初中数学射影定理与内接矩形类相似讲义 (二)

1、平行线及角平分线类相似模块一 平行线类相似平行线类相似的基本模型有如图，在中，点在线段上，若，则 【解析】过点作的平行线交于，可求出结果【答案】【巩固】如图，在中，则图中与相似的三角形（除外）有哪些？【解析】根据三角形相似的判定定理，可知道【答案】【拓展】如图，点在射线上，点射线上，且，若的面积分别为，则图中三个阴影三角形面积之和为 【解析】由平行得到相似的三角形已知A2B1B2，的面积分别为，且两三角形相似，因此可得出，由于与是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为，根据的面积为，可求出的面积，同理可求出和的面积即可求出阴影部分的面积【答案】，的面积分别为又

2、的面积是（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：，三个阴影面积之和为如图，已知，求证：【解析】由一个平行得到比例线段，再根据已知条件，以及线段间的等量代换得到，得到证明，得到相等的角，最后得到证明【答案】，又，【巩固】在平行四边形中，点为的中点，连接，交于点，则=（）【解析】根据四边形是平行四边形，求证，然后利用其对应边成比例即可求得答案【答案】四边形是平行四边形，点为的中点，【巩固】如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线相交于，求证：【解析】根据所要证明的结论，由三点定形法可初步判定需要证明，但根据所给的已知条件无法找到有利的条件得到证明，于是回到题中看看怎么样能利用到已

3、知条件，于是尝试着过作平行线得到证明【答案】过作交于，又，【拓展】如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则_ _【解析】先介绍常规的解法：如图，过点作或的平行线均可，不妨以左图为例来说明过点作，交于点， 当然，过点、点作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：看为直线所截，由梅涅劳斯定理可知，又，故上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法【拓展】如图，是的中线，点在上，是延长线与的交点（1）如果是的中点，求证：；

4、（2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由【解析】过点、作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用这些基本图形的性质来解题.以下给出种辅助线（还有几种没给出），解题过程不再给出当然，本题也可由梅氏定理直接得出结果看被直线所截，由梅氏定理可得又，故结论依然成立，解法同上（包括用梅氏来解题），不再给出【答案】见解析；结论依然成立模块二 角平分线类相似问题角平分线类的相似模型如下：方法点播：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试

5、，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决如图，是的角平分线，求证：【解析】由角平分线类的相似模型可作出辅助线：过点作交直线于，再根据平行得到相似的比例线段，最后题目得证【答案】过作交直线于，又平分，由可得：，【巩固】 已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：【解析】由外角平分线证明相似的模型可作辅助线：过作交直线于，根据平行得到成比例线段，再根据角与角相等的等量代换证明，结论得证【答案】过作交直线于，又平分，由可得：，【巩固】在中，线段平分交于点，交斜边上的高于点，过引的平行线交于求证：【解析】在相似问题中遇到证明线段相等的问题时一定要能想到：这个证明可能

6、是由两组成比例线段进行等量代换得到本题由角平分线得到角相等再由都是直角三角形，可证明一组相似三角形得到一组成比例线段，再根据平行线分三角形两边成比例得到比例线段，最后再根据一组相似三角形得到成比例线段，等量代换得到，题目得证【答案】平分又又，即注意：应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。（2）要注意比例性质的灵活运用，善于总结比例式变换时的方法和技巧。变化时，要头脑清醒，思路清晰，一个字母也不放过，并且每一步都要有根有据，切不可无根据的乱变，或者相当然地硬变。【拓展】在中，平分

7、交于点，求证：【解析】解法一：本题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点作的平行线，由于所给平分之后有两个的特殊角，可判定为等边三角形，再根据相似和平行导出线段的比例关系，最关键的一步是，将所得的两组线段整体相加，得到一个新的等式，最后发现问题得证解法二：分别以为边向外作两个等边三角形，即和，由平分后的角度为，可轻易证明得到两组比例线段和，两者相加后又重新得到一个新的等式，再根据等边三角形的特点代换相等的线段，最后问题也得证（本题只给出第一种解法的步骤）【答案】过点作的平行线，交于点.，等式两边同除以，则有：【拓展】如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、.证明：

8、是定值；求的最小值【答案】 方法一：过点作的垂线，分别交、于点、，过点作的平行线交的延长线于点.，因为点为定点，故、均为定点，为定值，所以是定值.方法二：过作，交于，易证得：设，即，整理得：，已知是的平分线上的定点，为定值.为定值. 因为，其中为定值，要使 的值最小，则必须使的值最小.而 又，当且仅当，即点处于点处时有最小值.此时有最小值本题的小问归根结底用到的也是拆分，不过它里面结合了“角平分线定理”和复杂的比例变换.作业如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）试猜想时的值，并证明你的猜想【解析】当时，； 当时，；当时， 当时，证明方法比

9、较多，选择两种介绍： 如上右图，过点作，交于点 ， ， 另一种解法就是梅氏定理，看被直线所截可知 ，而，故【答案】；当时，；当时，当时，3. 已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：【解析】利用三点定形法无法确定相似的三角形，所以考虑利用角平分线去找可以进行等量代换的线段，最后求出所要证明的结论【答案】在外过点作的平行线交的延长线于点，又，即即作业1如图，中，为边的中点，延长至，延长交的延长线于若，求证：【答案】过点作的平行线，交于点老师可引导学生通过作如下辅助线来证此题：如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则的长为（ ）A1 B2 C3 D4 【解析】先介绍常规

10、的解法：如图，过点作或的平行线均可，不妨以左图为例来说明过点作，交于点， 当然，过点、点作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：看为直线所截，由梅涅劳斯定理可知，又，故上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法【答案】3. 如图1，中，分别平分是的外角的平分线，交延长线于，连接（1）变化时，设若用表示和，那么= 90，E= ；（2）若，且与相似，求相应长；（3）如图2，延长交延长线于当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这

11、些三角形，并选其中之一证明【解析】（1）根据三角形内角与外角的关系可以用表示和；（2）与相似，根据题意知，可分三种情况讨论并求出相应长；（3）共三对以为例说明：由于是的外角，可得出；由于分别为的角平分线，不难得出，由此可得出，即可证得；即，再加上两三角形中一组对顶角，即可证得所求的两三角形相似【答案】（1）；（2）或或；（3）（2）本题分三种情况： ，推出为等腰直角三角形， ，推出中， ，推出中，（3）题目不难，这里学生自己给出解答步骤4. 如图，在直角中（），放置边长分别的三个正方形，则的值为 【难度】星【解析】根据已知条件可以推出然后把它们的直角边用含的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出的值【答案】在直角中（），放置边长分别的三个正方形，根据，（不符合题意，舍去），5