直线,平面垂直的判定及其性质

1、点.第二章直线.平面之间的位置关系立体几何本章内容2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章 小结2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定(第一课时)复习与提高2.3.1 直线与平面垂直的判定(第二课时)2.3.2 平面与平面垂直的判定(第一课时)2.3.2 平面与平面垂直的判定(第二课时)2.3.3 直线与平面2.3.4 平面与平面垂直的性质第一课时直线与平 面垂直的判定2.3.1返回目录学习要点1. 直线和平面垂直是怎样定义的? 2. 用直线和平面垂直的判定定理证明线面垂直需要哪些条件?

2、 问题 1. 在你的感觉中, 直线和平面垂直是怎样一种情况? 你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子吗? 你认为怎样定义直线与平面垂直恰当? 如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面 a 互相垂直, 记作 la, 直线 l 叫做平面 a 的垂线, 平面 a 叫做直线 l 的垂面. 线面垂直是线面相交的一种特殊情况, 线面垂直, 有且只有一个公共点, 即交点, 这个交点叫做线面垂直的垂足. 直线与平面垂直的定义: 1. 直线与平面垂直的定义 画直线和水平平面垂直, 要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直. 画直线和竖直平面垂直, 要把直线画成和表示平面的

3、平行四边形的竖直边垂直.allabmm b 问题2: 已知平面 a 和空间任意一点 P, 过点 P 能作 a 的几条垂线? 为什么?aP 结论: 过空间任意一点, 有且只有一条直线和已知平面垂直.如果有两条, PAa, PBa,只有一条.垂足分别为 A, B.则 PA, PB 确定的平面与 a 相交于一直线 AB.AB于是 PAAB, PBAB,则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识, 这显然不对. 问题 3. (1) 请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内, 另外一条直角边不在桌面内, 请问这另一条直角边与桌面垂直吗? (2) 用一张有一定硬度的纸将一边对折后又

4、展开,并将所折的边放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面? 有不垂直的可能吗? 用定义判断线面垂直不太方便, 怎样有较方便的方法判断线面垂直呢, 我们先看下面的问题.ABCD当A、B、C 不共线时,折痕DC垂直桌面;当A、B、C 共线时,折痕DC不一定垂直桌面.2. 直线与平面垂直的判定 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面.符号表示:labala,lb,aa,ba,ab, la.直线与平面垂直的判定定理:由线线垂直得线面垂直. 问题 4. 一旗杆高 8 m, 在它的顶端系两条长10m 的绳子, 拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点 ( 与旗杆脚不在同一直线

5、上). 如果这两点与旗杆脚相距 6m, 那么旗杆就与地面垂直, 为什么?ABCD如图,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,ABC和ABD的三边满足勾股定理, ABBC,ABBD,而 BC、BD在地面内,C、B、D不在同一直线上,即 BC, BD相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.a例 1. 如图, 已知 ab, aa. 求证: ba.am证明:在 a 内任作两相交直线 m、n, aa,ma, am, an, ba, bm, bn,又 m 与 n 相交, ba. 结论: 两平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面.bnna, 练习(补充). 已知 PQ 是平面

6、a 的垂线段, PA 是平面 a 的斜线段, 直线 la. 求证: (1) 若 lPA, 则 lQA; (2) 若 lQA, 则 lPA.alPQA证明:(1)PQa, la.PQl.若 lPA, l平面PQA.QA平面PQA,lQA. 练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是平面 a 的斜线段, 直线 la. 求证: (1) 若 lPA, 则 lQA; (2) 若 lQA, 则 lPA.alPQA证明:(2)PQa, la.PQl.若 lQA, l平面PQA.PA平面PQA,lPA. 练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是平面 a 的斜线段, 直线

7、la. 求证: (1) 若 lPA, 则 lQA; (2) 若 lQA, 则 lPA.alPQAQ 为垂线段 PQ 的垂足.A 为斜线段 PA 的斜足.QA 为斜线 PA 在平面 a 上的射影.有三条线:平面的斜线,斜线在平面上的射影,平面内的一条直线 l.结论:如果 l 斜线, 则 l射影;如果 l射影, 则 l斜线.(三垂线定理) 探究题. 如图, 直四棱柱 ABCD-ABCD ( 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱 ) 中, 底面四边形ABCD 满足什么条件时, ACBD?ABCDABCD分析:由题中定义知,侧棱 AA平面ABCD,从而 AABD.又要使 ACBD,则需 BD平面AAC.所以

