高等代数北大版第三版习题答案II

1、第一章 第二章 第三章 第四章 第五章、t r ; 弟八早 第七章第八章 第九章 第十章高等代数（北大第三版）答案目录多项式行列式线性方程组矩阵二次型线性空间线性变换矩阵欧氏空间双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12.设A为一个n级实对称矩阵，且 A 0,证明：必存在实 n维向量X 0,使XAX 0。n ,且A不是正定矩阵。故必存在非证 因为A 0 ,于是A 0,所以rank A退化线性替换X C 1Y使X AX Y C 1 ACY YBY2yi2V22222ypyp i yp 2yn,且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在yp0, yp 1 yp 2yn

2、i,则可得一线性方程组 TOC o 1-5 h z CiiXiC12X2CinXn0Cp1X1Cp2 x2Cpnxn 0Cp 1,1X1 Cp 1,2X2C p 1,n Xn1CniXi Cn2X2gn Xn1由于C 0 ,故可得唯一组非零解Xsx1s,x2s,Xns使sis， as，nsXsAXs 0 00 1 11 n p 0,即证存在X 0 ,使X AX 0。13 .如果A, B都是n阶正定矩阵，证明： A B也是正定矩阵。证 因为A,B为正定矩阵，所以 X AX, X BX为正定二次型，且XAX 0,XBX 0,因此X A B X X AX X BX 0,是X A B X必为正定二次型

3、，从而A B为正定矩阵。14 .证明：二次型f Xi,X2, ,Xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。证 必要性。采用反证法。若正惯性指数若令则可得非零解0矛盾，故充分性。2f X1 , X2 , Xny1y1 y2yp 0，ypX1 , X2 , XnXi, X2,f X1, X2 , Xn2y1故有 f X1, X2 , Xn15 .证明:n2n Xii1nnX；i1可见:2X11)2)2y2, Xn2y20 ,即证二次型半正定。Xii12n X12X22X22X2Xn2X12X222yp yp 1y1 ，0。这与所给条件X1 , X2 , X nX12 2 X1X 2nXi

4、i12Xn2x1x22Xn 1 Xn )2是半正定的。2 X1 Xn2x2 X32X2 Xn2Xn 1Xn2Xn2x1 x22 X1 X n2X2X322X2X12 X1X 32XiXj oi j nX1 , X2 ,X1X2,Xn不全相等时X1, X2 , XnXn时X1 , X2 , Xn2X3XinXjXiXj2Xn 10。0。2Xn 1 Xn2Xn故原二次型f x1,x2,Xn是半正定的。16 .设f X1,X2, ,XnXAX是一实二次型，若有实 n维向量Xi,X2使 TOC o 1-5 h z X1Ax 0, X2AX20。证明：必存在实n维向量X00使X0AX00。设A的秩为r

5、,作非退化线性替换 X CY将原二次型化为标准型 222XAX diyi d2y2drYr ,其中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量 Xi,X2使XiAXi 0 和X2AX2 0,故标准型中的系数d1,dr不可能全为1,也不可能全为-1。不妨设有p个1, q个-1 ,2222xax y yp ypiypq,这时p与q存在三种可能：p q， p q， p q下面仅讨论p q的情形，其他类似可证。令yiyq 1,yq 1yp , ypiyp q 1,则由Z CY可求得非零向量 X0使 2222X0AX0yiypypiyp q0,即证。A是一个实矩阵，证明：rank A A rank A 。0与

6、AAX 0为同解方程组，故只要证 由于rank A rank AA的充分条件是 AX证明AX 0与A AX 0同解即可。事实上AX 0 AAX 0X A AX 0AX AX 0即证AX 0与AAX 0同解，故rank A A rank A 。注 该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第 2题的证明，此处略。一、补充题参考解答.用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果:1) XnX2X2n 1X2X2n 1XnXn 1 ；22y1y2Ynyn 122Y2n 1 y2n ,2)X1X2X2X3XnXn；nX：Xi Xj ;11 i j n八 n2X1X2XnXi X ,其

7、中 X 1n解1 )作非退化线性替换X1y1y2 nX2y2y2n 1Xnynyn 1Xn 1y nyn 1且替换矩阵其中2）若T ATy1X1X2X3y2X1X2X32 y12y2y1y2y1y2于是当n为奇数时，作变换X1X2X2X3,VXix 1 Xi 2XXi iXi 2i 1,3,5, ,n 2 ,YnXnX1X2X2X3Xn 1 Xn2222Y1Y2Y3Y422Yn 2Yn111000111000111000111000且当n 4k 1时，得非退化替换矩阵为1111 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark331 o Current Document 1

