高考数学总复习等差数列

1、2008高考数学总复习等差数列知识梳理.等差数列的概念若数列an从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列an叫等差数列.通项公式：an=ai+ (n1) d,推广：an=am+ (nm) d.变式：ai=an- (n1) d, d=久二曳，d= an -am ,由此联想点列(n,小)所在直线的n -1n -m斜率.a - c.等差中项：右a、b、c成等差数列，则 b称a与c的等差中项，且 b= ; a、b、c 成等差数列是2b=a+c的充要条件.前 n 项和： Sn= -n(1an) =na1+ n(n-) d=n - an- 1 (n 1) nd. TOC o 1-5 h z

2、 222a1 anSn a1 a2 一 .iandd、变式： =a1+ (n 1) 一 =an+ (n 1) ().点击双基1(2003年全国，文 5)等差数列an中，已知a 二 一, a2+a5=4, an=33,则n是3A.48B.49C.50D.51解析：由已知解出公差 d=2,再由通项公式得 1 + (n1) 2=33,解得n=50.333答案：C(2003年全国，8)已知方程(x22x+m) (x22x+n) =0的四个根组成一个首项为 工的4等差数列，则|m n|等于 TOC o 1-5 h z A.1B.3C.1D.-428解析：设4个根分另1J为x1、x2、x3、x4,贝U x

3、+x2=2, x3+x4=2 ,由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为,m= , n=.4 44 41616一 ，1 . |m n |答案：C(2004年春季上海，7)在数列an中，ai=3,且对任意大于1的正整数n,点(Jan ,an。)在直线 x-y- 53=0 上，则 an=解析：将点代入直线方程得jan q,a二=眄,由定义知是以如为首项，以代为公差的等差数列，故、：an =/3n,即an=3n.答案：3n21(2003年春季上海，12)设f (x)=二,利用课本中推导等差数列刖n项和的公2x , 2式的方法，可求得f(

4、 5) +f( 4) +f(0) +f(5) +f(6)的值为.解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到 f (x) +f (1-x)=至,即f ( 5) + f2=,f ( 4) +f (5) = , f ( 3) +f (4) = , f ( 2) +f (3) = , f (-1) + f2222(2)=三，f (0) +f (1)=乏,故所求的值为3点.2答案：3 .2典例剖析【例1】 数列an的前n项和为Sn=npan (nCN )且awa2,(1)求常数p的值；(2)证明：数列an是等差数列.剖析：(1)注意讨论p的所有可能值.(2)运用公式an=S1n =1一求an.Sn S

5、nn 至 2.解：(1)当 n=1 时，a1=pa1,若 p=1 时，a+a2=2pa2=2a2,a1=a2,与已知矛盾，故 pw1.则a1=0.当 n=2 时，a+a2=2pa2,( 2p1) a2=0.- aw a2,故 p= 1.2 1n 2 时，an=Sn Sn1 = nan - (n-1) an 1.(2)由已知 Sn= nan, a=0.ann -1an Jn - 2a32一=则=,，=-.amn -2anNn -3a21an一=n 1 1. - an= (n 1) a2, an an 1 =a2.a2故an是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.评述：本题为“ Sn二an”的问题

6、，体现了运动变化的思想【例2】已知an为等差数列，前 项的和S110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前 方程.解：设an的首项为a1,公差为d,1c 110al + 父 10M 9d =100, 210项的和 S10=100,前100项的和 S100=10,求前110n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个100a11 100 99d =10,211a1 二 一77，解得501099d 二.100-1、， Sn0=110a1+ x 110 x 109d= 110. 2评述：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化 成关于由和d （q）的方程；巧妙运用等差（比

7、）数列的性质（如下标和的性质、子数列的 性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简 .思考讨论此题能按等差数列的关于和的性质来求吗？【例3】 已知数列an的前n项和Sn=12n-n2,求数列冏的前n项和Tn.剖析：由Sn=12nn2知Sn是关于n的无常数项的二次函数（nC N *）,可知an为等差数Tn.列，求出an,然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出解：当 n=1 时，a1=S1=12 12=11；当 n2 时，an=Sn Sn 1=12n n - 12 (n 1) (n 1) =13 2n.n=1时适合上式，,an的通项公式为 an=132n.,13由 an=13-2n