8、需在平面AAC内另找一条直线容易考虑的是AC是否满足?要使ACBD, 四边形ABCD需满足:BA=BC, 且DA=DC.与BD垂直且与AA相交. (改为如下的证明题, 请同学们给出证明) 如图, 直四棱柱 ABCD-ABCD ( 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱 ) 中, 已知 AB=BC, AD=DC, 求证: BDAC.ABCDABCD证明:连结AC,AB=BC ,BDAC,AA平面ABCD AABD, BD平面AACC,BDAC.(定义)(判定)(定义)AD=DC ,AAAC=A,AC 平面AACC,练习: (课本67页)第 1、2 题.练习: (课本69页) 1. 如图, 在三棱锥 V-

9、ABC中, VA=VC, AB=BC, 求证: VBAC.ABCV练习: (课本67页)证明:D取 AC 边的中点 D,连接 VD, BD. VA=VC, VDAC,VB=BC, BDAC, AC平面VDB,而 VB平面VDB,ACVB. 2. 过ABC所在平面 a 外一点 P, 作 POa, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 则 O 是 AB 边的 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 则 O 是ABC的 心.ABCPOa解:(1)如图,POa,则POA=POB=P

10、OC=90,又 PA=PB=PC,POAPOBPOC,得 OA=OB=OC,又C=90,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.中点 2. 过ABC所在平面 a 外一点 P, 作 POa, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 则 O 是 AB 边的 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 则 O 是ABC的 心.Oa解:(2)由(1)得 OA=OB=OC,中点到三角形三顶点的距离相等外ABCP的点是三角形的外心. 2. 过ABC所在平面 a 外一点 P, 作 POa

11、, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 则 O 是 AB 边的 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 则 O 是ABC的 心.Oa解:(3)中点外由 PAPB, PAPC,得 PA平面PBC,PABC.又由 POa 得 POBC,于是得 BC平面POA,BCAO.同理可得 ABCO,O 为ABC的垂心.垂ABCP练习: (课本69页) 如图, 正方形 SG1G2G3中, E, F 分别是 G1G2, G2G3 的中点, D 是 EF的中点, 现在沿 SE, SF 及 E

12、F 把这个正方形折成一个四面体, 使 G1, G2, G3 三点重合, 重合后的点记为 G, 则在四面体 S-EFG 中必有( ) (A) SGEFG所在平面 (B) SDEFG所在平面 (C) GFSEF所在平面 (D) GDSEF所在平面SEFDG1G2G3GEFDSA【课时小结】1. 线面垂直的定义 若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直线, 则叫 la.应用:若 la, 则 l 垂直平面 a 内的任意一直线.la,ma,lm.【课时小结】2. 线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面.la,lb,ab=P,la.aa,ba,【课时小

13、结】3. 相关结论 过空间任意一点, 有且只有一条直线和已知平面垂直. 两平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面. 如果平面内的一条直线垂直平面的斜线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影; 如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜线.习题 2.3B 组第 2、4 题习题 2.3B 组 2. 如图, 棱锥 V-ABC中, VO平面 ABC, OCD, VA=VB, AD=BD, 你们能判定 CDAB 以及 AC=BC 吗?VABCDO答: 能判定.由 VA=VB, AD=BD 得, VDAB.又由VO平面 ABC 得, VOAB.于是得AB平面

14、VOD, OCD, ABOD. ABCD,而 AD=BD,从而得 AC=BC. 4. 如图, AB 是 O 的直径, 点 C 是 O 上的动点, 过动点 C 的直线 VC 垂直于 O 所在平面, D, E 分别是 VA, VC 的中点. 试判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系, 并说明理由.VABCDEO解:DE平面VBC.由直径所对的圆周角是直角得ACBC.又由 VC 垂直于 O 所在平面得ACVC.而 D, E 分别是 VA, VC 的中点得DE/AC, DE平面VBC. AC平面VBC.第二课时直线与平 面垂直的判定2.3.1返回目录学习要点1. 什么是斜线在平面上的射影? 2.

15、直线和平面所成的角是由哪些元素构成? 其范围是多少? 3. 求直线和平面所成角的大小时, 应掌握哪些要点? 问题5. 如图, 直线 l 与平面 a 斜交于一点 A, 过点 A 在平面 a 内作直线 l1, l2, l3, , 这些直线与直线 l 的夹角中, 你认为哪个角最小? 怎样确定这个最小的角?lal4Al3l1l2P过 l 上任一点 P 作平面 a 的O垂线 PO, 垂足为 O, 连结 AO,则PAO 就是那个最小的角.【直线和平面所成的角】 问题5. 如图, 直线 l 与平面 a 斜交于一点 A, 过点 A 在平面 a 内作直线 l1, l2, l3, , 这些直线与直线 l 的夹角中