8、100 HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 11T11当n 4k 3时，得非退化替换矩阵为1111 HYPERLINK l bookmark206 o Current Document 1100 HYPERLINK l bookmark349 o Current Document 11T11 HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 1101故当n为奇数时，都有1111TAT当n为偶数时，作非退化线性替换XiXi 1 Xi 2VXi 1Xi 22Xn 1 XnYn 1Xn 1 XnynX1X2X2X3i

9、1,3,5, ,n 3 ,2222Xn 1Xn Y1Y2Y3Y422Yn 1Yn,于是当n 4k时，得非退化替换矩阵为1111111100001111T1100于是当n 4k 2时，得非退化替换矩阵为1111 HYPERLINK l bookmark543 o Current Document 110011T11故当n为偶数时，都有 HYPERLINK l bookmark377 o Current Document 11 HYPERLINK l bookmark172 o Current Document 00 HYPERLINK l bookmark523 o Current Docume

10、nt 11 HYPERLINK l bookmark180 o Current Document 00TAT3）由配方法可得f于是可令X1X2xj j 321 n 1 2xn 1 - xnxn ,n 2ny1x1y2 x22jxj23jxj31 yn 1 n y nn 1- xnnyn xn则非退化的线性替换为13y3 TOC o 1-5 h z 1 x1y1- y221x2y23 y311yn 1- y nn 1 n1xn 1yn 1 y nn且原二次型的标准形为2y13 24y2n 2FT yn2n相应的替换矩阵为11111123n1n111013n1n11001n1n00011n0000

11、1又因为所以4）令TATyi xi xy2 x2 xyn 1 xn 1 x y nxn则nxi 2yiVi 2nx2yi 2y2 Vi 3n 2 xn iyi 2yn i yni ixnYn由于yixin i原式 y2i i HYPERLINK l bookmark80 o Current Document nn i2ynyyii ii iyi i in i 22 V yii ii i j n i3 2 Z22zn i2z23 22Z2其中所作非退化的线性替换为 TOC o 1-5 h z 111YlZi-Z2-Z3一； Zni23n 1111y2Z2- Z3Z4-Zn134n 1y n 1Z

12、n 1ynZn故非退化的替换矩阵为nXi i 1X1X, X2X,XnX1X213131丁1丁1n 111n 111nnnnnnX11n 111n 11X2nnnnnn11n 111n 1XnnnnnnnXXnX1 , X2, ,Xx所以2.设实二次型证明：f的秩。Xi, X2,ZAZTATf Xi,X2,Xnn iiinnnXiin iiX2nnniin iXnnnn, XXaiiXiXi,X2, ,Xn的秩等于矩阵ai2ai2X2a2ia22a2n设 rank A r ,f Xi , X2 ,卜面只需证明rank AErPAQ 0从而a，asias2asn,Xnr即可。由于rank Ara

13、nk故存在非退化矩阵P,Q使PAEr 0由于Q 1 Q 1即证rank A3.设其中li iP,PAAPPA APEr0Er0是正定的，因此它的rankAA 。f Xi,X2,1,2, p负惯性指数BrDBrD22,Xnl1l2设 li bi1X1 bi2X2f X1,X2, Xn的正惯性指数为S ,yi ci1X1ci2X2使得f X1,X2, ,Xnl122y1卜面证明s p。采用反证法。bi1X1bpiXiEr 0Er0r级顺序主子式lp lp1Br,Xn的一次齐次式,binXni 1,2,秩为Br00,从而A A的秩为21Pq证明：f X1, X2, Xnr ,则存在非退化线性替换ci

14、n Xn1,2, ,n ,的正惯性指lfcs 1 ,1 X1cn1X1lp l2122ys ys1l2q2yr P ,考虑线性方程组binXn0bpnXn 0cs 1,n Xn 0cnn Xn0该方程组含p n s个方程,小于未知量的个数n ,故它必有非零解a1, a2, an ,f ai ,a2, ,anlp 12yi上式要成立，必有yiys0,这就是说，对于x1 a1, x2an这组非零数，有yi0，y20,yn 0 ，这与线性替换Y CX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以同理可证负惯性指数r4.设AiA21A2A22是一对称矩阵，且Ai 0,证明:存在T个级数与 A22相同的矩阵。证只要令

