谈高中数学教学中普遍存在的十大问题

1、谈高中数学教学中普遍存在的十大问题李 祎 教授 博导福建师范大学 数学与计算机科学学院目录一、不善于对教材进行深入挖掘和剖析二、不能有效揭示数学的本质特质和属性三、不能站在较高观点来认识和分析问题四、不善于对数学教材进行质疑和批判五、过于注重细枝末节而导致逐末舍本目录六、不能抓住教学中的重点和难点来组织教学七、不能有效稚化自己的思维引导学生展开探究八、不注重思想方法的提炼与数学文化的渗透九、不善于运用启发的策略来引导学生展开探究十、不会对数学课堂教学进行深入分析和评价一、不善于对教材进行深入挖掘和剖析数学教师要形成和具备较高的数学素养，就必须经常善于深入挖掘和剖析教材，仔细揣摩，反复琢磨，穷根

2、究底，深及精髓，力求获得对教材的透彻理解，形成对所教内容的深刻感悟。只有钻得深，才能站得高，才能讲得透。浮光掠影，浅尝辄止，一知半解，不求甚解，这样是无法很好地驾驭教材的。1、对某些规定的深入认识为什么零不能作分母？为什么分数相加时首先要通分？为什么要规定 ？在指数函数 中，为什么要规定a0呢？在对数函数中，为什么要规定a不等于1呢？为什么在反函数 中，要把 互换？2、对数学推证的深入探求（1）等差数列求和公式的推导配对求和（由高斯求和引出）化归转化（先求Sn=1+2+n）倒序相加面积法an=a1+(n-1)d，不妨设ai0(a1+a2)/2+ (a2+a3)/2+ (an-1+an)/2 =

3、 (n-1)(a1+an)/2两段同时加(a1+an)/2，整理便得。 （2）等比数列求和公式的推导等比定理化归转化 提取a1：归纳猜想错位相消透视“错位相消”的实质求和的实质其它方法提取q：数学美的启示：（3）二项式定理的证明能否严格进行推导和证明？（4）绝对值不等式的理解动静转换数形结合二、不能有效揭示数学的本质特质和属性“强调本质，注意适度形式化”：高中数学不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，通过返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生的探索活动，使学生理解数

4、学概念、结论形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。数学本质揭示的过程，也就是概念的形成过程，结论的推导过程，方法的思考过程，问题的发现过程，思路的探索过程，规律的概括过程等。 1、宏观上对学科本质的把握（1）代数的结构代数的本质是用符号表示数和未知数参与运算。代数主要研究：数式运算和方程求解。两种数；三种式；六种运算；四类方程。进一步发展：次数更高的方程，未知数更多的方程。从代数式（符号代表数），到方程（符号代表未知数），到函数（符号代表变数）（函数实质是几何的代数化）（2）几何的结构直观几何：对平面图形、立体图形的认识；度量几何：求长度、角度、面积、体积等问题；演绎几何：垂直、平行、全等、相

5、似运动几何：如平移、旋转和对称等；坐标几何。（3）解析几何的本质（4）微积分的本质2、微观上对概念本质的把握概念是反映事物本质属性的思维产物.数学：空间形式和数量关系. 数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物.本质属性：共有性，特有性，整体性。示例1：集合的本质幼儿园小孩子学集合示例2：复数的本质复数是二元数,实数是一元数.与把一元的实数看作“单纯的数”相比,二元的复数不仅数量意义,而且还有方向意义,它是一种“有方向的数”，“数量加方向”是复数的本质属性。用几何形式表示：它的意义是一个向量,其本质特征是向量的长度和方向;用三角形式表示：在z= r(cos+isin)中, r表示复数向量的长

6、度,表示复数向量的方向.用代数形式表示：本质属性不是很明显,需要揭示。示例3：函数概念的本质数学概念的本质属性，是指一类特定数学对象在一定范围内保持不变的性质，而可变的性质则是“非本质属性”。设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，则称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。“非空数集”是否为函数的本质属性？“单值对应”是否为函数的本质属性？“变

7、量说”的局限性：“对应说”的局限性：“关系说”定义函数：积集 的子集函数究竟是什么？三、不能站在较高的观点来认识问题和分析问题占领制高点，居高临下 ，深入浅出 。做学问，先学“问”，教做学问，自己先得学会“问”。重要的是自己问自己。问的为什么越多，得到的学问就越多。问的为什么越深，就认识得越透彻、越深入。从多方面来发问，其中，善于问“数学”，学会问“数学”，在问“数学”中，便能求得进步。示例1：偶数、奇数与自然数的个数。能与自然数集建立一一对应的集合，叫可数集。全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集。可数集可以含有可数的真子集，两个可数集也可以并成一个可数集。整数集与有理数集