16、, 你认为哪个角最小? 怎样确定这个最小的角?lal4Al3l1l2PO 一条直线 PA 和一个平面 a 相交, 但不垂直, 这条直线叫做这个平面的斜线, 其交点 A 叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO, 过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫斜线在平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角.【直线和平面所成的角】aOPQPOa = O,PQa, Q 为垂足,则 OQ 是 PO 在平面 aPOQ 是斜线 PQ 与平面 a 所成的角.上的射影. 特例1: 如果直线垂直平面, 直线和平面所成的角为直角; 特例2: 如果直线和平面

17、平行或在平面内, 就说直线和平面所成的角是0的角. 问题6. 已知直线 l1、l2 和平面 a 所成的角相等, 能否判断 l1l2? 反之, 如果 l1l2, l1, l2 与平面a 所成的角是否相等?如图,aABCDOABa, CDa,AOB =COD.而 AO 与 CO 不平行.aABCDO1O2如图,ABCD,AO1a, CO2a,则 AO1CO2,于是得BAO1=DCO2,则在直角三角形中得ABO1=CDO2.结论: 和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定平行.两条平行线和同一个平面所成的角一定相等. 例2. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求直线 A1B 和平面 A

18、1B1CD 所成的角.ABCA1B1C1D1D分析:需在平面A1B1CD上找到直线A1B的射影.即需找过A1B上的点垂直平面A1B1CD的直线.O而 BB1, BC不可能垂直平面A1C,易看出对角线 BC1 有可能.因为BC1B1C,还容易看出BC1A1B1,于是可连结BC1, 交B1C于O,即A1O就是要找的射影.BA1O就是所要求的线面角,则可在RtBA1O中求. 例2. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.ABCA1B1C1D1D解:连结 BC1, 交 B1C 于 O,则在正方形BCC1B1中, BC1B1C.又A1B1平面B

19、CC1B1,得 A1B1BC1.O则 BC1平面A1B1CD, O为垂足.得 A1O为A1B在平面A1B1C1D上的射影.BA1O就是直线A1B和平面A1B1CD所成的角,在 RtBA1O 中, A1B=BC1=2BO,得BA1O=30.直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角是30. 例2. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.ABCA1B1C1D1D求线面角的要点:(1) 找斜线在平面上的射影,确定线面角.(2) 构造含线面角的三角形,O通常构造直角三角形.(3) 在三角形中求角的大小.练习(补充)ABCA1B1C1D1D如

20、图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,(1) 求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值;(2) 求 AA1 与平面 A1BD 所成角的正切值.解:(1)A1C是平面B1BCC1的斜线,A1B1是平面B1BCC1的垂线,B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,则A1CB1为所求的线面角.在RtA1B1C中,即 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值为练习(补充)ABCA1B1C1D1DO如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,(1) 求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值;(2) 求 A1A 与平面 A1BD 所成角的正切值.解:(2)取 B

21、D 的中点 O,连结 AO, A1O,过点 A 作 AEA1O, 垂足为 E.AB=AD, A1B=A1D,EBDAO, BDA1O,则 BD平面A1AO,得 BDAE.由得AE平面A1BD.A1E是A1A在平面A1BD上的射影,ABCA1B1C1D1DOE练习(补充)如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,(1) 求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值;(2) 求 A1A 与平面 A1BD 所成角的正切值.解:(2)取 BD 的中点 O,连结 AO, A1O,过点 A 作 AEA1O, 垂足为 E.AB=AD, A1B=A1D,BDAO, BDA1O,则 BD平面A1

22、AO,得 BDAE.由得AE平面A1BD.A1E是A1A在平面A1BD上的射影,则 AA1E 为所求的线面角.在 RtA1AO 中,即 A1A 与平面 A1BD所成角的正切值为【课时小结】1. 直线和平面所成的角(1) 平面的斜线与平面所成的角斜线与射影的夹角(锐角).(2) 平面的垂线与平面所成的角为90.(3) 平面的平行线或在平面内的直线与 平面所成的角为0. 斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的.两条平行线和同一个平面所成的角相等.【课时小结】2. 求线面角的要点 (1) 找斜线在平面上的射影, 确定线面角. (2) 构造含角的三角形, 用三角函数求解.练习(补充)

23、2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是等边三角形, 侧棱与底面所的角为60, 求三棱锥的体积. 1. 若一直线与平面所成的角为 则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是 . 3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1B与平面BC1D1所成的角为 .CDABC1D1A1B1 1. 若一直线与平面所成的角为 则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是 .aABCDP解:如图,直线AB是直线PC在平面 a 内的射影,直线 PC 与平面 a 内的直线所成的角中,PCA最小,直角最大.则PC与平面内任一直线所成的角的范围是 2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是

