高考数学热点不等式

1、不等式不等式是中学数学的主要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，融合于集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中直线与圆锥曲线位置关系的讨论等内容，这些知识块无一不与不等式有着紧密的联系，所涉及内容的深度与广度是其它章节无法相比的。因此，不等式将是永不衰退的历届高考热点，所以必须加强对不等式的复习与研究。按考试说明的规定，不等式这一章包括五个知识点，五条考试要求，概括起来有四个方面：不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法以及不等式的应用我们先来分析一下不等式高考的命题趋势：(1)题型稳定：近几年来高考平面向量试题一直稳

2、定在1-2个小题和其他与高中各知识块相联系的大题上，分值约为30分左右，占总分值的20%左右。(2)由于近年高考命题强调能力立意，考查基础知识不再是考查对知识的复制，而是考查对基础知识的深刻理解， 考查各个基础知识点的联系和交汇.从近三年高考数学试题看不等式这一章内容的考查不再是单一型了，它往往与其它章节知识结合在一起构成了复合型试题，不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合等基本数学思想，其主要题型大致分为：解不等式、证明不等式和不等式的应用.解不等式：不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非

3、常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.证明不等式：复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学 归纳法等)，掌握较灵活的运用常规方法 (即通性通法)证明不等式的有关问题.不等式的应用：应用题中有一类是以不等式为数学模型的，当不等式模型建立后即可转化为解不等式来解决问题，这是高考中常见题型，希望同学们多加关注。(4)由于不等式这部分知识自身的特点，如不等式

4、研究对象的复杂性，手法的多样性，故这部分入手容易深入难，建议大家在这两部分的复习上把握“度”，重点突出，使学生知道哪些是学生必须掌握的， 如重要不等式成立的条件； 哪些是需要学生根据问题灵活掌握的， 如不等式的多种证明方法的运用。注意复习节奏。在近年高考中，对不等式内容的考查的主要知识点和题型有：.关于不等式的性质(1)梳理时突出功能性，应用性.分成三类：理论依据(两条)；对一个不等式进彳T变换的依据 (四条)；对两个不等式进行变换的依据(四条)对某些性质的形式可以为使用做出调整，如当c 0时，a b u ac bc ；当 a,b 0 时，a b= an bn ,n N.,n=1.(2)性质使

5、用时注意方法的选择与综合如比较法与综合法的选择，数与形的结合，特殊与一般的结合及函数性质的整合与应用等.关于不等式的解法(1)在进一步巩固各类基本不等式求解策略的同时，注重对策略本质的理解，对各种方法的选择与比较.(2)突出对分类讨论思想的认识与使用，提高求简意识.关于不等式的证明不等式证明常用的方法有比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、 配方，判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式， 则考虑用判别式法证(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互

6、相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、 数形结合法等 换元法主要有三角代换， 均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等 价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.关于不等式的应用(1)利用平均值定理求某

7、些函数或对象的最大或最小值问题强化变换的目的性突出步骤的合理性的认识(2)突出函数，方程与不等式之间的关系，并利用三者的联系解决某些变量取值范围的问题.变量与常量的处理问题即恒成立问题突出函数思想的理解与应用，以不等式为工具，充分展示对函数的理解，对函数相关知识的综合应用.不等式的性质W值不等式不等式的证明比较法综合法分析法放缩法反证法函数法导数法不等式的解法一元一次不等式（组） 一元二次不等式（组） 整式高次不等式（组） 分式高次不等式（组）指数不等式（组） 对数不等式（组） 三角不等式（组）线性规划不等式的应用函数的定义域、 值域与单调性 取值范围问题 最值问题 方程根的分布 数列不等式、

8、函 数不等式的证 明、选择题（每小题 5分）1. （2009安徽卷理）下列选项中,p是q的必要不充分条件的是p： a + cb+d , q： ab 且 cdp：a l,bl q： f (x) =ax -b(a 0,且a #1)的图像不过第二象限2p: x=1, q:x =x(D) p:a 1, q:f (x) = loga x(a 0,且a # 1)在(0,依)上为增函数解析：由ab且cd= a + c b+d,而由a +cb+d a b且cd,可举反例。选 A3x - y - 6 0, b0)的值是最大值x _ 0, y _ 0为12,2 3 ,一，一+ 一的取小值为( b).11 c ,

9、D. 48C.B.a. 25解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by= z (a0, b0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by (a0, b0)取得最大12,2 32 3、2a 3b 13 b a、13 . 25即 4a+6b=12，即 2a+3b=6, 而一+ = ( + ) = + ( + )至+ 2 = 故选 Aa b a b 66 a b 66答案：A【命题立意】：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知 2a+3b=

10、6,求2 3一十一的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 a b3已知函数-x 1x -1x 二 0 一,则不等式x + (x +1 )f (x +1 K1的解集是(x - 0(A)x | -1 x . 2 -1(B)(C)|x V2(D)x 1f 2 - 1 - x - 2 -1p一，、-x 1 :： 03 x 1 一0解析：依题意得或ix (x 1)(-x) 1 x (x 1)x 1所以 或 4-l=xb+d ” 是 “ a 且” 的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：易得a bMcd时必有a+cb+d .若a+c b + d时，则可能有 ad且