8、都是可数集。按照基数概念，能一一对应的两个集合的基数相同，于是有理数集、整数集、全体正偶数集等，与自然数集有相同的基数。因而这些集合所含元素“一样多”。但这些集合又是一个包含另一个作为真子集，所以又不同于有限集元素的“多少”概念。并非所有的无穷集都是可数集，实数集就不是可数集，这样，实数集与自然数集有不同的基数，因而说明了无穷集所含元素数量的多少还有某种层次区别。许多数学悖论都与“无限”有关：伽利略悖论：“正整数和偶数一样多”S=（11）（11 ） （11 ） S= 1（11 11 1）示例2：集合的“三性”S= ，对于元素 ，重复数的值可以是某个正整数，也可以是0或。如果 =0，则认为元素

9、；如果 ，则认为S中有无穷多个。可以看出，一般集合就是只能取0或1的多重集。示例3：概率的统计定义一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件发生的概率P（A）=p。（九年级上册）频率稳定于概率，不是说频率的极限是概率， 稳定于p不能写成：“ 稳定于p”意味着对 ，有即是说只要n充分大，那么频率充分接近概率的概率就是1。大数定律以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。实验目的在于体验用大数次实验的频率来估计概率的方法，而不在于验证可能性相等。四、不善于对数学教材进行质疑和批判书本尤其是教材如同“圣经”，

10、具有绝对至上的权威地位，有些教师通常不敢越雷池于一步。对书本顶礼膜拜的结果，是教师和学生想象力的贫瘠、创造性的不足和批判意识的严重缺失。书本并非完美无暇，出现错误也在所难免，关键是师生不能拘泥于各种“权威”，对课本应该用批判的眼光审视它，有保留地、选择性地接受，而不能一味地全盘照搬。（三角形内角和定理的证明）1、函数单调性的定义：“如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ” 2、函数的定义：“设A、B是非空的数集，。显然，值域是集合B的子集。” 变更：（1）设A是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为定义在集

11、合A上的一个函数。 （2）在现行定义中，直接取B为函数的值域，学习映射后，再来解释函数的特殊性(即除A、B为非空数集外，还要求为“满射”)。 五、过于注重细枝末节而导致逐末舍本普通高中数学课程标准（实验）：在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。普通高中数学课程标准（实验）：应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服“双基异化”的倾向。 示例1：圆的对称轴观点1：认为“圆的直径就是圆的对称轴”是错的，因为圆的直径是条线段，而圆的对称轴应是条直线，应该说“直径所在的

12、直线是圆的对称轴”才是正确的。观点2：“圆的直径是圆的对称轴”是正确的，原因是直径具备对称轴的属性，即：一个图形沿着它对折，两边的图形能够完全重合。三角形中，三条线段组成的就不是角了吗？ 示例2：y=sinx,x0,10是周期函数吗？函数的周期性是对函数“周而复始”的变化规律的数学刻画。函数的周期性就是整个函数图形是否可以通过沿着X轴，平移一段距离，得到的函数图象与原来的函数图象可以完全重合。即具有沿着X轴的平移不变的性质。 f（x+T）=f（x）。在该定义中，周期函数的定义域只须没有上界或没有下界就可以，但至少要有一个是无界的，这就难以刻画某些函数“周而复始”的特点。一般地，函数 叫做指数函

13、数。一般地，函数 叫做对数函数。思考： 是指数函数吗？ 是对数函数吗？ 呢？x=x是不是方程？x/2x是不是分式？含有未知数的等式叫做方程；一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。反思：究竟看实质，还是看形式？数学是人为的，也是为人的，完全可以根据研究问题的需要，作出判断和取舍。其实，无论从解决实际问题的角度来看，还是从数学内部的运演来看，以上争议都没有太大意义，都是教条主义和八股化的具体表现。要“淡化形式，注重实质”。过分地热衷于形式化的探究，过分地钟情于细枝末节的追究与考问。平行四边形的面积等于底乘以高。等式两边同时加上或者减去一个数,所得的结果仍然是等式

