弹性力学简明教程(第四版)-第八章-课后作业题答案

1、 第八章空间问题的解答【8-1】设有任意形状的等截面杆，密度为p，上端悬挂，下端自由，如题8-1图所示。试考察应力分量a二0Q二0Q二pgz,T二0,T二0,T二0是否xyzyzzxxy能满足所有一切条件。題i1附【解答】按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡微分方程，教材中式（7-1）；满足相容方程，教材中式（8-13）；并在边界上满足应力边界条件，教材中式（7-5）。(1)-pg，很显然，应力分量满足如下的平衡微分方程dadTdT=0,dTdadTdx=0,dTdTda二0。(1+y)v2axdx2(1+R)V2a+ydy2(1+R)V2azdz2（2）O=a+a

2、+a二pgz，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程xyz(1+)v2T+竺二0,xydxdy(1+p)v2T+空=0,yzdydz(1+p)v2T+-d二0。dzdx（3）考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，f=f=f=0。在（对）xyz平面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为n=0,Im为任意的；在下端面方向余弦分别为n=-1,l=m=0），应用一般的应力边界条件，将应力和面力分量、方向余弦分别代入下式TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark28 Cg+m+nr)=f,/xyxzxxsx HYPERLINK l bookmark30 (r+mG+nr)=f,

3、/xyyzysyVr+mr+nG)=f。s直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足。因此,所给应力分量是本问题的解。【8-8】扭杆的横截面为等边三角形OAB,其高度为a（题8-8图），取坐标xzyzzsz试证应力函数轴如图所示，则AB,OA,OB三边的方程分别为x-a二0,x、3y二0,x+j3y二0。=m(x-a)(x-J3y)(+、3y)能满足一切条件，并求出最大切应力及扭角。B【解答】（1）扭杆无孔洞，应力函数显然满足侧面边界条件（）=0。由s杆满足端部的边界条件，教材中式(8-18)得2Ifm(x-a)(x-；3y)(+；3)dxdy=M,A2mfafa/3_C3-3xy2-ax2+3a

4、y2)dxdy=M,0-a/32mfatC4-ax3)dx=M,03占积分求解得m=-M。（2）将代入相容方程，教材中式（8-21）V2O=-2GK,C3-3xy2-ax2+3ay2)=4am=-?M。a462d2+、Qx26y2丿再将m代入上式结果，得-3-3M二2GK,a4Ga43）由教材中式（8-15）求切应力分量得t耳虫旳(x-a)y,xzdya5t=yz孔旦3M(3x2-2ax-3y2)dx2a5（4）由薄膜比拟法知，在扭杆的边界上，三个边的中点将发生最大剪应力，为方便计算，考虑C点：tmaxzy=空M,2a3(t)=0。zxx=a,y=05）单位长度上扭角为卩c15V3MK=2GGa4【8-10】设有一边长为a的正方形截面杆，与一面积相同的圆截面杆，受有相同的扭矩M,试比较两者的最大切应力和单位长度的扭角。【解答】（1）根据教材中式（8-34）和式（8-35）可知任意矩形杆的最大切应力和扭转角的表达式，MMt=,K=,maxab2pab3Gp1对于边长为a的正方形截面杆，a=b,p=0.208,P1=0.141o将这些数值代入上式，得tmaxMab2p=4.808Ma3ab3Gp1=7.092Ma4G2）根据教材中式（8-27）和式（8-28）可知椭圆截面杆的最大切应力和扭转角的表达式t，=斗max兀ab2的圆截面杆，上式中a对于面积为兀a