15、TE1A21A11注意到A12Ai；A；,则有TATA1i 0使TAT ；,其中表示1AiA12EA21A1AiA21A2A221 -Ai A12EAii0A121A 21A1 A12A220i.A11 A12EAi即证。5.设A是反对称矩阵，证明:A合同于矩阵01O1 00证采用归纳法。当n 1时，A0合同于0 ,结论成立。下面设 A为非零反对称矩阵。当n 2时A 0a12第2行乘a01弘 0 第2列乘屋1 0，01人一，故A与合同，结论成立。1 0k时结论成立，今考察n k 1的情形。这时0Aaka1,k 1 TOC o 1-5 h z aka1,k10ak,k1ak,k10如果最后一行（

16、列）元素全为零，则由归纳假设,结论已证。若不然，经过行列的同时对换,1不妨设ak,k 10,并将最后一行和最后一列都乘以 ，则A可化成ak,k 10akb1a1k01b 1 0再将最后两行两列的其他非零元bi,aik i 1,2, ,k化成零，则有0b1,k 100b1,k 1000 ,00010010由归纳假设知bi,kb1,k 1合同，从而A合同于矩阵再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对1级矩阵也成立，即证。6.设A是n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c,使对任一个实n维向量X都有证因为XAX令 a maX ai.jX AXa。XiXji.jaaij i,jXi利用xi xj2Xi2X

17、j2XAX a可得i.jXixjXAXai.jXian xi2 cX X ,其中c an ,即证。7 .主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1）设A是一对称矩阵，T为特殊上三角矩阵，而 B T AT ,证明：A与B的对应顺序主子式有相同的值；2）证明：如果对称矩阵 A的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵T使T AT成对角形；3）利用以上结果证明：如果矩阵A的顺序主子式全大于零，则 XAX是正定二次型。证1 ）采用归纳法。当n 2时，设 TOC o 1-5 h z anai2a2ia22B TAT HYPERLINK l bookmark220 o Current Doc

18、ument 10a11a121b HYPERLINK l bookmark222 o Current Document b1a21a2201考虑B的两个顺序主子式：B的一阶顺序主子式为 a11,而二阶顺序主子式为B T|A|T| 1? A?1 |A,与A的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。归纳假设结论对n 1阶矩阵成立，今考察 n阶矩阵，将A,T写成分块矩阵An 1其中Tn 1为特殊上三角矩阵。于Tn 10B1An 1annTn 101TmAmTmBni由归纳假设，B的一切 n i阶的顺序主子式，即Bn i Tn i An iTn i的顺序主子式与 A i的顺序主子式有相同的值，而B的n阶顺

19、序主子式就是 B ,由T |A|T 1? A?1 A,知B的n阶顺序主子式也与 A的n阶顺序主子式相等，即证。2 ）设n阶对称矩阵A aj ,因aii0,同时对A的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵aii0b2naii0Bnibn2bnn于是由i）知u0,从而b220,再对Bni进行类似的初等变换，使矩阵 Ai的第二行和第二列中除b22外其余都化成零;如此继续下去,经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将 A化成对角形B。n由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵 ,左乘一个下三角形阵，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在 T Ti,T2,

20、 ,Ts,使TAT B , 命题得证。3 ）由2）知，存在T使 i TAT2Bo又由i）知B的所有顺序主子式与 A的所有顺序主子式有相同的值，故a11所以20。所以a11a12a22aii0,0,ai1aii1,2,因X TY是非退化线性替换,由于o证明:X AXn都大于零,1）如果YT ATY21 V1故X AX是正定的。2Vl.2n 丫 n ,naijXiXj j 1aijaji是正定二次型,那么f Y11Y2,a11%anV1a21a22a2nV2aman2annVnV1V2Vn0，Vn是负定二次型;）如果A是正定矩阵，那么ann Pn这里Pn1是A的n 1阶顺序主子式;）如果A是正定矩

21、阵，那么a11a22ann o）如果T tj是n阶实可逆矩阵，那么 TOC o 1-5 h z Tl2t;i 1证1 )作变换Y AZ,即yiailai2y2a21a22ynanian2则aiif yi,y2, ,ynaniyia yiAYZAZA因为A是正定矩阵，所以 f /。2,2 ) A为正定矩阵，故Pn i对应的fn i yi yn i是负定二次型。注意到aiiai,n iAan i ,ian i,n ianian,n iaiiai,n ian i,ian i,n ianian,n it2itni ain 4 TOC o 1-5 h z a2nZ2annznain0ann0ynyizi