14、。我们把解方程的过程叫做方程的解。三角形的高是线段还是长度？x-x=3是不是方程？2x-x是单项式还是多项式？整数能否叫做分数？六、不能抓住教学中的重点和难点来组织教学高水平教师与普通教师的差别在哪里？（1）教学生学“本质”（2）教学生学“过程”（3）教学生学“思想”（4）教学生学“结构”数学教学的“二十四”字方针精力内容，大作功夫；少占多让，少扶多放；绝对主动，相对自主。示例1：函数的单调性单调性教学设计大体从三个层次展开：首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量随自变量的增大而增大（或减小）；最后，用数学符号语言描述变化

15、规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。教学的困惑：从图像上不难获得图像“上升”或“下降”的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？解释和说明：“上升”“下降”是一种日常语言，用日常语言描述“单调增”“单调减”这样的数学性质是不够准确的。能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果可以的话，又该如何来描述呢？这时结合图像的特点，即它是“函数”的图像，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。教学的难点：如何用符号化的数学语言来描述递增的特征，这其中有两个难点：多快好省地直接把形式化的定义呈现出来，其余的更多时间，便是咬文嚼字式的强调，细枝末节的提示，解题程式的归纳，题海战术的训练。让学

16、生参与形式化、符号化和数学化的过程：由图象直观特征，到自然语言描述，再到数学符号描述 ；从直观到抽象、从文字到符号、从粗疏到严密的建构过程。示例2：“二分法”的教学重点：方程解的问题，函数零点问题，逼近问题，缩小区间问题，怎样缩小的问题，二分法问题。牛顿法 ；弦截法教学生学什么学习科学研究的一般方法；教学生怎么学用“从无到有”的探究方法来进行学习。重点没凸显，难点没突破，教学更多是一种“告诉”行为，教案中的重点和难点成了文字摆设，三维目标中的“过程与方法”也成了一种贴标签式的点缀。 七、不能有效稚化自己的思维引导学生展开探究 深入深出型，自己的知识很丰富、很深奥，交给学生的知识也很深奥，学生听

17、得不明所以然。浅入深出型，自己的知识很贫乏，但却要装得很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩。浅入浅出型，自己懂得并不多，但能用通俗的语言教给学生，虽说学生不会有太多提高，但能学到一些知识。深入浅出型，自己的学问很深，但能把晦涩难懂的知识通俗化，学生听得懂、学得会。教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的学术形态，恢复为学生易于接受的火热思考的教育形态。教师是教学的“主导”，“主导”务必立足于“学为主体”之上，教师绝不能“喧宾夺主”；“主导”重在“授之以渔”，教师决不能“越俎代庖”。 教师事先把数学知识切碎、嚼烂了，再通过简单的灌输方式喂给学生，把数学知识的主动建构“转换”为知识的被动接受，把数学

18、思维方面应有的训练“转嫁”给“机械记忆”。所谓稚化思维，就是教师把自己的外在权威隐蔽起来，教学时不以知识丰富的教师自居，而是把自己的思维降格到学生的思维水平，亲近学生，接近学生，有意识地退回到与学生相仿的思维状态，设身处地地揣摩学生的学习水平、状态等，有意识地生发一种陌生感、新鲜感，以与学生同样的认知兴趣、同样的学习情绪、同样的思维情境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。示例1：直线的方向向量与平面的法向量为什么要提出方向向量与法向量的概念？如何来刻画直线与平面的方向？为什么要用方向向量来刻画直线的方向？为什么要用法向量来刻画平面的方向？示例2：直线的斜率为什么有了倾斜角已能确定直线方向的前

19、提下，还一定要将其代数化？变量(x，y)与作为不变量的倾斜角，不能直接建立起关系，还必须将倾斜角代数化，变量(x，y)与不变量斜率k才能建立起关系。斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性；斜率在研究直线平行与垂直上的作用。“率”，是指两个相关数的比值，x变化单位长时，看y变化了多少，实质是对x和y变化的快慢程度的刻画。角越大，倾斜程度越大，该特定比值越大。教学难点：建立直线方程的过程，是寻求其不变量k，建立变量(x，y)与不变量k的数量关系的过程。但这里的不变量是角度，而不是距离。比之圆、椭圆、双曲线、抛物线几种曲线，尽管直线是非常简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。为什么要

20、用正切？首先与“坡度”概念一致。坡面的铅直高度和水平长度的比。（垂直变化率）其次，不管是锐角变化，还是钝角变化，反映的都是倾斜角越大，斜率越大。第三，正切值就是直线的变化率，这样，采用正切值与导数保持了一致性。八、不注重思想方法的提炼与数学文化的渗透显性的知识是写在教材上的一条明线，隐性的思想是潜藏其中的一条暗线。明线容易理解，暗线不易看明。 数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中概括的基本观点。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。有意识地使用提示语，使思想方法显性化，使思想方法的学习和掌握，从自发走向自觉，从无意识默会走向有意识