8、0,得 nW 一，2即当 1WnW6 (nCN*)时，an0;当 n7 时，an7 (n N*)时，Tn=|ai | + 忸2| +|an|=(ai+a2+ , + 36) (a7+a8+an)=(ai+a2+- +an) +2 (a1+ a6) o=Sn+2S6=n 12n+72.r9*,12n -n (1 n 7,neN ).评述：此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成 an的求和问深化拓展若此题的&=孑12n,那又该怎么求 呢?答案：Tn=-Sn n 7.闯关训练夯实基础1.等差数列an中，ai00且aii|a10|, Sn为其前n项和，则A.Si, S2,，Go都

9、小于。,Sn, S12,都大于0B.Si, S2,，Si9都小于0, S20, S21,都大于0C.Si, S2,，S5都小于0, S6, S7,都大于0D.S1, S2,，S20都小于0, S21, S22,都大于0解析：由题意知a1+9d 0,可得 d0, a1 |a0|= a0, , , a10+a11 0.由等差数列的性质知 a1+a20=a10+an 0,1- S20=10 （a1+a20）0.答案：B2.等差数列an的前n项和记为S,若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列Sn中也为常数的项是A.S7B.S8C.S13D.S15解析：设a2+a4+a15=p （常数），1

10、3a+18d=p,即 a7= p.3.q 13 a3）仆 13Si3= =13a7= p.答案：C13.在等差数列an中，公差为 一，且 a1+a3+a5+a99 =60,则 a2+a4+a6+a00= 2解析：由等差数列的定义知a2+a4+a6+ +a100=a + a3+a5+a99+ 50d=60+25=85.答案：854.将正偶数按下表排成 5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行182022242826那么2004应该在第 行第 列.解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第

11、二行开始排，故 2004为第251行第3列.解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4,公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.答案：251 35. (2004年全国，文17)等差数列an的前n项和为Sn,已知a10=30, a20=50. (1)求通项an；(2)若 Sn=242，求 n.解：(1)由 an=a+ (n 1) d, a10=30, a20=50, TOC o 1-5 h z 得方程组 aI+9d=30,a1+19d=50.由解得 a1=12, d=2 ,故 an=2n+10.(2)由 Sn=na1+ n(n -1)d 及 Sn=242 ,得方程

12、 12n+皿二1) x 2=242 ,解得 n=11 或 n= 22-22 (舍).6.设等差数列an的前n项和为已知a3=12, S20, S3V 0. (1)求公差d的取值范围；(2)指出S, S2, S3,，S12中哪一个最大，并说明理由.12(a1 a12)解：(1)a3=12,，a1=12 2d,解得 a12=12+9d, a3=12+10d.由 $20,63V 0,即一一以0,且 13a士竺！ 0,解之得24 d0,由一一 d- 3,易知 a70,故 &取大.7培养能力17.已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2Sn - Sn 1=0 (n2) , a二一.(1)求证：工是等

13、差数列；Sn(2)求an的表达式.(1)证明：.一 an=2SnSn-1,Sn+Sn 1=2SnSn 1 (n2) , Sn* 0 (n=1, 2, 3).112 TOC o 1-5 h z 一 一 =2.SnSn又工=工=2, . 是以2为首项，2为公差的等差数列.S1 a1Sn(2)解：由(1),工=2+ (n1)-2=2n, .&=.当 n2 时，an=Sn-Sn 1= 1 Sn2n2n 2(n-1)1、 一，或n2时,2n(n -1)-1an 2SnSn 1 ,2n(n -1)当 n=1 时，81=31=.212(en= _1(n_2).2n(n -1)8.有点难度哟！(理)设实数aw