24、等边三角形, 侧棱与底面所成的角为60, 求三棱锥的体积.OABCP解:作PO底面ABC, 垂足为O,如图, O 为底面正三角形的中心,则PAO=PBO=PCO=60,PA=PB=PC=2.得 RtPOARtPOBRtPOC,于是得 OA=OB=OC.得 AO=1,底面ABC的高AE=E则 BC=2BE= 2. 已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2, 底面是等边三角形, 侧棱与底面所的角为60, 求三棱锥的体积.OABCP解:作PO底面ABC, 垂足为O,如图, O 为底面正三角形的中心,则PAO=PBO=PCO=60,PA=PB=PC=2.得 RtPOARtPOBRtPOC,于是得 OA=OB=

25、OC.得 AO=1,底面ABC的高AE=E则 BC=2BE=棱锥的体积为 3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1B与平面BC1D1所成的角为 .CDABC1D1A1B1解:平面BC1D1就是平面ABC1D1,如图,E连结A1D, 交AD1于E,则A1EAD1,A1EAB, A1E平面ABC1D1,连结BE,则A1BE就是A1B与平面BC1D1所成的角,设正方体的棱长为a,在RtA1ED中,A1BE=30.302.3.2平面与平面垂直的判定第一课时返回目录学习要点1. 什么叫二面角? 2. 二面角的大小是由什么确定的? 求二面角的大小的关键是什么? 问题 1. 当我们要求别人将一

26、扇门(如教室门)开大点, 或开小点时, 用什么来度量, 使开门的人能准确地按要求开门? 如图, 两个平面相交, 常要研究交成的角的大小, 这就需要引入二面角.【1】二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.如图,ablABPQ记作 二面角 a-l-b,或 二面角 a-AB-b,二面角 P-l-Q,二面角 P-AB-Q.【2】二面角的平面角ablABOabl 要研究和度量二面角的大小, 我们把它转化成从一点出发的两条射线的夹角. 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做

27、二面角的平面角.如图,以棱 l 上任一点O为端点,在半平面 a 内作OAl,在半平面 b 内作OBl,则AOB就是二面角a-l-b 的平面角.AOB的大小就是二面角 a-l-b 的大小.二面角的大小就由它的平面角确定.ABO卫星轨道平面68.5我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5.赤道平面即卫星轨道平面与赤道平面所成的二面角是68.5. 问题 2. 如图, ABC和DBC是空间的两个等边三角形, ABD和ACD是二面角 A-BC-D的平面角吗? 如果不是, 你能找出它的一个平面角吗? 答: ABD和ACD都不是二面角A-BC-D的平面角, 因为它们的边与二面角的棱BC不垂直.取BC的中

28、点E, 连结AE、DE, AED就是二面角A-BC-D的平面角.则AEBC, DEBC,ABCDEABCDA1B1C1D1 问题3. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, 怎样计算二面角 A1-BD-C1 的大小.解:取 BD 的中点 O,连结 A1O, C1O.A1B=A1D, C1B=C1D,OA1OBD, C1OBD,则A1OC1 就是二面角A1-BD-C1 的平面角.连结 A1C1.可算出 A1C1O 的边A1C1, A1O, C1O.以后学了余弦定理即可解得A1OC1.E也可作A1C1的高OE, 在直角三角形中求角. 例(补充). 如图, 在四棱锥 P-ABCD

29、 中, AB/DC, ABBC, PC平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角P-AD-C 的正切值.分析:目标:在平面 PAD 内找 AD 的垂线,在平面 ABCD 内找 AD 的垂线.凭直观, 考查图中已有的角,找二面角P-AD-C 的平面角.线, 点等.PD, CDAD 否?不垂直.PA, BAAD 否?BA与AD不垂直.则考虑连结 AC,得ACD=45,如果ACAD,需CDA=45.在底面梯形中可求得CDA=45.ABCDP 例(补充). 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB/DC, ABBC, PC平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角

30、P-AD-C 的正切值.解:PC=CB=BA=2, DC=4,ABCDPABCE 是正方形.E取 DC 的中点 E, 连结 AE, AC.得 AEDC, AE=DE,ADAC.PC平面ABCD,则 ADE=45.PCAD.ABBC,又ACD=45,则 AD平面 PAC,得 ADPA.则PAC为二面角P-AD-C 的平面角.在底面求得 AC=tanPAC=练习(补充) 1. 在正方体ABCD-ABCD中, 求二面角 A-BC-B的正切值.ABCDABCD 2. 30 的二面角的一个半平面内有一点 P, 这点到棱的距离为 h, 求点 P 到另一个半平面的距离. 1. 在正方体ABCD-ABCD中,

