高考数学讲义抛物线之切线与定点问题

1、2014年二轮复习抛物线之切线与定点问题口 .抛物线之切线与定点 2014年高考怎么考内容明细内容要求层次了解理解掌握圆锥曲线椭圆的定义与标准方程V椭圆的简单几何意义V抛物线的定义及其标准方程V抛物线的简单几何意义V7双曲线的定义及标准方程V双曲线的简单几何性质V7直线与圆锥曲线的位置关系自检自查必考点北京二年局考两年模拟统计中点弦垂直角度弦长面积范围定点定值共线比例其它Wj考试题411模拟试题7811144478151455自检自查必考点抛物线y2 2 Px分为上下两支，可以分别看成函数求导对于y2 2Px求导得2yy 2p ,则y P y抛物线y2 2px在A（xi, yi）的切线的斜率为

2、Kat y故切线AT为y y1 （x x1）yi化简彳#到y 2 （x为） yi同理切线BT为y卫（x x2）y2抛物线切线性质总结（老师带领学生证明）性质1 :过抛物线一弦 AB的中点平行于对称轴的直线与抛物线交于点P ,若过P的切线为PT ,则PT / AB性质2:过抛物线上一点P的切线交其对称轴于点T ,则PF| lTF性质3:过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上性质4:过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直性质5：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点性质6:切线交点与弦中点连线平行于对称轴性质7：过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线

3、，则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切线平分性质8:过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径性质9:从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂足必在抛物线顶点的切线上性质10：过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线的连线必平行于此抛物线的对称轴性质11：抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上A例题精讲【例1】证明：过抛物线y2 2px上一点M(X0, y0)的切线方程是：y0y p(x X0)【例2】 设抛物线y2=2px的焦点弦AB在其准线上的射影是 AB1，证明：以AB1为直径的圆必过一定点【例3】 在平面直角坐标系 xoy中，直线l

4、与抛物线y2 4x相交于不同的A,B两点.如果直线l过抛物线的焦点，求戕潴的值;uuu uuur如果OA OB 4证明直线l必过一定点，并求出该定点.【例4】 如图，过抛物线y2 2px p 0上一定点P%以 y0 0 ,作两条直线分别交抛物线于A Xi.yi , B X2, V2(I)求该抛物线上纵坐标为7P的点到其焦点F的距离；(II)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求” 力的值，并证明直线AB的斜率是非零常数VoyA【例5】如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P 1,2 ,A x1,y1 , B x2,y2均在抛物线上(I)写出该抛物线的方程及其准线方程；(II)当PA

5、与PB的斜率存在且倾斜角互补时 ，求y1 y2的值及直线 AB的斜率.【例6】 如图，在平面直角坐标系 xoy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线 y x2相 交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段 AB和直线l :y c交于P,Quuu iur(I )若OA OB 2 ,求c的值；(n)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；(出)试问(n)的逆命题是否成立？说明理由。【例7】 已知抛物线C:y 2x2,直线y kx 2交C于A,B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的 垂线交C于点N .(I)证明：抛物线 C在点N处的切线与 AB平行；ujin iur(

6、n)是否存在实数 k使NA NB 0,若存在，求k的值；若不存在，说明理由.【例8】 已知点Q到定点(p, 0) ( p 0)与它到定直线xp的距离相等(I )求动点Q的轨迹方程；(II)设过点A( 3p , 0)的直线与Q的轨迹交于E、F两点，设A (3p , 0),当直线AE与A F的 斜率都存在时，求证直线 A E、AF的斜率之和为0 .【例9】已知平面上两个定点M (0, 2)、N (0,2),ULLrLUUL|PN| |MN | .若A、B是轨迹C上的两个不同动点、，, uiir uuu ,、交点为Q,证明NQ AB为定值.LuirANNB .分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其【

7、例10】已知抛物线y2 2x及定点A(1,1),B(一交点分别为M1 , M2(.1)1,0), M是抛物线上的点，设直线 AM ,BM与抛物线的另ULLT UULUP为一个动点，且满足 MP MN求动点P的轨迹C的方程;求证：当点 M在抛物线上变动时(只要 M1，M2存在且M1与M2是不同两点)，直线 M1M2恒过 一定点，并求出定点的坐标。【例11】在平面直角坐标系 xoy中，设点F (1,0),直线l : x的交点，RQ FP , PQ 1.1,点p在直线1上移动，r是线段pf与y轴求动点c的轨迹的方程；Q记Q的轨迹的方程为 e，过点F作两条互相垂直的曲线 e的弦AB,CD ,设AB,C

8、D的中点分别为 M,N .求证：直线 MN必过定点R(3,0).【例12】过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q ,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M ,如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴 ？2 .【例13如图，曲线G的万程为y 2x(y 0).以原点为圆心，以t(t 0)为半径的圆分别与曲线 G和y轴的 正半轴相交于点 A与点B直线AB与x轴相交于点C .(I )求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；(n)设曲线 G上点D的横坐标为a+ 2 ,求证： 直线CD的斜率为定值.2【例14如图，在平面直角坐标系 xOy中，过y轴正万向上一点 C(0,c)任作一直线，与抛物线y x相交

9、于AB两点，一条垂直于 x轴的直线，分别与线段 AB和直线l : y c交于P,Q ,uuu uur(1)若OA OB 2,求c的值；(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；(3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由。【例15如图，设抛物线方程为 x2 2py(p 0) , M为 直线y2P上任意一点，过 M引抛物线的切线，切点分别为A , B. 求证：A, M, B三点的横坐标成等差数列； 已知当M点的坐标为(2, 2p)时，AB 4/0,求此时抛物线的方程； 是否存在点M ,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2 2py(p0)上，其中，点C满足 Or OA潴(O为坐标原点)若存在，求