高考数学复习圆锥曲线理科

1、椭圆思想方法：一、函数与方程的思想、待定系数法.在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其它 量的函数，运用函数的方法解决.求椭圆方程时，焦点位置不明确要分类讨论.求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几 何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程 组求待定系数.要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元 二次方程根与系数的关系求解.焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形.习惯上称作焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方 面入手：定义正、余弦定理三角形

2、面积.二、解题技巧.求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，2当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为m + =1(m0,n0),可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为 Ax2+By2=1(A0, B0),这种 形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便.求椭圆的离心率时，常常要列出 a, b, c的一个齐次方程，结合b2=a2 -c2,两边同除以a2化为e(e= 0的二次方程求解.椭圆上点M到焦点距离的最大值为a+c,最小值为a c.命题方向1 ：椭圆的标准方程22例1已知椭圆Rx-工+二七=1的焦距为4,则m等于()10 m m 2A. 4C. 4或 8B. 8

3、D.以上都不对变式练习： TOC o 1-5 h z 椭圆x2+my2= 1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m的值为（）1A.4B，2C. 2D. 4命题方向2:椭圆的定义例2 （2011新课标全国高考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为2原点，焦点F1, F2在x轴上，离心率为过F1的直线l父C于A, B两点，且 ABF2的周长为16,那么C的方程为.2变式练习：已知点M（V3, 0）,椭圆、+y2=1与直线y = k（x+43）交于点A、B, TOC o 1-5 h z 则AABM的周长为（）A. 4B. 8C. 12D. 16命题方向3:椭圆的离心率例3:已知Fi、F2是

4、椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若 ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是 （）D. 2C. 2-1变式练习：已知Fi、F2是椭圆k+2+S=1的左、右焦点，弦AB过Fi,若4ABF2的周长为8,则椭圆的离心率为命题方向4:椭圆中的最值问题 TOC o 1-5 h z 例4若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为()A. 1B.y/2C. 2D. 22x2 v2变式练习：设P是椭圆25+匕=1上一点，M、N分别是两圆：(x+4)2+v2=1和(x 4)2 + y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为

5、()A. 9,12B, 8,11C, 8,12D, 10,12点评：二.圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为|PC|+ r,最小值为|PC|-r,其中C为圆心，r为半径，故只要连接椭圆上的点 P与两圆心M、N,直线 PM、PN与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM|+|PN|+两圆半径和，最 小值为|PM|+|PN|两圆半径和.命题方向5:椭圆与其它知识的交汇例5(m6)与曲线2 v5-n+9-n二1(5n0? m23k2+ 1.xm +xnxP =2 二 一3mk3k2+1从而 yP= kxP+ m= 3卜口,m + 3k2+1yP 1 TOC o 1-5 h z kAP=xp又.|A

6、M| = |AN|, .AP,MN,m + 3k2+11则即 2m = 3k2+1. 3mkk把代入得m22m,解得0m0,解得 m1. 32综上求得1m的取值氾围是2Vm0, b0)的渐近线方程为y =b22象，而双曲线方一李=1(a0, b0)的渐近线方程为y= fx(即x= y)应注意其区别与联系.3.平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点.二、解题技巧1.巧设双曲线方程(1)已知双曲线上两点坐标，可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mnb0)的焦点相同，则可设其方程为aK+2:1(b2X0, b0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重 合，且双曲线的离心率等于45,则该双曲

7、线的方程为（）A. 5x21B，1C.g/=1D. 5x215545 44变式练习：已知抛物线和双曲线都经过点 M（1,2）,它们在x轴上有共同的一个 焦点，抛物线的顶点为坐标原点，则双曲线的标准方程是 .命题方向3:离心率例3 已知sin cos 41,双曲线x2sin Sy2cos 41的焦点在y轴上，则 5双曲线C的离心率e=.分析：双曲线焦点的位置与方程中系数的正负有关，焦点在x轴（或y轴）上，x2（或y2）系数为正，非标准形式的方程求几何量时要先化为标准形式.22变式练习：若ke R,则方程;31+=1表示焦点在X轴上的双曲线的充要K十3 K十2条件是（）A. - 3k -2B, k

8、-3C. k-2D. k-2命题方向4:双曲线的几何性质例4 （2011福州质检）若双曲线会 -1四外，b0）的焦点到其渐近线的 距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（） TOC o 1-5 h z A.书B. 5C. 2D. 2x2 y2x2 y2变式练习：已知双曲线 /一转=1（a0 , b0）和椭圆 行十七） 有相同的焦点， 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .命题方向5:综合应用x2 y2例5设Fi, F2分别是双曲线#=1（a0, b0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PE|=|FiF2|,且cos/ PFiF2 = 4,则双曲线的渐近线方程5为（）A

9、. 3xi4y= 0B, 3x坳=0C. 4xi3y= 0D, 5xMy=0分析：由双曲线定义知|PFi| |PF2|=2a,由条件|PD|=2c,依据cos/PF1F2 =5利用余弦定理可建立a与c的方程，结合a2+b2=c2可求3.解析：在不F1F2中，由余弦定理得|PF1|2+|F1F2|2一|PF2|2IPF1I2|PF1| 4cos/PFFzn2|PF1| |F1F2|=4c |PR4c =5.x2 y2变式练习：过双曲线了一转= 1(a0 , b0)的左焦点Fi(-c,0)(c0),作圆：x2a21+ y2 = Z的切线，切点为E,直线FiE交双曲线右支于点P,若OE= 2(0Fi