31、 求二面角 A-BC-B的正切值.ABCDABCDG解:连接 BC交 BC 于 G,连结AG,ABBC,则 BGBC.得 BCAG.BC平面ABG.AGB 为二面角 A-BC-B 的平面角.在RtABG中,则 BG =设 AB=1, 2. 30 的二面角的一个半平面内有一点 P, 这点到棱的距离为 h, 求点 P 到另一个半平面的距离.解:PQl 于Q,作 POb, Ob,连结 OQ.则 PQO=30.PQO是二面角的平面角.在RtPOQ中,PO=则 PQl.blQaPO如图,二面角a-l-b 是30.Pa,PQ=h. l平面 POQ,即点 P 到 b 的距离是则 lOQ.【课时小结】1. 二

32、面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.ablABPQ记作 二面角 a-l-b,二面角 a-AB-b,二面角 P-l-Q,二面角 P-AB-Q.【课时小结】2. 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角确定.ablABOablABO AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.【课时小结】3. 求二面角的大小(1) 找到二面角的两个半平面与棱.(2) 找二面角的平面角. 在两个半平面内找垂直于棱的直线, 垂足为棱上同

33、一点.常用到线线垂直与线面垂直转换.(3) 通常在直角三角形中求平面角的大小.习题 2.3A 组第 4、7 题. 4. 如图, 三棱锥 V-ABC中, VA=VB=AC=BC=2, AB= VC=1, 试画出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求它的度数.VBCA解:取AB的中点D,连接 VD, CD,D而 VA=VB=AC=BC=2,VDAB, CDAB,则VDC就是二面角V-AB-C的平面角.而则由勾股定理求得 VD=CD=1,又 VC=1,VCD是等边三角形, VDC=60,即二面角 V-AB-C 的大小为60. 7. 如图, 正方体ABCD-ABCD中平面ABCD与正方体的其他各个面所

34、成二面角的大小分别是多少?ABCDACDB解:与上底面所成二面角的平面角是BCB=45.与下底面所成二面角的平面角是CB C=45.与前面所成二面角的平面角是BBC=45.与后面所成二面角的平面角是BCC=45.平面AC过左、右面的垂线AB,所以与左、右面成90的二面角.2.3.2平面与平面垂直的判定第二课时返回目录学习要点1. 平面与平面垂直是怎样定义的? 2. 两平面垂直的判定定理的内容是什么? 证明两平面垂直需要哪些条件?平面角是直角的二面角叫做直二面角. 问题3. 观察教室中的物体, 哪些二面角是直二面角?【3】两个平面垂直的定义 一般地, 两个平面相交, 如果它们所成的二面角是直二面

35、角, 就说这两个平面互相垂直.平面 a 与平面 b 垂直, 记作: ab. 画两个平面垂直, 一般应把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直.abab 问题3. 请同学们用一支铅笔垂直于你坐的桌面,再用书面或硬纸板紧靠铅笔, 请问: 书面与桌面构成直二面角吗? 书面与桌面是否垂直?两个平面垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直.符号表示:ablla,l b, ba.【4】两个平面垂直的判定 例3. 如图, AB是O的直径, PA垂直于O所在的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点. 求证:平面 PAC平面 PBC.OABCP解:AB是O的直径,又C是O上的点

36、, ACBC,又 PA圆面,BC圆面, PA BC,得 BC平面PAC,而 BC平面PBC,平面PBC平面PAC. 探究题. 如图, 已知AB平面BCD, BCCD,你能发现哪些平面互相垂直, 为什么?DBCA过AB的平面与底面垂直:平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD.又 BCCD,而由AB平面BCD得 CDAB,CD平面ABC,过CD的平面垂直平面ABC:平面ACD平面ABC,平面BCD平面ABC (上面已有).练习: (补充) 1. 如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1 (侧棱垂直底面) 中, ACB=90, 求证: 平面 A1BC平面A1ACC1.A1B1C1ABC 2. 在正

37、方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是AB, A1A 的中点. 求证: 平面 BCE平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EF 1. 如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1 (侧棱垂直底面) 中, ACB=90, 求证: 平面 A1BC平面A1ACC1.A1B1C1ABC证明: ABC-A1B1C1是直三棱柱,BCCC1.又ACB=90 BCAC, BC平面A1ACC1.平面 A1BC平面A1ACC1.BC平面A1BC, 2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是AB, A1A 的中点. 求证: 平面 BCF平面B1C1E.证明:E, F 分别是 AB,A1

38、A 的中点.在正方形 ABB1A1中, B1C1 平面BAA1B1, B1C1BF.由得 BF平面B1C1E,平面 BCF平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EFBF 平面BAA1B1,BF平面BCF,B1EBF.【课时小结】1. 两平面垂直的定义2. 两平面垂直的判定定理 两个平面相交成直二面角时, 称这两个平面互相垂直. 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直.ablla,l b, ba.习题 2.3A 组第 1、3、6 题.B 组第 1 题.习题 2.3A 组 1. 判断下列命题是否正确, 正确的说明理由, 错误的举例说明: (1) 平面 a平面 b, 平面 b平面 g 平面