22、ynzniynznAZ AZZ。,yn是负定二次型。n i阶矩阵也是正定矩阵，由 i)知aiiai,n iyian i,ian i,n i yn iyiyn i0ainan i ,nannainaiiai,ni0an i,nan i,ian i,ni 00anian,ni annf n i ain，a2n，an i,nann Pn i ,又因 fn 1 a1n , a2n ,0ain中至少有一个不为0时，所以0时,ann Pn 1 ,当 a1na2nann Pn 1 ,综上有A%nPn3 ）由2）得AannPn 1annan1,n 1 Pn 2annan 1,n 1 a11。4 ）作非退化的线

23、性替换TY,则XXYT TY为正定二次型，所以 TT是正定矩阵，且TTt11tn1t11t1nt1nt nntn1tnnt121t21t21t22t2222t1n t2nt 2nn再由3）便得T2TTt2i2 tni 。9.证明：实对称矩阵A是半正定的充分必要条件是 A的一切主子式全大于或等于零（所谓k阶主子式，是指形为的k级子式，其中1i1即1%知2ai2ikaiki1aiki2aikikikn）证必要性。取A的任一个m阶主子式相应的矩阵aiiiiaiiimAmaimiiaimimAm对应的二次型为aisik xisxikX1Am X1,令 Xi0 iij,n，代入a。XiXj 0 ,得i.

24、j iaisikXiXiAm Xi0,故存在非退化矩阵Tm使di其中dj 0 i i,TmAmTmAmd2dmi,2, ,n o充分性。设 A的主子式全大于或等于零，任取AmEmA的第m个顺序主子式相应的矩阵由行列式性质，得aia12aimi,2, ,n ,amidm2a mmaimAma2ia22a2mamiam2a mmEm AmP miPmiPm,其中Pi是A m中一切i阶主子式的和，由题设，A的一切i阶主子式Ai0,所以P0。故当 0时，有Em Am 0, TOC o 1-5 h z 即当 0时，Em Am是正定矩阵。假若 A不是半正定矩阵，则存在一非零向量X0,使X0AXc c 0。

25、于是令cX0X00,c HYPERLINK l bookmark290 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark313 o Current Document X10 x20 xn0X0 E AX0 X0 EX0 X0AX0这与 0时 E A为正定矩阵矛盾，故 A为半正定矩阵。第六章线性空间.设 M N,证明：M I N M,M U N N。证任取 M,由M N,得 N,所以 M N,即证M NIM。又因M N M,故MI N M。再证第二式，任取 M或 N,但M N,因此无论哪一种情形，都有 N,此即。但N M N,所以M U N N。.证明 M (

26、N L) (M N) (M L) , M (N L) (M N) (M L)。证 x M (N L),则x M且x N L.在后一情形，于是x M N或x M L.所以 x (M N) (M L),由此得 M (N L) (M N) (M L)。反之，若x(MN)(ML),则 xMN或xML.在前一#形，xM,xN,因此xNL.故得xM(NL),在后一情形，因而xM ,xL,xNUL,得xM(NL),故(MN)(ML) M(NL),于是 M(NL)(MN)(ML)。若 x MU (NIL),则 x M,x NIL。在前一情形 Xx MUN, 且X MUL,因而x (MUN)I(MUL)。在后一

27、情形，x N,x L,因而x MUN,且X MUL,即X (MUN) I (MUL)所以 (M U N) I (MUL) M U(NU L)故M U (N I L) = (M U N) I ( MUL)即证。3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1)次数等于n (n 1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2)设A是一个nxn实数矩阵，A的实系数多项式f (A)的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法；3)全体实对称(反对称，上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4)平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5)全体实数的二元数列，对于下面定

28、义的运算：(a1, b) (a b (& a2, b1 b2 a1a2)ko (al, b) = (kab kb+ k(k a226)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：koa 0 ；7)集合与加法同6),数量乘法定义为:koa a；8)全体正实数r ,加法与数量乘法定义为：a b ab, koa ak ；解1 )否。因两个n次多项式相加不一定是 n次多项式，例如(xn 5) ( xn 2) 3。2)令V=f (A) |f (x)为实数多项式，A是nxn实矩阵因为f (x) +g (x) =h (x), kf (x) =d (x)所以f(A) +g (A) =h (A), kf

