常州大学数值分析07-08试卷B及参考答案

1、0 江苏工业学院20072008学年第2学期硕士生考试试题解答一、(10分)举例说明如何在数值计算过程中防止相近数相减及避免“大数吃小数”答：1)防止相近数相减举例：当x充分大时，即x1时，计算.X+1、】x会出现相近数相减，可以用下述数学上等价的表达式1x+1+：X来计算，以避免相近数相减。5分2)避免“大数吃小数”举例：设8,i=1:1000,为区间0,0.5上的随机数，在字长为5的计算机上计算iS=12345+8+8+8121000时，如果采用上述给定的顺序计算S，则会出现大数吃小数的现象；要避免大数吃小数，这里可以采用表达式：S=8+8+8+12345规定的顺序来计算即可。212100

2、05分注：学生的举例只要符合要求均可以算对。二、(15分)(1)叙述Newton插值方法的方法思想；设f=0,f=1,f=3,f=5,试求f(x)的三次Newton插值多项式;(3)利用上述插值公式近似计算f(2.3).解：(1)牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式N(x)=a+a(xx)+a(xx)(xx)+a(xx)(xx)010201n,n通过Newton差商公式得到，且仅与xx0,1,0n1,x有关，由此可以保n其中a,i=0,1,2,i证在增加节点时，原先的计算量能够被充分利用。(2)根据列表函数可得差商表如下：00001.00001.0000003.00002.00000.500

3、005.00002.00000-0.1667f(x)的三次Newton插值多项式为：N(x)=(x1)+0.5(x1)(x2)0.1667(x1)(x2)(x3)3(3)f(2.3)沁N(2.3)沁1.54053三、(15分)简要叙述求非线性方程f(x)=0根的迭代法的方法思想。选用适当的迭代方法求方程x32x2x1=0在x=2.5附近的一个根，精度为103。解：(1)求非线性方程f(x)=0根的迭代法的方法思想将方程f(x)=0改写成x=屮(x) 由给定的初始近似解x0，给出如下迭代公式如果上述迭代序列X收敛,k则X*为方程f(X)二0的根。x=申(x)，k0,1,2,k+1k即limXX*

4、kkT87分(2)将方程x3-2x2-x-10改写成X31+X+2X2由此可得到相应的迭代公式x31+x+2x2。k+1k由于上述迭代公式的迭代函数在x2.5处的导数的绝对值小于1，因此上述迭代公式在0 x2.5附近具有局部收敛性。04分通过上述迭代可以得到上述方程根的数值近似计算结果如下：k012345xk2.50002.51982.53132.53792.54172.54394分四、(10分)叙述确定二次函数yax2+bx+c拟合下述列表函数的步骤xx0 x1xnf(x)f(x)0f(x)1f(x)n解：第一步，构造函数屮(a,b,c)=(ax2+bx+c-f(x)2iiii05分第二步，

5、令000上述方程是关于所求参数a,b,c的线性方程组。第三步，解上述方程组可得所求参数a,b,c，由此可得到用二次函数拟合上述列表函数的最小二乘解。5分五、(15分)叙述复化Simpson积分公式S计算Jbf(x)dx的方法思想，并用复化Simpsonn公式S计算积分n其中n3。fmI=J2cosx3dx解：方法思想：由截断误差可知当区间长度ba较大时，梯形求积公式的误差较大.为此,利用积分关于区间具有可加性，将a,b区间上的积分，分成若干小区间上的积分，以此来减少积分区间长度引起的误差.这就引入了复合求积公式.具体如下：设分点xa+ih，h(ba)/n将区间a,b分成n等分，则iJbf(x)

6、dx工Jxf(x)dx将每个小区间上的积分都用Simpson公式给出,i1i-1则得计算定积分的复化Simpson公式如下:Jbf(x)dxa工6f(叮+4f(xii1)+f(x)Sin7分利用上述公式，取n3时，可得如下计算结果：s=0.70238分六、(15分)说明求解微分方程初值问题的Runge-kutta方法的方法思想，并选用适当的方法解微分方程初值问题Jy-3x-ysinx,0 x0.4!y(0)-1的数值解，取步长h0.2.解：对于方程Jyf(x，y)，xxx0ny(x)y00龙格-库塔(RungeKutta)方法利用微分中值：y(x)-y(x)y(g)(x-x)f(g,y(g)(

7、x-x)i+1ii+1ii+1i其中ge(x,x).由于g未知，从而f(g,y(g)未知，故我们不能直接应用上述公式解微ii+1分方程.在实际计算时，我们只好寻找f(g,y(g)的适当近似，并由此得到相应的算法.例如:若用f(x,y(x)近似f(g,y(g)就可以得到Euler公式；更一般地，我们可以考虑用区ii间x,x上某几个点处f(x,y(x)的值的加权平均作为f(g,y(g)的近似，并满足一定ii+1误差要求，由此给出相应的公式：这就是Runge-Kutta(龙格-库塔)算法的思想.7分上述方程利用Runge-lutta方法计算得到的数值解为：x=0.2时，k1=0.0000k2=0.2

8、002k3=0.1982k4=0.3935y(1)=1.0397x=0.4时，k1=0.3934k2=0.5811k3=0.5756k4=0.7503y(2)=1.1549即x=00.20000.4000y=1.00001.03971.15498分注：允许用其他方法，例如Euler方法，求解微分方程的数值解.七、(10分)用LU分解法求解方程组：则有L=100-110-211U=2-110-1100-3解方程组Ly二b可得y=53-6解方程组Ux二y可得原方程组的解x=1-125分5分八、(10分)1)写出求解线性方程组Ax=b的Jacobi迭代格式的分量形式，其中A=(a)eRnxn，bgR

9、n；ij2)编写求解线性方程组Ax=b的Jacobi迭代格式的Matlab程序，要求该程序能根据方程的系数矩阵A、右端项b、初始近似解x、精度delta及最大许可迭代次数maxi输0出在许可迭代次数内由Jacobi迭代得到的满足精度要求的近似解及达到精度要求需要的最少迭代次数或输出在许可的迭代次数内Jacobi迭代没有得到满足精度要求的近似解的提示信息。解：1)Jacobi迭代格式的分量形式为：xk+i=(b一艺axk一工axk)/a，i=1,2,n，iiijjijjiiTOC o 1-5 h zjTj=i+1其中a丰0，i1,2,n。ii4分2)满足上述要求的Matlab程序如下：funct

10、ionx,iternum=jacobi(A,b,x0,delta,max1)%Input-Aisannbynnonsingularmatrix%-bisannby1matrix%-x0isannby1matrix;theinitialguess%-deltaistoleranceforX%-max1isthemaximumnumberofiterations%Output-Xisannby1matrix;thejacobiapproximationtothesolutionofAX=B%Examiningtheinputsifnargin2error(moreaugmentsareneeded

11、);break;endifnargin3x0=zeros(size(b);endifnargin4delta=1e-13;endifnargin5error(Incorrectnumberofinputs);break;endn=length(b);x=0*b;flag=0;iternum=0;fork=1:max1iternum=iternum+1;forj=1:nifabs(A(j,j)(delta+eps)error(A(j,j)equaltozero,dividedbyzero);endx(j)=(b(j)-A(j,1:j-1,j+1:n)*x0(1:j-1,j+1:n)/A(j,j);enderr=norm(x-x0);relerr=err/(n