39、 a平面 g; (2) 平面 a /平面 a1, 平面 b /平面 b1, 平面 a平面 b 平面 a1平面 b1.解:(1) 错, 如图.bga(2) 对.ab,a /a1,a1b;b /b1,a1b1. 3. 如图, 在三棱锥 V-ABC 中, VAB=VAC= ABC=90, 试判断平面 VBA 与平面 VBC 的位置关系, 并说明理由.VBCA解:平面 VBA 平面 VBC.其理由:由VAB=VAC= 90 得VA平面ABC,则 VABC,又ABC=90, 即 ABBC,BC平面VBA,而 BC平面VBC,平面 VBC 平面 VBA. 6. 求证: 如果共点的三条直线两两垂直, 那么它

40、们中每两条直线确定的平面也两两垂直.已知: PAPB, PAPC, PBPC. 求证: 平面PAB平面PBC, 平面PAB平面PAC, 平面PBC 平面PAC.PABC证明: PAPB, PAPC, PA平面PBC.而 PA平面PAB,PA平面PAC, 平面PAB平面PBC,平面PAC平面PBC.同理可证平面PAB平面PAC.B 组 1. 如图, 在正方体ABCD-ABCD中, 证明: 平面 ACCA平面 ABD.ABCDACDB证明:在正方体中,底面 ABCD 是正方形,所以 ACBD.又因为侧棱垂直底面,所以 AABD.于是得 BD平面 AACC.而 BD平面ABD,平面 ABD平面 AA

41、CC.2.3.32.3.4直线与平面垂直的性质平面与平面直线与平面垂直的性质平面与平面返回目录学习要点 1. 直线与平面垂直的性质定理是什么? 在什么条件下得到什么结论? 2. 两平面垂直的性质定理是什么? 在什么条件下得到什么结论? 问题 1. 长方体的侧棱是否都与底面垂直? 这些侧棱是怎样的位置关系? 请同时竖两支垂直于桌面的铅笔, 这两支铅笔又有怎样的位置关系?a如图, l1a， l2 a，垂足分别为A、B.如果 l1 l2,那么过垂足 A 可另作一直线 ml2,于是 ma.过 l1与 m 作平面 ba = c,则 l1c, mc.那么在平面 b 内过一点 A 就有两直线与 c 垂直,显

42、然不可能, 即 l1 l2不能成立, 只有 l1/l2.bl1l2ABmc2.3.3 直线与平面垂直的性质垂直于同一个平面的两条直线平行.由线面垂直得线线平行.线面垂直的性质定理:al1l2AB符号表示:l1a,l2a, l1/l2. 例(补充). 已知一条直线 l 和一个平面 a 平行, 求证: 直线 l 上各点到平面 a 的距离 (到 a 的垂线段长)相等.alABb证明:过 l上任意两点 A、B 作AAa, BBa, 垂足为A、B,则 AABB,由AA、BB确定平面, 设为b,得 ba =AB, la,l b, lAB, AA=BB (两平行线间的平行线段相等),即 l 上任意两点到平面

43、 a 的距离相等.AB 问题2. 设直线 a, b 分别在正方体ABCD-ABCD中两个不同的平面内, 欲使 a/b, a, b 应满足什么条件?分别满足下面的条件都可以:(1) a, b 同垂直于一个面.(2) a, b 同平行一条棱.(3) 用一个平面截相对的两个面所得的交线即为 a, b.bbABCDACDBaaba如图,练习: (课本71页)第 1、2 题.练习: (课本71页) 1. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划“”, 错误的划 “”. (1) 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. ( ) (2) 垂直于同一个平面的两条直线互相平行. ( ) (3) 一条直线在平面内,

44、另一条直线与这个平面垂直, 则这两条直线互相垂直. ( ) 2. 已知直线 a, b 和平面 a, 且 ab, aa, 则 b 与 a 的位置关系是 .平行或在 a 内bDDCBCBAAbaa分析:借助长方体模型./aa 问题 1. 请同学们在一块硬纸板 (或书面) 上画一条垂直于某边的直线 l, 再将硬纸板 (或书面) 与桌面垂直, 并使这边在桌面内. 请问, 你画的直线 l 与桌面是什么位置关系? 为什么?labABDC如图,在 a 内过点 D 作CDAB,则l DC是二面角 a-AB-b的平面角.ba,平面角应是直角,则得 lCD. la.2.3.4 平面与平面垂直的性质又 lAB,两平