11、cb ,选A。【答案】A.已知 a, b , c, d 为实数，且 c d .则 “ a b” 是 “ a c b d ” 的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B解析：显然，充分性不成立.又，若ac b d和c d都成立，则同向不等式相加得 a b 即由a c b d = a b x 5 、(2008山东又)不等式 - 2的解集是(D )(x-1)2解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知*#1排除3;由* = 0符合可排除C;由x =3排除A,故选D,也可用分式不等式的解法 ，将2移到左边直接求解。(2009四川卷文)某企业生产甲、乙两种产

12、品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用 A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是A. 12 万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27 万元A.充分不必要条件B .必要不充分条件解析：设生产甲产品X吨，生产乙产品A甲产品X吨3乙产品y吨x 0则有:y 03x+y 132x 3y 0,则x +2的最小值为 20= x + 22 J2 ,当且仅当x = = x = v2时取等3. xx1a（2008陕西理）a= ”是“对任意的正

13、数 x,2x+1”的（）8xC.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：a =1=2x+a=2x十工艺2j2xM=1 ,另一方面对任意正数 x, 2x+- 18 x 8x8xx只要 2x+a22xKa=2j2a1= a,所以选 A x . x82x y , 4（ 2009宁夏海南卷理）设 x,y满足（x - y之一1,则2 = x十yx-2y b2”是“ ab”的（D ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解析：本小题主要考查充要条件相关知识。依题“ab”既不能推出“ ab” ；反之，由“ ab”也不能推出“ a2 b2。故 a2 b2”是“

14、ab”的既不充分也不必要条件。（2009天津卷理）0b （ax）2的解集中的整数恰有3个，则(A) -1 a 0(B) 0 a 1(C) 1 a 3(D) 3 a (ax)2即(a2 1)x2+2bxb2 0 ,不等式的解集为 x 或a -1 a 1b b bb,r0 x。 右不等式的解集为x, 又由0b1 + a 得a 1 a -1a -1 a 10 -b- 1,故3-2 ,即 2-b-a2 03 0 ,则使得（1 ax） 1（i =1,2,3）都成立的x取值范 围是（）一1 1 -1 2 -1 1_1 2A.0, 一B.0,C.0,一 D.0,一 a1 J a1 J a3 J a3 J一o

15、一o 2 2斛析：（1aix）1=a,x-2a,x0=sa,x（x-一）0,所以解集为（0,一），aai222又 d。则“ a a b”是“ a cb d ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：a b 推不出 a-CAb-d；但a-CAb-d二 ab+c-d b,故选择 B。 解析 2：令 a=2b=1 cd ，则 ac= 1 b-d=召（崩 8 ;由2cbd 可得，a b +（c -d）因为 od ,则 c d 0 ,所以 aAb。故“aAb”是“acb d ” 的必要而不充分条件。（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产

16、品要用 A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用 A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元解析：设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即3x + y 132x +3y 18已知约束条件 （,求目标函数 z = 5x+3y的最大y -0值，可求出最优解为j，故 zmax =15 + 12 = 27,故选择 D。16. （2009重庆卷理）不等式x +3 -x-1

17、 0,bA0,则一+ +2，0b的最小值是（a bA. 2B.2.2C. 4D. 5，1解析：因为一 a2, abab12 ab =旷Wb）至4且仅当- a=痴,即a = b时，取“=”号。ab二、填空题（每小题 5分）18. （2009浙江理）若实数x, y满足不等式组x y - 2,42x -y E4,则2x+3y的最小值是 .x - y -0,答案：4解析：通过画出其线性规划，可知直线 y =2；x+Z 过点（2,0 ）时，（2乂+3丫1所=4 3x y _2,19. （ 2009浙江卷文）若实数x, y满足不等式组2x-y 4,则2x + 3y的最小值x - y _ 0,此题的考查既体

18、现了正确画线性区【命题意图】 此题主要是考查了线性规划中的最值问题, 域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求22x 3y min =4解析：通过回出其线性规划，可知直线y = x+Z过点（2 0 ）时,320. （2009上海卷文）已知实数y 2xIx、y满足y至-2xx 21. （2009北京卷理）若实数 x, y满足xW4则$=丫-*的最小值为 .7 -5【答案】-6解析：本题主要考查线性规划方面的基础知.属于基础知识、基本运算的考查.如图，当x =4, y = 2时,s = y x 2 4 = 6 为最小值.故应填-6.22.(2009山东卷理）不等式2x1 -x20的解集为:原不

19、等式等价于不等式组x-22x-1 -(x -2) 01 ：二 x :二 222x-1 (x -2):二 011或不等式组无解，由得1 x1,由得1 M x ，综上得-(2x -1) (x -2)：二0-1 x 1,所以原不等式的解集为x|1x0,解得：x-3三、解答题（2009江苏卷）（本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为m ;如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为n .m an a如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h,和h2,则他对这两种交易的综合满意度为.h1h2.现假设甲生产 A B两种产

