0的解，则由yy?能构成 其通解的充分条件是.(A) 丫。2 一 y2y1 = 0 ,(B) y1y2 - y2y1 = 0(C) yiy2 丫2丫1 = 0(D)0(1)排除A, B,看C.ciyic2y2(1- ci-C2)y3= G(yi-ya)c2(y2-ya)y3,易知 Ci(yi -ya) +C2(y2 -ya)是对应的齐次方

27、程 y+ p(x)y，+ q(x)y = 0 的 通解(否则函数yi,y2,ya线性相关)，ya是方程y “+ p(x)y + q(x)y = f (x)的一个特解，故选 C.(2)由题目条件y0 故选 C.yi、由(A)可推出(一)=o,从而yi = Cy2所以(A)不成立.y2,同理(C)不成立.由(B)可推出yi丰Cy2 ,故选B.a20的通解.(a0)解 所给二阶方程属不显含自变量型.令 y= P(y),所以代入原方程，得dP dy=ydP - dP一 二P 一dy dxPdPdyy2dy dy )PdP = 一dy两边积分得所以业=-2adxa2 CiyP2 二且 CiiCi ydy

28、 = 、2adx22u d u令 1 Ci y = u , Cidy = 2udu, dy =xCi 3_代入前式得 2 u2 - idu = .G 2，、2adx,3两边积分，得V Ciy(i Ci y) - l n、(i C；y Ciy) = .C；2、2ax C2,化简后得土 Ry。+Ci“y)i1)帝 +Ji+C；y) =a&C；x + C2为所求通解.求方程yy“ = 3(y)2的通解.解原方程可化为如下形式 - 22y y 一 y _ 2(y )-2 一 2yyrrrr(1)F(J = 2() dx y令,=u则(1)式为du 2=2u dx 分离变量积分得此即积分得原方程通解_

29、iu )2x ci，dy -dxy 2x ci ?y j J2x + q +C3.注 此题也可通过两次降阶求解，但解法较繁.10求方程y + 3y + 2y= f(x)的特解待定形式，其中f(x)为(A) 3sin x ；(B)3xe-x； (C)e-x cosx .解 先求与齐次方程对应的特征方程r2+3r + 2=0的特征根,易得r1 = -1,2 = -2 ,对(A),非齐次项f(x)=3sinx, a iP = 0 + i不是特征方程的根，故k = 0,此处3是零次多项式，故特解待定形为 y = Acosx+bsinx .对(B),非齐次项f(x) = 3xe，九=-1是特征方程的单根

30、，故k = 1 , 3x是一次多项式xx2故特解待定形为 y* = x(ax + b)e = e (ax + bx).对(C),非齐次项f (x) =ecosx, a iP = -1士 i不是特征方程的根,因此,卜=0.故特解待定形为y* =e(Acosx+Bsinx).11二阶常系数非齐次线性微分方程y+ay+Py = %x的一个特解为y = e2x +(1 + x)ex确定匕P J ,并求方程的通解.2xx2x x x2x x x解将 y = e +(1 + x)e ,y =2e +2e +xe ,y =4e +3e +xe代入到原方程中得4e2x + 3ex + xex 十 口 (2e2

31、x + 2ex + xex) + (e2x + (1 + x)ex) = ?ex,比较e2x,ex,xex的系数得方程2 + 4 +4 = 0,，2o( +P + 3 = 7,a + p +1 = 0.解得 a = -3, B = 2/ = -1 .因此原方程为 y -3y 2y = -ex,二二 2n一 , x12设有级数2 +扁，（1 ）求级数的收敛域；（2 ）证明和函数满足n 1 （2n）!方程y - y = -1 ；（ 3）求和函数.2n 2an 1 X(1)因为 nirn -2-anx2 TOC o 1-5 h z .(2n)!2 .X=lim - x = lim= 0T(2n +