10、 + QP),则双曲线的离心率为()A. 1 10B.铲CrT解析：如图所示.一 一 一1一.OE=2（OFi + OP）, . .E 为 PFi 的中点,又中曰与。O相切，OELPF1.D. 2连接 PF2,则 PFPF2, |PF2| = 2|OE|= a,例6双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上，两条渐近线分别为li、12,经过右焦点F垂直于11的直线分别交11、12于A、B两点.已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，且BF与FA同向.求双曲线的离心率;设AB被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.22解析：(1)设双曲线方程为 点1(a0, b0),右焦点为 F(c,0)(

11、c0),则 c2 = a2+b2.1又BFfFA?向，故/AOF= 2OB所以2tanZAOF41 tan2 ZAOF 31b 1解彳# tanZAOF = 2,或 tanOF = 2(舍去).因此=万,a = 2b, c=a2+ b2 = 5b.所以双曲线的离心率 =乎.由a = 2b知，双曲线的方程可化为 x2 4y2 = 4b21由11的斜率为2，c=45b知，直线AB的万程为y=-2(x-V5b)将代入并化简，得15x2 32V5bx+84b2=0.设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2),则x + x2=”Wb,1584b2小=15AB被双曲线所截得的线段长寸

12、1+ - 2 2 |x1 x2| = 5 x1 +x2 24x1x24b将代入，并化简得1 = 丁，而由已知1 = 4,故b = 3, a = 6.所以双曲线的方 3石，x2 y2程为正=1.36 9抛物线解题技巧.由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定 要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论.抓准抛物线的开口方向及p的几何意义是 准确迅速求解的关键.抛物线的焦点弦涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题，常考虑应用定义求解.(1)若抛物线y2=2px(p0)的焦点弦为AB, A(xi, yi), B(x2, y2),则有如下结论： |AB|=Xl+X2+p；yiy2= p2；X1X

13、2p2了(2)直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点F p, 0时，常设l: x = my + p以简 化运算.韦达定理的应用涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算.4.关于抛物线的最值问题(1)A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|十|PF| 的最小值问题常用定义转化，由 A向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取 到最小值的P点.(2)直线l与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l的最小值问题，一般可设 出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与 l平行 且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距

14、离，后者更简便.典型例题：命题方向1 :抛物线的定义例1已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M,点 TOC o 1-5 h z A的坐标是A1, 4),则|PA|+|PM|的最小值是()119A.yB. 4C.2D. 5变式练习：已知点M（1,0）,直线l: x=1,点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点A.抛物线B.椭圆C.P,则点P的轨迹是（）双曲线的一支D.直线命题方向2:抛物线的标准方程例2 （2010北京西城区抽检）抛物线 a的值是（）y= ax2的准线方程为y=1,则实数1A. 4变式练习：点M（5,3）到抛物线x2=ay（a0）的

15、准线的距离为6,则抛物线的方程是命题方向3:抛物线的几何性质例3已知F是抛物线y2=x的焦点，A, B是该抛物线上的两点，|AF|十|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为（）a-4B. 1C-5D.4变式练习：已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A,B两点，|AB| = 12, P为C的准线上一点，则4 ABP的面积为（）18243648命题方向4:抛物线的焦点弦问题例4 (2010泰安市模拟)如图，过抛物线y2 = 2px(p0)的焦点F作倾斜角 为60的直线1,交抛物线于A、B两点，且|FA|=3,则抛 物线的方程是变式练习：设斜率为2的直线1过抛物线y2=ax

16、(aw0)的焦点F,且和y轴交于点A.若AOAFIO为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()A . y2 =切xB. y2 =切xC. y2 = 4xD. y2 = 8x命题方向5:综合应用 例5设F(1,0), M点在x轴上，P点在y轴上，且MN=2MP, PM，PF.(1)当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程； (2)设 A(xi, y1)，B(x2, y2), D(x3, y3)是曲线 C 上的三点,且 |AF|、|BF|、|DF |成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时，求B点的坐标.课题巩固x2 y -、，1 1、右椭圆万十器=1的离心率为5,则m =()-3

17、3-288-3C.d尚或22、以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点 M、N, 椭圆的左焦点为Fi,且直线MFi与此圆相切，则椭圆的离心率 e等于()A术1B. 2小C岑D坐、八，一，一 x2 y23、设F1、F2分别是椭圆 .十太=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是 25 16F1P的中点，|OM|=3,则P点到椭圆左焦点距离为 4、已知椭圆C:，+*= 1(ab0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y = x + 2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过焦点的直线l与椭圆相交于M, N两1-点，记直线PM, PN的斜

18、率分别为kPM、kPN,当kPMkPN=4时，求椭圆的方程.双曲线221.若点p（2,0）到双曲线a-2=1的一条渐近线的距离为V2,则双曲线的离心率为（）A. .2D. 2mB. 32.已知双曲线|2色=1四0, b0）的一条渐近线方程是y = /3x,它的一个焦点在抛物线y2 =22AA. 36108x2 y2口云一二124x的准线上.则双曲线的方程为（22x y /B.9 27= 1ei, e2, e3, e4,其大.如图，椭圆，与双曲线，的离心率分别为 小关系为.x2.已知二次曲线Ck的方程：+k（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件;若双曲线Ck与直线v= x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程;