20、品的单件成本分别为 12元和5元，乙生产A、B两种产品的 单件成本分别为 3元和20元，设产品A、B的单价分别为 mA元和mB元，甲买进A与卖出 B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为 h，一，一3.求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当 mA = - mB时，求证： 旭二h乙；53（2）设mA = mB,当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的 5综合满意度为多少?记（2）中最大的综合满意度为h0,试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲之h0和 h乙之h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。解析： 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查

21、数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。一 咏.(% W 3,12,酬且曰5,20) tnA 4-3 %+ 2。7,3,当mA =mB时，h甲=51 5 mBmBf卜 12 mB 5：(2mBmB 20)(mB5)，3 mB11mB+3mB2 mBmB 20(mB 5)(m)B 20)h甲4乙11 21100(一)2 25一 ： 1mBmB TOC o 1-5 h z ,11 1由 mBW5,20得一,一, mB 20 5故当 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 112 一=即 mB = 20, mA = 12 时, mB 20

22、B甲乙两人同时取到最大的综合满意度为叵。5(3)(方法一)由(2)知：儿=逸5mAmBmA 12 mB 5mA 12 mB 5AB(1 +4x)(1 十 y) E * 5。2 TOC o 1-5 h z 3 351令=x, = yMUx、y = ,1,即:mAmB4一一 .一 10 .一5同理，由 h乙之h0= 得：(1+x)(1+4y)一5215 ,另一万面,x、y -,11 4x、1+4y 2,5, 1 x、1+y -,2, 425 51(1+4x)(1+y)之一,(1+x)(1+4y)之一，当且仅当 x = y=,即 mA=mB时，取等号。 HYPERLINK l bookmark59

23、o Current Document 224所以不能否适当选取 mA、mB的值，使得惕，h0和怔之hb同时成立，但等号不同时成立。方法二二由知因为1220 x + 12 y +5 x +5 y +20所以，当脑妾年.看4时*有人 =hJ*d + 15 广墨.25 9 2T4因此，不能攻到E,%的值，使得町和芸儿同时成立,但等号不同时成立.25. （2009湖北卷文）（本小题满分12分）围建一个面积为360吊的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建， 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元

24、/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元）。（I）将y表示为x的函数:（n）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解析：（1）如图，设矩形的另一边长为 a m2则 y -45x-180(x-2)+180- 2a=225x+360a-360由已知xa=360，得a=360 x所以3602y=225x+36J -360( x - 0)x(II)2r x A 0, 225x +360-2 2225 x 3602 =10800 x36023602 .= 225x+-360之10440 .当且仅当225x=-时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 104

25、40元.26.设数列tn满足% =0,an4t = ca； +1c,cW N*,其中c为实数， 、 、一II* 、.、.(I)证明：an 0,1对任意nwN成立的充分必要条件是 cw0,1；1(n)设 0c一,证明：an 之 1(3c)n，nw N ;319992*(出)设 0 c -，证明：a1 +a2 + an a n +1 ，n w N31 -3c解析：(1)必耍性：= a1 =0,； a2 =1 -c ,又, a20,1,.-. 01 -c1)则 ak41 =ca； +1 c Mc + 1 c = 1,且 ak41 = ca3 +1 c 之 1 c= 0_ _ - _ _ _ - -

26、. *、ak书w0,1,由数学归纳法知an亡0,1对所有nW n成立(2)设0cl,当n=1时，& =0,结论成立3当n之2时， TOC o 1-5 h z 32 an -can4 1 -c,. 1 -an =c(1-an)(1 anan)八12C r /C.c3由知20,1,所以伊寸3且1 -Q。 . 1 - an 三 3c(14) 1 -an M3c(1-an。三(3c)2(1-an) -|- (3c)n(1 -a1) = (3c产an -1 -(3c)n4(n N*)、一1o2(3)设 0c2 ，结论成立31 -3c当 n 之2时，由(2)知 an 1 -(3c)nJ 0 a； -(1-

27、(3c)n4)2 =1 -2(3c)n4 (3c)2(n,)1 -2(3c)n4-a2+af +|+a； =a| +|+a2 n -1-23c+(3c)2+川+(3c尸/ 2(1 -(3c)n).1 -3c1-3c二 n 1 un 127.(2008 江西)数列&为等差数列，an为正整数，其前 n项和为Sn ,数列bn为等比数列，且& =3,b =1,数列ban是公比为64的等比数列，b2s2 =64.求小,bn； TOC o 1-5 h z ,一 1113(2)求证，+，+川屋S1S2Sn4解：（1）设an的公差为d , bn的公比为q ,则d为正整数,an =3+(n-1)d , bn =qn3：:;ndan1.qd63(n 1)d = q = 64 = 2依题意有 baq *anrS2b2 =(6 +d)q =64由（6+d）q =64知q