常微分方程习题课课件

1、1. 知道并理解与微分方程相关的概念 一、基本要求2. 熟练掌握一阶微分方程的解法 3. 熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法 4. 理解线性微分方程解的结构 . 熟练掌握二阶常系数线性方程解法 第七章 微分方程第1页，共40页。11、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解 二、内容提要 第2页，共40页。2通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解特解确定了通解中的任意常数以后得到的

2、解，叫做微分方程的特解初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题第3页，共40页。3(1) 可分离变量的微分方程解法分离变量法2、一阶微分方程的解法(2) 齐次方程解法作变量代换第4页，共40页。4齐次方程（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程(3) 可化为齐次的方程解法化为齐次方程第5页，共40页。5(4) 一阶线性微分方程 非齐次齐次（使用分离变量法）通解通解（常数变易法）第6页，共40页。6(5) 伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.解法 需经过变量代换化为线性微分方程第7页，共40页。73、可降阶的高

3、阶微分方程的解法解法特点 型接连积分n次，得通解 型解法代入原方程, 得第8页，共40页。8特点 型解法代入原方程, 得第9页，共40页。9、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:第10页，共40页。10（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:第11页，共40页。11、二阶常系数齐次线性方程解法n 阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.第12页，共40页。12 二阶常系数齐次线性方程解法 特 征 根通 解第13页，共40页。13特征方程的根通解中的对应项 n 阶常系数齐次线性方程解法 特征方

4、程 第14页，共40页。14、二阶常系数非齐次线性微分方程解法求特解的方法待定系数法 第15页，共40页。15第16页，共40页。16二、典型例题例1解原方程可化为第17页，共40页。17代入原方程得分离变量两边积分所求通解为第18页，共40页。18例2解原式可化为原式变为对应齐方通解为一阶线性非齐方程伯努利方程第19页，共40页。19代入非齐方程得原方程的通解为利用常数变易法第20页，共40页。20解：将原方程写成 第21页，共40页。21例4解方程为全微分方程.第22页，共40页。22(1) 利用分项组合法求解:原方程重新组合为故方程的通解为第23页，共40页。23(2) 利用曲线积分求解

5、:故方程的通解为第24页，共40页。24例5解非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为第25页，共40页。25故方程的通解为第26页，共40页。26例6解代入方程，得故方程的通解为第27页，共40页。27例7 已知方程 有三个解 ，求此方程满足初始条件 的特解。 解：由线性微分方程解的结构理论知， 及 是对应齐次方程 的解且它们线性无关， ，所以对应齐次方程的通解故原方程的通解为 所求特解为 第28页，共40页。28例8解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为第29页，共40页。29原方程的一个特解为故原方程的通解为第30页，共40页。30由解得所以原方程满足初始条件的特解

6、为第31页，共40页。31例9解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为第32页，共40页。32由解得第33页，共40页。33故原方程的通解为由即第34页，共40页。34例10 设且满足方程求提示: 上式两边对 x 求导两次 ：因此问题化为解下列初值问题最后求得第35页，共40页。35已知 在全平面上与路径无关，其中 具有连续的一阶导数，并且当 是起点在（0，0），终点为（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于 ，试求函数 。解： 第36页，共40页。36解例12则由牛顿第二定律得第37页，共40页。37解此方程得代入上式得第38页，共40页。38例13从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系. 设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用 ,设仪器质量为 m ,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分方程, 并求出