29、 (A) =d (A)由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的18条，故v构成线性空间。3 )矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的18条性质，只需证明对称矩阵(上三角矩阵，反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：当A, B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有(A+B =A+B=-A-B=- (A+B , A+B仍是反对称矩阵。(KA) KA K( A)(KA),所以kA是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。4)否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。5)不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，(0, 0)是零元，任意(a, b)的负元是

30、2(-a , a -b )。对于数乘：1。(a, b)(1 a,1。b a2) (a,b),2 TOC o 1-5 h z l(l 1) 2l(l 1) k(k 1)2、k.(l.(a, b) k.(la, lba ) (kla,klba2(la)222l(l 1) 2, k(k 1)/1、2、. kl(kl 1) 2 k(k 1)、2、(kla,klba -(la) )(kla,-a-(la)2222(klakk_a2 klb) (kl ).(a, b), 2(k l)(k l 1) 2(k l).(a, b) (k l)a,a (k l)b2k(k 1) 2l(l 1) 2 TOC o 1

31、-5 h z k.(a,b) l.(a,b) (ka,kb - a ) (la,lb -a HYPERLINK l bookmark123 o Current Document 22k(k 1) 2 k(k 1) 2 . 2、(ka la,kb a a kla )22(k 1)(k l 1) 2(k l )a, a (k l )b.2即(k l) (a,b) k (a,b) l (a,b)。k (a1,b1 )(a2,b2)k (aa?,” b2 aa2)= k(a a2),k(b1 b2 a1a2k(； 1)(a az)2),k (,)k (a2,b2)k(k 1) 2= (ka1,kb1

32、a)(ka2,kb2k(k=(ka1ka2, kb1k(k 1)a2 kb2=(k(a1 a2),k(b1 b2a1 a2)=(k(a1 a2),k(b1 b2a0)4)2k(k 1) 2.2、a2 k a1a2)21) 2 k(k 1)2 aa222k(k 1)2k(kk2k a)即 k (a1 ,b1 )区心)(a2 a；)2),k (a1bjk (a2,b2),所以，所给集合构成线性空间。6)否，因为10.o2，所以(k l) (k ) (l ),7)否，因为(k l) ,k l所给集合不满足线性空间的定义。8)显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足i)a b ab ba b

33、 a;ii )(a b) c (ab) c abca (bc) a (bc);iii )1 是零兀：a 1 a 1 a;iv)a的负元是1: a 1 a 1 a a aiv)1 a a a;ll kvi)(ko(l oa) ko(a ) (a )1,且a 1; alk kla a (kl) oa;vii )(k l) oa ak lak al(ka) (la);viii )k o(a b)k o(ab) (ab)k akbk (koa) (kob).所以，所给集合 R构成线性空间。4在线性空间中，证明：1) k0 0 2 ) k(证 1 ) k0 k( () kk( ) k k( 1)(k (

34、 k)00。2)因为 k( ) k k()k，所以 k( ) k k5证明：在实函数空间中,1, cos21 ,cos 2t式线性相关的。证因为cos 2t2 cos21 1,所以1, cos2 t,cos2t式线性相关的。6如果f(x), f2(x), f3(x)是线性空间Px中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。证 若有不全为零的数 k1, k2, k3使 k1fl(x) k2 f2(x) k3 f3(x) 0 ,不妨设k1 0,则f1(x)3f2(x) f3(x),这说明f2(x), f3(x)的公因式也是f1(x)k1k1的因式，即f(x), f2(x), f3

35、(x)有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以f1(x), f2(x), f3(x)线性无关。7在P4中，求向量 在基1, 2, 3, 4下的坐标。设1)1(1,1,11), 2(1,1, 1, 1), 3 (I 11 1)，4 (I I 11)，2)1(1,1,0,1), 2(2,1,3,1), 3(1,1,0,0), 4(0,1, 1, 1),(0,0,0,1)。解1）设有线性关系abcd1abcd2a 1 b 2 c 3 d 4,则abcd1abcd15 .1可得在基1, 2, 3, 4下的坐标为a -,b -,c44?d2）设有线性关系a 2b c 0a b c d 0a 1 b 2

36、c 3 d 4，则3b d 0a b d 1可得在基1, 2, 3, 4下的坐标为a 1,b0,c1,d0。8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间Pn n; 2） Pn n中全体对称（反对称,上三角）矩阵作成的数域 P上的空间；3）第3题8）中的空间;4）实数域上由矩阵 A的全体实1系数多项式组成的空间，其中A= 00解 1） Pnn 的基是 Eij（i, j 1,2,.,n）,且 dim（Pnn）n2。1 3i1.2) i)令Fj ,即aj aji 1,其余元素均为零，则.1 F11,.,F1n,F22,.,F2n,.,Fnn是对称矩阵所成线性空间M n的一组基，所以M n是n(