21、习得。 米山国藏：学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。示例1：哲学辩证观点的揭示加与减，乘与除；极限中的过程与结果、有限与无限、近似与精确；导数。示例2：各种函数性质的研究通过图像研究函数的性质数形结合思想；通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质从特殊到一般的归纳思想；区分情况来讨论函数的性质分类讨论思想；通过对比来研究函数性质类比的思想方法；函数性质应用实例数学模型思想方法。例如:反比例函数，单调性，指数函数，对数函数示

22、例3：正弦定理的各种证明方法证法1：作高法证法2：面积法证法3：外接圆法证法4：角平分线法数学中究竟有哪些思想方法？A.数学思想方法的系统分类哲学的视角：形式与内容；运动与静止；偶然与必然 ；现象与本质 ；原因与结果 ；整体与局部；有限与无限；等。思维的视角：观察与实验；类比与猜想；归纳与演绎 ；分析与综合 ；抽象与概括 ；特殊与一般 ；比较与分类 ；等。数学的视角：1、全局性的方法：数学模型方法；关系映射反演方法 ；公理化方法 ；坐标方法；等。2、技巧性的方法：解题策略层面；解题方法层面；解题技巧层面。高考考试大纲：函数与方程思想；数形结合思想；分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与一般思想

23、；有限与无限思想；必然与或然思想。B.数学抽象的思想；数学推理的思想；数学模型的思想。数学抽象的思想派生出的有：分类的思想；集合的思想；数形结合的思想；变中有不变的思想；符号表示的思想；对称的思想；对应的思想；有限与无限的思想等。数学推理的思想派生出的有：归纳的思想；演绎的思想；公理化思想；转换与化归的思想；联想与类比的思想；逐步逼近的思想；代换的思想；特殊与一般的思想等。数学模型的思想派生出的有：简化的思想；量化的思想；函数的思想；方程的思想；优化的思想；随机的思想；抽样统计的思想等。九、不善于运用启发的策略来引导学生展开探究1、启发的重要性教师在教学中的主要任务是“引导”，而“启发”则是教

24、师引导学生学习的基本方法。孔子:“吾有知乎哉？无知也。有鄙夫问于我，空空如也。我叩其两端而竭焉。”苏格拉底：从来都没有教给别人什么，只不过是象一个灵魂的接生婆那样，帮助人们产生自己的思想、观点。2、二重启发原理解析从内容的角度来看，这种启发性的帮助应由易到难，以符合认知规律；从思维的角度来看，这种启发性的帮助应由远及近，以提高思维强度。简单、容易的内容在启发时，距离目标的起点可远些，以提高思维强度；复杂、困难的内容在启发时，距离目标的起点可近些，以节约学习的时间。3、启发的适度性策略分析不能过于直白，也不能过于含蓄。言近而旨远，言有尽而意无穷，话里有话或弦外有音；举一而寓三，一语而多关，或迂回

25、设问。语忌直，意忌浅，脉忌露，味忌短。启发的主要作用在于给学生以暗示。暗示不成再明讲。波利亚：“你能不能应用勾股定理啊？”a. 如果学生已经接近于问题的解答，可是他已不需要这项帮助了。反之，他就很可能完全不明白这一提问的作用。b. 它把所有的奥秘都显露出来，几乎没有留下什么可给学生做了。c. 即使学生能应用它来解决手头的这个题目，但对以后会碰到的题目他们根本没有学到什么。d. 就算学生懂得这提问的作用，可是他很难体会到教师凭什么会想到它的。4、启发的适时性策略分析当启处启，当发处发，“启”在关键处，“发”在要害处，防止超前启发和滞后启发。“首先是不是该呢？”，“接下来是不是呢？”，“然后是不是呢？”启发的时间等待理论。示例：“你能不能应用勾股定理啊？”当教师这样进行提问时，对学生的帮助就是太多了。它有以下几点坏处（大意）：a. 如果学生已经接近于问题的解答，他当然明白这一提问所包含的启示意义，可是他已不需要这项帮助了。反之，一个学生离开问题的解决还远得很的时候，他就很可能完全不明白这一提问的作用。因此这一提问并不能帮助那些急需帮助的学生。b. 如果这一提问的启示意义是被了解了，那么，它把所有的奥秘都显露出来，几乎没有留下什么可给学生做了。c. 这一提问的启示意义太狭隘