32、2)!n廿(2n + 2)(2n + 1)2 nX令y=21由二2n_2v =、-nj (2n-2)!因而有vi = T.n 1QO=1 J -n =12nX(2n-1)!，2nX(2n)!，故收敛域为（- , +.（3）因为方程y-y= -1的特征方程为r2-1 = 0,特征根1,2 = 1,所以齐次方程的通解为Y 二 c1eX c2eX ,非齐次方程的特解待定形式为y* = a ,显然a = 1, TOC o 1-5 h z X .-X故原万程的通解为y = c1e , c2e1,由 y（0） = 2,y（0）=0,得 C1+C2+1 = 2, C1 - C2 = 0,_1解得c1 - c

33、2 - 2，故和函数为1 X-Xy = 1 (e e )1= chX 1-2223 ,13 求满足f=3川fQx +y +z )dv+|t 的连续函数f (x).X2 -y2 22 M2解 f(x)是偶函数.当t0时，用球坐标将所给方程化为如下形式2三刀tf (t) = 3 d sin d f (r)r2dr t3, t 0=3 2 2 f(r)r2dr t30上式两端对t求导得f r(t)=12nt2f(t) + 3t2即22f (t)-12N2f (t)= 3t2.12 二 t2dt2 - 12 二 t2dtf(t) = e ( 3t2e c)= e41( 3t2e4t3dt c) =ce

34、4 t3 TOC o 1-5 h z .一 1 .13.由 f (0) =0得c = 故 f (x) =侄-1) . (x 0) 4 二4 二14 3当t-1 时,可微函数 f(x)满足条件 f(x) + f(x)- f f(x)dx = 0,f(0)=1,. x 1 0证明 当 x0时，e w f(x) 1 .证明由方程及f(0) = 1,得f(0) = -1,对方程两边求导，得(x + 1)f ”(x) + (x+2)f(x) = 0 , TOC o 1-5 h z ux 2令u = f (x),上式变为:二一+ 1 ,解得 ux IIn |u |= -x - ln|x+1|+ln|c|,

35、e所以 u=c-, 由 f (0) = -1 即 u(0)= -1 ,得 c = 一1,x 1-x一 e所以 f (x) = ：7，当 x 之。时，f(x) 0时，f *(x)=- -e-故 J f (x)dx之-e-dx5x . 100即f(x)- f (0) e -1 即 f(x)2e，所以 x 之 0时，e-x f (x) 1 .15连续函数y满足半=|y+i|+|y-i|,y(0) = 0求y.dx ,解 首先去掉绝对值符号，对y如何取值进行讨论.1(1)当 yn 1 时，万程为 y = 2y ,解得 ln y + ln G = 2乂或 x = in(Cy), TOC o 1-5 h

36、z 1 .(2)当-1Wy1 时，万程为 y =2,解得 2x=y+C2 或 x = a(y + C2),31C3(3)当 y1-2111c3-1lim y c2 = lim ln 徂 c3 =一yT,2ye-2-y 母 3 e -综合之得11一十lny , y 之 1,2 2 1x = J- y, -1Ey1,11、/ ln(y) , y -1. 、2 2y = 2x ,Nx-e一 x ：二一1x ： 2.判断下列方程的类型并求解:(2) (ex4y -ex)dx+(ex4y+ey)dy = 0 .(1 )y xy=a(y2 +y ) ,(2xy)dx(x+y)dy =0乂丫立了 ,求满足初

37、始条件yx=0的解.xyy，= x2+y2,(6) (x+ 1)5 - ny = ex(x+1 严dxy2-6xy 2y =0 ,(8) (y4 -3x2)- xy = 0 ,dx.设y=ex是微分方程xy，+p(x)y =x的一个解，求此方程满足y(ln 2) = 0的一个特解.求方程 x +yy= f (x)g(Jx2 +y2)的通解.求方程xy - y(ln(xy)-1) =0的通解。齐次方程.求方程 y = 1-x(y-x)-x3(y-x)2 的通解.求方程 dy+1 =x(y+x)+2x(y+x)2 的通解. dx.求方程(x2e2x +y2)dx -2xydy =0 的通解.求方程yy + 1 =