37、n 1), 维的。ii)令Gij.,即a。 aji 1,(i j),其余元素均为零，则.1 G12,.,G1n,G23,.,G2n，,Gn 1m是反对称矩阵所成线性空间Sn的一组基，所以它是n(n 1),维的。2iii)E11,.,E1n,E22,.,E2n,.,Enn 是上三角阵所成线性空间的一组基，所以它是n(n 1),维的。23)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量，例如取2,且对于任一正实数 a,可经2线性表出，即.a (log2 a) 2,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。4)因为1,所以1,n 3q,n 3q 1 , ,n 3q 2于是A21,A31 E,而 An1E,n

38、 3qA, n 3q 1。A2,n 3q 29.在P4中，求由基12, 3, 4，到基1, 2, 3, 4的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标。设11,0,0,0彳 20,1,0,0130,0,1,040,0,0,1X1,X2,X3,X4 在1,2, 101, 1,1,11,2,1,11, 1,0,112,1, 1,120,3,1,035,3,2,146,61,31, 2, 3, 4下的坐标;12,1,0,120,1,2,232,1,1,2 41,31,21,0,0,0 在 1, 2, 3, 4，下的坐标;1. 1,1.11,1,1,11,1, 1, 11, 1,1, 11,1,0,12,1,

39、311,1,0,00,1, 1,1,0。4下的坐标;3,这里A即为所求由基2 , 3,4,到1,2,2,3,X1X2X3X4所以在基下的坐标为X1X21,4的过渡矩阵,将上式两边右乘得X11 X2X3X4X3X4491这里1 = 27113491192327 232627272 令 e1 (1,0,0,0),e2(0,1,0,0)(0,0,1,0),e4(0,0,0,1)则24)=( e1 , e2,e3 , e4 )110=( e1,e2 e3,e4)A,14)=( e1，e2,e3，e4) 03=(1el , e2,e3，e4 ) B,将(e1 , e2,e3 , e4 )=(一 1 .

40、_ 一4) A代入上式，得这里2,4)A31351=13213331311331321313且A 1B即为所求由基1331341001131311,A 1B=101，410111131300107813131, 2,3 ,4,到基1, 2,3 ,4的过渡矩阵6511,进而有1,0。0所以在1,=(e1，e2,e3,e4)3, 4)3 e,e2,e3,e4 同 2 ,3,1 A=1313513213 3134下的坐标为同理可得,B=313,513,213,313标。1=1一 4则所求由1B=再令2,1, 2, 3, 4的过渡矩阵为2+c1,0,0,03+da, b, c, d由上式可解得 在下的

41、坐标为10.继第又因为a, b, c, d2,9题1)求一非零向量4,2 a,b, c, d1它在基在两基下的坐标为 x1,x2, x3,x4x1X2x3x44下的坐标为2,1,1,x1又2x3x4卜有相同的坐1 , 2 , 3, 4)3,4)A，所以于是只要令X4c,就有x1 2x23x3 6cX1X2X1X3X3 c ,2c0,X1X1X1X2X2/_X2=A(A - E )X3X3X3X4X4X4二0。0,且解此方程组得X1, X2,X3,X4二 c, c,c,（c为任意非零常数）,取c为某个非零常数c0 ,则所求c0 1 c0 2c0 3 c0 4。.证明：实数域作为它自身的线性空间与

42、第3题8）中的空间同构。证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。.设M,V2都是线性空间V的子空间，且V1 V2,证明：如果V1的维数与V2的维数相等，那么V1 V2。证 设dim（ V1）二r ,则由基的扩充定理，可找到V1的一组基a1，a2,.a.，因V1,且它们的唯数相等，故a1, a2,ar,也是V2的一组基，所以V1二V2 。13. A Pn no1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C (A);2）当 A二E时，求 C （A）;3)当 A=时，求C (A)的维数和一组基。n证1 )设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)O若B,D属于C(A),可得A(B+D尸AB+

43、AD=BA+DA=(B+D)A ,故B+D C(A)。若k是一数，B C(A),可得A (kB) =k(AB)=k(BA)=(kB)A ,所以kB C(A)O故C(A)构成pnn子空间。2)当 A=E时，C (A) =pn n。3)设与A可交换的矩阵为B=( bj )，则B只能是对角矩阵,故维数为 n, Eii,E22,.Enn即为它的一组基。14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。解若记1 0 0A= 0 1 00 0 10 0 0000 E S,3 1 1abc并设B= a1b1c1与A 口父换，即a2b2c2000abcSB=000a1b1 c1311 a2b2 c23

