高考数学复习专题向量的模长问题几何法

1、第34炼向量的模长问题一一几何法、基础知识:r r1、向量和差的几何意义：已知向量a,b,则有:r r(1)若a,b共起点，则利用平行四边形法则求r r r r r ra b ,可得a b是以a,b为邻边的平行四边形的对角线r r(2)若a,b首尾相接，则利用三角形法则求出r r rb, a,b围成一个三角形r2、向量数乘的几何意义：对于 ar r(1)共线(平行)特点：a与a为共线向量，其中r r0时，a与a同向;r0时，ar与a反向(2)模长关系:3、与向量模长问题相关的定理:(1)三角形中的相关定理：设VABC三个内角A,B,C所对的边为a,b,c正弦定理:a bsin A sinBcs

2、inC 余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A(2)菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。(3)矩形：若四边形 ABCD的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何 图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长二、典型例题：例1 : (2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷)已知向量r ra,b的夹角为45,且r1,2aA. 5 B.2 C, 2、2 D.32思路：本题利用几何图形可解，运用向量

3、加减运算作出如下图形：可知A. 2B.5 C.2 或 5 D.J2 或 J5r r r思路：首先由a,b,c两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是r r ra,b,c同向（如图1,此r r r时夹角均为0）,则a b c为5 ,另一种情况为两两夹角突破口，由平行四边形法则作图得到r r rb与a,b夹角相等,23 r a（如图2）,以1 （底角为60o的菱AB 2,B -, AC 屈，只需利用余弦定理求出|BC即可。 . .一一 r .222,解：如图可得：b |BC ,在 VABC 中，有：AC |AB | BC 2 AB| BC cosB一2即：10 4 BC|2 2 BC cos-B

4、C2 272|BC 6 0 解得 BC| 3板或BC 夜（舍） r l 所以b 3展，答案：选Dr r r例2：若平面向量a,b, c两两所成的角相等,r形性质），且与c反向，进而由图得到答案：C例3:已知向量ra的取值范围是（r r r a, b ,且 ar2 ,则 2bA. 1,3B.2,4 C.3,5 D.4,6思路:r先作出a ,即有向线段r rAB，考虑2b ar,将2b的起点与A重合，终点C绕A旋转2 b 4,则 2b达到r .ra即为BC的长度，通过观察可得 C与A,B共线时2br r最值。所以2b a max5, 2baminr3,且 2bra连续变化，所以r2b的取值范围是3

5、,5答案:例4:r r设a,b是两个非零向量，且思路:r r r r可知a,b,a b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2可知满足条件的只能是底角为 60,边长a 2的菱形,求出另一条对角线的长度为2.3答案：2、3例5:已知r ra,b为平面向量,从而可rD.b与a的夹角为一，aB.C._63思路:可知r r rb,a,b为平行四边形的一组邻边及对角线，通图和平行四边形性质得：在VABD中AB,ABD -, ADB 由正弦定理可得:ABADsinADBsin ABDsin 一4sin 一 3.634a1,即十b_63答案:已知r a,.一 .一 r .b是单位向量，且a,b的夹角为大值为

6、（B.C.ft广 6.一 r . 一 , r r 一,右向量c满足|c a 3r2b |2, r. 则| c |的最D.litr思路：本题已知a,b模长且夹角特殊，通过作图可得2b a为模长为LT,设mr r2b a ，ir r irr r则可得m 2且c m 2b a为半径的圆上。通过数形结合可得uur r,而m可视为以2b a共起点，终点在以起点为圆心,答案：A例7：在VABC中， B平面内的一点，且uuu 3OAc的最大值为2邪（此时m的终点位于a点）uuu-,A6 uuu2OB6 ,设D是AB的中点，O是VABC所在uuurOCuuuDO的值是C.3D.思路：本题的关键在于确定O点的位

7、置，从而将uuurDO与已知线段找到联系,uuu将 3OAuuu2OBuurOCr0考虑变形为uur 3OAuuu2OBuurOCuuu3 OAuuuOBuuu uur uuuOB OC CB,即uuuOEuurr uuuOA OB ,则O,D,E三点共线，且OE / BC ,uurOD答案:1 uur-OE 2B1 uuu6CB例8：已知向量R,恒有r思路：本题以artere作为突破口,通过作图设uuurr则有AD te 。从而可得arBC , arteuuuOAuuu 1 uurrOB -CB,设3所以由平行四边形性质可得:r ra teuuuABrr rrrae,则eae的值为uuura

8、, AC e, D为直线l上一点,BD| ,即|BD BC，所以C点为直线l上到B距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为B至U l的垂线段。所以 BC l ,即答案:小炼有话说：本题若用图形解决，找到r rte, are在图上的位置和两个向量的联系是关键r若向量ac,b c的夹角为60,则c的最大值是思路：由a,b条件可得a,b夹角 的余弦值csr ra bab120,若用代数方法处理夹角60的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设uurABr UULT a,ADr uuur r b,AC c ,则uuurrr uuurrCDbc,CBac,即 DCB 60,从而 DCB180,可判

9、定A,B,C,D 四点.LUTr共圆，则 AC的最大值为四边形 ABCD外接圆的直径，即VABD的直径。在VABD中，由余弦定理可得:BDABAD2 AD| AB cs7 ,所以BD 书,由正弦定理可得：d 2RBD 2 21sin BAD2 21max 3urur urur=1 ,且与 的小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找 几何图形进行求解。ur ur ur r ur ur例10: （2010年，浙江，16）已知平面向量，0, 满足夹角为120,则ir的取值范围是思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到2ur

10、 it itit2而 DBC 0,3sinDBC 0,1ir2-2.3rsinDBC 0,J33答案:ur的取值范围是0,空3小炼有话说:例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体解法如下:解:r 2ar2 r4a 4ar r2b b4 4 b cosa,br2 b10r2 b2 Mb解得例2:解:r2 br2ar2br 2ar r rQ a,b,c夹角相同r r r当a,b,c同向时，可得25r r r当a,b,c两两夹角时,可得1,b2一,a2所以综上所述:例3:解:r2br24br4ar2 a17b cos( a,b17.r r8cos ：； a,b因为 cos(a,b1,1r2b9,25r r即2b a3,5例4:解:2可得r2 ar2 br r2a b代入r2 br2a12例8:解:uuu 则OA2.33 3x, 239 6x 0得：2 一93 a c6y 0BC为x轴建立直角坐标系。所以C6,0 ,A3.32uuu,OB1343.3uuur x, y ,OC6 x, yuuu,由 30Auuu2OBuiurOCx,y，r0可13 3.3,所以O ， 44因