45、面垂直的性质定理: 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示:ab,ab = m,lm,l a, lb.abml 问题 2. 如图, ab, 点 Pa, PQb. 请问, PQ是否一定在 a 内? 你能说出理由吗?RPQablPQ一定在 a 内.其理由:设 ab =l,过点 P 作 PRl, Rl, ab, PRb, 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直, PQ与PR重合为同一条直线,即 PQ 必在 a 内. 例4. 已知平面 a, b , ab, 直线 a 满足 ab, aa, 试判断直线 a 与平面 a 的位置关系.mabab解: ab,设 ab =m,在 a

46、 内作 bm, bb. ab, ab,ba,aa,aa.即直线 a 与平面 a 互相平行.问题: (课本76页探究) 已知平面 a, b, 直线 a, 且 ab, ab = AB, a/a, aAB, 能判断直线 a 与平面 b 的位置关系吗?AabBa解:ba/a,g过 a 作平面 ga = b,则 a/b.而 aAB,则 bAB,而 ab, 交线是 AB,bb,则 ab. 两平面垂直, 平行于一平面的直线垂直于另一平面.练习: (课本73页)第 1、2 题. 1. 下列命题中错误的是( ) (A) 如果平面 a平面 b, 那么平面 a 内所有直线都垂直于平面 b (B) 如果平面 a平面

47、b, 那么平面 a 内一定存在直线平行于平面 b (C) 如果平面 a 不垂直于平面 b, 那么平面 a 内一定不存在直线垂直于平面 b (D) 如果平面 a平面 g, 平面 b平面 g, ab = l, 那么lg练习: (课本77页)(D)选项的证明看 “习题2.3” 第 5 题.A 2. 已知两个平面垂直, 下列命题 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线. 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. 过一个平面内任意一点作交线的垂线, 则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是 ( ) (A) 3 (B) 2 (

48、C) 1 (D) 0另一个平面内垂直于前一个平面的无数条直线.B【课时小结】1. 直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.l1a,l2a, l1/l2.由线面垂直得线线平行.能推得线线平行的有: 公理4. 线面平行的性质定理. 面面平行的性质定理. 线面垂直的性质定理.【课时小结】2. 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.ab,ab = m,lm,l a, lb.abml 两平面垂直, 平行于一平面的直线垂直于另一平面.习题 2.3A 组第 2、5、8、9 题.B 组第 3 题.a习题 2.3A 组2. 已知平面 a, b,

49、g, 且 ag, b /g, 求证 ab.证明:在 g 内作直线 am,aa. ag,过 a 作平面 db = b, bg, a/b,b b, ba.bbgad如图, 设 a 与 g 的交线为 m,m而 aa.ba. 5. 已知平面 a, b, g 满足 ag, bg, ab = l. 求证 lg.agbl证明:如图,设 ag =m, bg =n.取 Pg, Pm, Pn,mnPAB作 PAm, PBn. ag, bg, PAa, PBb.又 ab =l, PAl, PBl.PAg, PBg,PAPB = P, lg.a 8. 如图, m, n 是两条相交直线, l1, l2 是与 m, n

50、都垂直的两条直线, 且直线 l 与 l1, l2 都相交, 求证: 1=2.mnO12ll2l1证明: l1m,l1n, mn=O, m、n 确定的平面, 设为 a, l1a,同理, l2a, l1l2,又直线 l 与 l1、l2 都相交, 1=2. 9. 求证: 两条平行线和同一个平面所成的角相等. 如果两平行线中的一条垂直平面, 则另一条也垂直这个平面, 它们与平面所成的角都等于90.证明: 如果两平行线中的一条与平面所成的角是 0, 则另一条平行平面或在平面内, 即另一条与平面所成的角也是 0.当两平行线是平面的斜线时, 如图,aABCDE已知: ABa=B, CDa=D, ABCD.分

51、别过AB、CD上的点E、F 作 EMa, 垂足为M,FNa, 垂足为N.NMF且得 EMFN,又 ABCD,BEM=DFN,于是在两直角三角形中可得EBM=FDN,则MB、ND分别是EB、FD在即两平行线与平面 a 所成的角相等. 9. 求证: 两条平行线和同一个平面所成的角相等.证明:求证: AB, CD 与 a 所成的角想等.平面 a 内的射影.B 组3. 求证: 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. 已知, 如图, ab, ag, bg, ab =AO, ag = BO, bg =CO.求证: AOBO, AOCO, BOCO.证明:取点 Pg, PBO, PCO,OABCabgEF作

52、PEBO, PFCO, ga, ga = BO,gb, gb = CO, PEa, PFb.而 AOa, AOb, PEAO, PFAO,则 AOg,又 BOg, COg,PAOBO, AOCO.又 ba, ba = AO,COb, COa,BOa,COBO.复习提高与返回目录1. 线面垂直的定义定义可用于推证线线垂直.la,ma,lm.知识要点 如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直, 就说直线 l 与平面 a 互相垂直.知识要点2. 线面垂直的判定la, aa,lb, ba,ab=P,la. 两平行线中的一条垂直于一个平面, 另一条也垂直这个平面. 如果一条直线和一个平面内的两条