44、aabc0 0 0 3cBS=a1b1c10 0 0 = 3ga2b2c23 1 13c2AB=BA 贝U SB=BS 且由可是g c 0,000000，a1a2 3b b1b23c c1c2ccc1Ci ,c2c23a a1a23c23b b1b2 c23c2 3a a1a2 c2 3b b1 b2该方程组的系数矩阵的秩为2,所以解空间的维数为5。取自由未知量a, c2,并令b=1,其余为0,得c2=3,a=3;令ai =1,其余为0,得 C2 =3,a=令bi =1,其余为0,得 C2=1,a=1;令a2 =1,其余为0,c2=0,a=13；令b2=1,其余为0,C2=1,a=1;则与A可

45、交换的矩阵为其中B=a2bib2C2,a,C2可经b,a1，a2,b1,b2表示，所求子空间的一组基为且维数为5。同理,.如果C1a证由GC3.在P4中,a11)a2a3a4C2C30,且 C1C30,所以a可线性表出。故 L a,证明:a,经线性表出，即=L求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设2,1,3,1(1,2,0,1)1,1, 3,0)(1,1,1,1)a2a3a42,1,3, 1(1,1, 3,1)(4,5,3, 1)(1,5, 3,1)=L可经解 1) a1，a2,a3,a4的一个极 大线性 无关组a1，a2,a4 ,因此a1，a2, a4为L 81,82,33,84的一组基，

46、且的维数是 3。2) 31,32,33, 34的一个极大线性无关组为ai, a2,故 ai,a2是ai,a2, a3,84 的一组基，且维数为 2。17.在P4中，由齐次方程组3x12x25x34x43x1X23x33x43x15x213x311x4000确定的解空间的基与维数。解对系数矩阵作行初等变换，有1311所以解空间的维数是2,它的一组基为311 82 7 一，一,1,0 , 32- , ,0,1 。9 39 318.求由向量1,2生成的子空间与由向量2生成的子空间的交的基与维数，设321,21,01,1,1,12,1,1,0,11,3,731321,1,0,01,0,1,10,0,1

47、,10,1,1,03132331,2, 1, 2(3,1,11)(1,0,1, 1)设所求交向量则有k1k2k12k1k1k2k2k2k2l12,5, 6, 51,2,7,3k2l12l1l13l2l2l20l11 l22,l2 20,7l2 0可算得D19.因此方程组的解空间维数为(1,4, .3,1)所以它们的交）设所求交向量k1则有k1k2k2L(1,）是一维的,k111112120,故交的维数也为就是其一组基。任取一非零解523,4),k22 l111 22 ,因方程组的系数行列式不等于交的维数为0。）设所求交向量为得120,故方程组只有零解，即 k1 k2k1k22111k13k2k

48、32112klk12 klk281k2k2k3k32126115110,因此交向量11设V1与V2分别是齐次方程组X1127120 312 0知解空间是维的,因此交的维数是X21就是组基。Xn0,Xi X2(k1，k2,11, I2)=11120,从而1。令 111,可Xn的解空间,证明：PnV1V2.由于 X1x2Xn间是你 n其基为1( 1,1,0,.,0), 2( 1,0,1,.,0),., n 1(1,0,0,.,1)而由X1X2Xn 1 Xn知其解空间是1维的，令xn1,则其基为(1,1,.,1).且1, 2，n 1,即为Pn的一组基，从而 Pn V1 V2.又 dim(Pn) di

49、m(V1) dim(V2),故 Pn VV2.。.证明：如果 VV1V2 M V11 V12,那么V V11 V12V2。证 由题设知VV11V12 V2，因为V V1 V2,所以dim(V) dim(V1) dim(V2),又因为 V1V11V12，所以dim(V1) dim(V11) dim(V12),故 dim(V) dim(V11) dim(V12) dim( V2),即证 V V11 V12 V2。.证明：每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。证 设1, 2,., n是n维线性空间V的一组基。显然L( 1),L( 2)，.，L( n)都是V的dim( L( 1)一维子空