14、o,函数f (x) =a (x2+1) ( 2x+1 )有最小值1.a(1)求a的值；(2)设数列an的前n项和Sn=f (n),令bn12 34 + +32n ,证明：数列bn是等差 n数列.(1)解： f (x) =a (x 1) 2+a-,由已知知 f (-) =a- 2=1,且 a0,解得 aaa aa=1, a= - 2 (舍去).(2)证明：由(1)得 f (x) =x2-2x,2, Sn= n 2n, a1=S1 = 1.当 n2 时，an=Sn-Sn 1=n2_2n (n-1) 2+2 (n1) =2n 3, a1满足上式即 an=2n 3., an+1 an=2 (n+1)

15、3 2n+3=2 ,，数列an是首项为一1,公差为2的等差数列.n(a2 a2n)a2+a4+a2n=n(1 4n -3)2=n (2n 1),2即 bn= n(2n T)=2n1.-bn+1 bn=2 (n+1) 1 2n+1=2.又 b2= =1, 1bn是以1为首项，2为公差的等差数列.(文)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售，甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为 760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购

16、买花费较少？解：设单位需购买影碟机 n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时售价依台数n成等差数列，设该数列为an,则an=780+ (n 1) X ( 20) =800 - 20n.由 anR440 解不等式 800-2n440,得 nW 18.当购买台数小于18时，每台售价为80020n元，在台数大于等于18台时每台售价为440 元.到乙商场购买每台约售价为 800 X 75%=600元.价差( 800 20n) n 600n=20n (10n).当 n10 时，600n18 时，440nv 600n.答:当购买少于10台时到乙商场花费较少；当购买10台时到两商场购买花费相同；当购买多于

17、10台时到甲商场购买花费较少.探究创新9.有点难度哟！已知f(x)=aix+a2x2+a3x3+-+anxn,n为正偶数，且a1，a2,83,，an组成等差数列,又f (1) =n2, f ( 1) =n.试比较f ( 1)与3的大小.2解：: f (1) =a+a2+an=1.依题设，有 n(ai .f ( 1) v 3. 2思悟小结1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点 .2.等差数列中，已知五个元素 a1，an, n, d, &中的任意三个，便可求出其余两个3.证明数列an是等差数列的两种基本方法是：(1)利用定义，证明 an-an 1 (n2)为常数;a

18、n)=n2,故 ai+an=2n, 2即 2a1+ (n 1) d=2n.又 f (-1) =a1+a2-a3+a4a5+一 an-1+an=n,n - d=n,有 d=2.进而有 2a1+ (n 1) 2=2n,解出 a1=1. 2于是 f (1) =1+3+5+7+ + (2n1).f (x) =x+3x2+5x3+7x4+- - + (2n1) xn.二 f ( 1 ) =1+3(1) 2+5 ( 1 ) 3+7 (1)4+-，+(2n1)(1)n.2222221两边同乘以1 ,得2f (l) = (l) 2+3 ( ) 3+5 () ,+ (2n 3) () “+ (2n1) (l)

19、n 1. TOC o 1-5 h z 2222222，得 1f (工)=工+2 (1)2+2 (1)3+-+2 (工)n ( 2n1) ( - ) n+1, 2222222即 Lf( 1)=1+!+(工)2+(1) n一1一(2n1) (-) n+1222 22221-A.f( ) =1+1+ + 2 +922 222n”.、12n4”11(2n 1)=1+(2n 1)=1+2 2n1 12n2n2 TOC o 1-5 h z ，、1(2n1) 2).等差数列an中，当ai0时，数列an为递增数列，Sn有最小值；当ai0, d V0时，数列an为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，an为常数列

20、.复习时，要注意以下几点：(1)深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质(2)注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用教师下载中心教学点睛本节教学时应注意以下几个问题：.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am=an+ (m-n) d.由五个量ai, d, n, an, Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善 于减少运算量，达到快速、准确的目的 .已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个 数成等差数列时，除了设 a, a+d, a+2d外，还可设a-d, a, a+d；四个数成等差数列时，可 设为 a3d, a-d, a+d, a+3d. TOC o 1-5 h z .等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用拓展题例【例1】 已知两个等差数列 5, 8, 11,和3, 7, 11,都有100项,问它们有多少相 同的项？并求所有相同项的和.分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.解法一：设两个数