53、相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. 过空间任意一点, 有且只有一条直线和已知平面垂直.知识要点3. 三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直平面的斜线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影; 如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜线.知识要点4. 直线和平面所成的角平面的斜线和斜线在平面上的射影的夹角.要点:(1) 由线面垂直找射影;(2) 在三角形中计算.特例:(1) 线面垂直, 线面角为90.(2) 线面平行或在其内, 线面角为0.知识要点5. 直线与平面垂直的性质垂直于同一个平面的两条直线平行.l1a,l2a, l1/l2.由线面垂直得线线平行.知

54、识要点6. 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.ablABPQ记作 二面角 a-l-b,二面角 a-AB-b,二面角 P-l-Q,二面角 P-AB-Q.知识要点7. 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角确定.ablABOablABO AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.知识要点8. 两平面垂直的定义与判定定义:判定: 两个平面相交成直二面角时, 称这两个平面互相垂直. 一个平面过另一个平面的垂线,

55、则这两个平面垂直.ablla,l b, ba.知识要点9. 两平面垂直的性质 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.ab,ab = m,lm,l a, lb.abml 两平面垂直, 平行于一平面的直线垂直于另一平面.例题选讲返回目录 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.PABCDMN分析:需证MN垂直PCD三边中的两边.若 MN平面PCD,注意 N 是 PC 的中点,则 MN 必是 PC 的中垂线.即考虑 MP=MC.于是思考是否PAMCBM,由此可得 MNPC.又如此思考 M

56、N 是否是 AB 的中垂线,即 NA=NB 是否成立?NA, NB分别是RtPAC和RtPBC斜边PC的中线,NA=NB 即可成立. 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.PABCDMN证明:PA矩形ABCD, PDA=45,连结 PM, CM,PAD是等腰直角三角形.则 PA=AD=BC.又 M 是 AB 的中点得 AM=BM,得 RtPAMRtCBM,MP=MC.而 N 是 PC 的中点, MNPC.PABCDMN 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点

57、, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.证明:PA矩形ABCD, PDA=45,连结 PM, CM,PAD是等腰直角三角形.则 PA=AD=BC.又 M 是 AB 的中点得 AM=BM,得 RtPAMRtCBM,MP=MC.而 N 是 PC 的中点, MNPC.由 PA矩形ABCD, 得PAC 是直角三角形.由 CBAB, CBPA, 得PBC 是直角三角形.则 AN, BN 是两直角三角形斜边 PC 的中线,AN=BN,得 MN 是 AB 的中垂线, MNAB.由 AB/DC, 得 MNDC.由得 MN平面 PCD. 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是

58、AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.PABCDMN其他思考:E思考一:证 MNPC 同上.要证 MNDC, 可作PCD的中位线 NE.证 DC平面 NEM, 即可证得 DCMN. 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.PABCDMN其他思考:F思考二:将 MN 平移到平面 PAD 内,即取 PD 中点 F,可证得 AF/MN.只需证 AF平面 PCD, 即得 MN平面PCD.PABCDMN 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点,

59、若PDA=45. 求证: MN平面PCD.其他思考:思考三:将原图补形为长方体.可证 MN/BC1, BC1平面PDCB1,B1即得 MN平面 PCD.侧面B1BCC1是正方形.C1平面PCD是其对角面. 例 2. 如图, ABC 和DBC 是空间的两个等边三角形, E 是 BC 的中点. 点 A 在平面 DBC 内的射影是否在 DE 上? 为什么? ABC 和DBC 是等边三角形,AEBC, DEBC,E 是 BC 的中点.其理由如下:则 BC平面AED,得平面DBC平面AED.则 AF平面DBC .点 A 在平面 DBC 内的射影在 DE 上.答: 一定在 DE上.平面DBC平面AED=D

60、E,作AFDE, 垂足为F,(面面垂直的性质)(面面垂直的判定)BACDEF 例 3. 如图, 四棱锥ABCD 的各条棱长都等于 a, E 是 AD 的中点. (1) 求这个棱锥的高; (2) 求CE与平面BCD所成角的正弦.DABCE解:取 BC 的中点 F,得 BCAF, BCDF, BC平面AFD,则平面BCD平面AFD.F(1)O作 AODF, 垂足为O,则 AO平面 BCD.AO 是三棱锥 ABCD 的高.RtAOBRtAOCRtAOD,得 OB=OC=OD,O是BCD的重心,即棱锥的高为 例 3. 如图, 四棱锥ABCD 的各条棱长都等于 a, E 是 AD 的中点. (1) 求这