50、间，且L( 1) L( 2) . L( n) L( 1, 2,., n)=V,又因为dim( L( 2) . dim( L( n) dim(V),故 V L( 1) L( 2)L( n)。i 1Vj0(i 2,.,s)。j 1s.证明：和Vj是直和的充分必要条件是 Vii 1Vj 0,所以 j1i 1证 必要性是显然的。这是因为 ViVj Vij1i 1ViVj 0。j1s TOC o 1-5 h z 充分性 设 Vi不是直和，那么0向量还有一个分解 012i 1其中jVj(j 1,2,., s)。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是 k(k s),则012. k 1 k ,即 12. k

51、1 k ,k1k1因此kVj, k Vk,这与Vk Vj 0矛盾，充分性得证。j1j123.再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性空间 R3。1)问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间2)设有过原点的三条直线，这三条直线上白全部向量分别成为三个子空间L1,L2,L3,问LiL2,Li L2 L3能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来；3)就用该三维空间的例子来说明，若 U,V,X,Y是子空间，满足 U+V= X, X Y,是否一 定有 Y YI U Y I V。解1)终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在 不过原

52、点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。Li L2 ;(1)直线11与l2重合时，是L1L2一维子空间；li与12不重合时，时Li L2二维子空间。Li L2 L3 ：li，l2/3重合时，LiL2 L3构成一维子空间；li，l2,l3在同一平面上时，Li L2 L3构成二维子空间；li，l2,l3不在同一平面上时，Li L2 L3构成三维子空间。3)令过原点的两条不同直线li, l2分别构成一维子空间U和V, X= U+ V是二维子空间，在li, l2决定的平面上，过原点的另一条不与li, l2相同的直线l3构成一维子空间 Y,显然 Y X,Y U 0, Y V 0,因此(Y U)

53、(Y V) 0, 故Y (Y U ) (Y V)并不成立。二.补充题参考解答1.1)证明：在 Pxn 中，多项式 fi(x i).(X i i)(X i i).(X n)(i=1, 2,，n)是一组基，其中 1, 2,., n是互不相同的数；2)在1)中，取1, 2,., n是全体n次单位根，求由基1, x ,., xn 1到基f1, f2 ,., fn的过渡矩阵。1 )设 k1flk2 f2kn1代入上式，得f2（ 1） f3（1）fn(1）0，f1（ 1）0,于是k1 = 0。同理，将x2,., Xn分别代入,可得女2女3kn0,f1, f2,., fn 是 PX n 的一组基。所以f1,

54、 f2,., fn线性无关。而Px n是n维的,故2)取1 , 2,.n为全体单位根1, . 2nfiX 1,21 X XX 1nX 1 n 1 n 2Xn故所求过渡矩阵为f 工 in Xo.n 11, 2 ,.维线性空间V个n x s矩阵，且1, 2,., s)( 1 , 2,., n)A)证明：L（2 ，.，s）的维数等于A的秩。只需证2 ,.s的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。设asamanrans且rank (A) r, r min(n,s)。不失一般性，可设 A的前r列是极大线性无关组，由条1all 1 a21 2an1 n件得rar 1 a2r 2anr ns a1s 1a

55、 2s 2 a ns n可证1, 2,.,构成1, 2,., r, r1,., s的一个极大线性方程组。事实上，设 I11sk11k22kr r 0,于是得(ka11. krar) 1(k1a21. ka2r) 2.(k1an1. krar) n 0,a11kla12k2. a1r kr0因为1, 2,., n线性无关，所以amKan2k2a nr kr 0该方程组的系数矩阵秩为r,故方程组只有零解k1k2kr0,日KE 1 , 2 ,., r线性无关。其次可证：任意添一个向量j后，向量组2,., r，j 一定线性相关。事实上,ank1a12k2. arkr如勺设 k 1k2 2kr r kj

56、 j 0 ,于是an1k1 an2k2anr kr anj k j其系数矩阵的秩为rr+1 ,所以方程组有非零解k1,k2,.,kr,k,即1, 2,., r, j线性相关。因此， 1, 2,., 是1, 2,.,s的极大线性无关组。从而L( 1, 2,., s)的维数等于A的秩，即等于rank(A)。13.设f (x1,X2,.,Xn)是一秩为n的二次型，证明：有 Rn的一个(n s)维子空间Vi(其中为符号差),使对任一(x1,x2,., xn)V1，有 f(x1,x2,.,xn)= 0。证 设f (x1,x2,.,xn)的正惯性指数为p,负惯性指数为q,则p+q=n。于是存在可逆矩阵,c, Y= CX 彳f (x1 ,x2,.,xn)=y1. yp yp 1. ypq11由 一