2019-2020学年高中数学人教A版选修4-5练习：第三讲三排序不等式含解析

1、巧琼跟踪验证应用案巩固提升学生用书P49）则亲+02+翥的最小值为（A基础达标1.设正实数ai, a2, 03的任一排列为a；, a2, a3,A. 3B. 6C. 9D. 12解析：选 A.设 a1 a?a30,则一 0a3 a2 ai由排序不等式可知ai a2 a3、ai a2 a3 八 滔 +北 + 氯 += 3.当且仅当a1=ai, a2=a2, a 3= a3时等号成立.2.某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m分钟，第二人投n分钟，第三人投p分钟.某班级三名运动员 A, B, C每分钟能投进的次数分别为 a, b, c, 已知mn p, abc,如何派三人上场能取

2、得最佳成绩？ （ ）A. A第一，B第二，C第三B. B第一，A第二，C第三C. C第一，B第二，A第三D. A第一，C第二，B第三解析：选A.因为mnp, abc,且由排序不等式知顺序和为最大值，所以最大值为ma+nb+pc,此时分数最高.所以，三人上场顺序是 A第一，B第二，C第三.3,若 A = x2+x2+ + X2, B= XiX2+X2X3+ + Xn ixn+XnXi ,其中 Xi , X2,，Xn 都是 正数，则A与B的大小关系为（）A. ABB. AvBC. ABD. AWB解析：选C.因为序列Xn的各项都是正数，不妨设0VXiWX2W-y Xn,则X2, X3,，Xn, X

3、i为序列Xn的一个排列.由排序原理，得XiXi + X2X2+ XnXnXiX2 + X2X3+ XnXi ,即 X： + x2+ XnXiX2+ X2X3 + + XnXi.故选 C.4.车间里有5台机床同时出了故障，从第i台到第5台的修复时间依次为 4 min, 8 min , 6 min , i0 min , 5 min ,每台机床停产i min损失5元，经合理安排损失最少为（）A. 420 元B. 400 元C. 450 元D. 570 元由排序不等式得解析：选A.停产总时间是 5ti+4t2+3t3+2t4+t5.当tiVt2Vt3Vt4Vt5时，总时间取最小值.所以，总时间最小值为

4、5X4+4X 5 + 3X6+2X8+10=84,即损失最少为84X5 = 420(元).已知 a, b, c 为正实数，则 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于等于零C.小于零D .小于等于零解析：选 B.设 abc0,所以 a3b3c3.根据排序原理，得 a3xa+b3xb+c3xca3b+b3c+c3a.又知 abacbc, a2b2c2,所以 a3b + b3c+ c3a a2bc+ b2ca+ c2ab,所以 a4+ b4 + c4a2bc+ b2ca+c2ab,即 a2(a2- bc) + b2(b2 ac) + c2(c2- ab)0.

5、如图所示，矩形 OPAQ中，aia2, bi.已知在锐角三角形 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且avbvc. 若 M = acos C+ bcos B + ccos A, N= acos B+bcos C+ccos A,则 M 与 N 的大小关系是解析：因为锐角三角形 ABC中，a cos BcosC,由排序不等式可知 MN.答案：MN.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件.现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花 元，最多要花 元.解析：两组数2件、4件、5件与1元、2元、3元的反序和Si=2X3+4X2+ 5X1 = 19

6、(元).顺序和 S2=2X1+4X 2+5X3= 25(元).根据排序原理可知至少花19元，最多花25元.答案：19 25.已知 a, b, c为正数，用排序不等式证明：2(a3+b3+c3)a2(b + c) + b2(c+a) + c2(a+ b).证明：设正数a, b, c满足awbwc,则a2wb2wc2,由排序不等式得，a2b+b2c+c2a a3+ b3 + c3, a2c+ b2a+c2ba2(b+ c) + b2(c+ a)+c2(a+b). TOC o 1-5 h z 222.已知x, y, z都是正数，且x+ y+z= 1,求j +。的最小值.解：不妨设xyz0,则0,且x

7、2y2z20,由排序不等式，得z y xy2 , x2 . z2、1 2.1 2.1 2.：+ y + -z z + y y + xx =x+y + z.又x+y+z=1,所以2+工+乙1,当且仅当x= y=z= 1时，等号成立.y z x3则x + y+z的最小值为1.y z xB能力提升a b-l- c.在锐角三角形中，设P=12, Q=acos C+bcos B+ccos A,则P, Q的关系为解析：不妨设ABC,则abc,cos Aw cos B acos B+ bcos C + ccos A=R(2sin Acos B+ 2sin Bcos C+ 2sin Ccos A) Rsin(

8、A+ B)+sin(B + C)+ sin(A+ C)=R(sin C + sin A+ sin B)a+ b + c=P=-2-(R为锐角三角形 ABC外接圆的半径).答案：PWQ. 一般地，对于 n个正数ai, a2,，an,几何平均数 Gn = )aia2an,算术平均数An=ai+a2+-+ an,利用排序不等式可以判断Gn, An的大小关系为n解析：令。=熟=1, 2,，n),则 blb2bn= 1,故可取 XiX2 - Xn0,Xi , X2使得 bi=X? b2=X?，bnT=T，Xnn=X1由排序不等式有：bi+ b2+ bn=*+*+为 Xi Z+X2+ Xn3= n,X2

9、X3XiXiX2Xn当且仅当Xi= X2=Xn时取等号，aia2an、所以 G；+ G；+ GZ n,ai+ a2+ + ann，即n即An25Gn.答案：AnGn.设 x0,求证：1 + x + x2+ + X2nR(2n+i)Xn.证明：(i)当 X i 时，1WxWx2W Wxn.由排序原理知，1 1 + X X+ X2 X2+ + Xn Xn Xn 1 + Xn 1 x+ + 1 Xn,所以 1 + x2+x4+X2nA (n+1)xn.又因为X, X2,，Xn, 1为1, X, x2,，Xn的一个排序，于是由排序原理得1 X+ X X2+ xn 1 xn + xn 1 1 Xn +

10、X Xn-1+ +xn-1x+xn 1.所以 x+x3 + + x2n-1 nxn.+，得 1 + x+ x2+ - +x2n(2n+1)xn.(2)当 0vxv1 时，1xx2 xn同理可得结论.综合(1)与(2),所以当x0时,1 + x+x、两式相加得：23 a+甘/3嬴=3. + -+x2n(2n+ 1)xn.4.设 0v aw bw c 且 abc= 1.试求a371上厂+硬71上厂4c3 a b的最小值.*1解：令 S= -一* 1一 a (b+c)+1b3 a c)1c3 (a+b)，(abc) 2则 S=E7(abc) 2+ b3 (a+c)(abc) 2+ c3 (a + b)bcaca