江苏省2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题1

1、江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期终考试高二数学(文理)试卷一、填空题：(本大题共14大题，每小题5分，共70分).已知命题p : x R,sin x 1,则 p为.复数2L.1 2i.女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为 0,65,人机和棋的概率为 0.25 ,那么侯逸凡不输的概率为 . 2.若命题x R,使x (a 1)x 1 0是假命题，则实数a的取值范围是 .x2y2.若双曲线 工 1的一条准线方程是 y 1 ,则实数m的值是 _ _.2m m.现有一个关于平面.图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一

2、个的某顶点a2恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为 a的正4第6题图方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为22.双曲线x- -y- 1上的点P到点(5,0)的距离为8.5,则点P到169左准线的距离为 .抛物线x2 4y的弦AB过焦点F ,且AB的长为6,则AB的中点M 纵坐标为.复数z满足z 2 i 1 ,则z 1 2i的最小值为 .当a为任意实数时，直线(2a+3)x+y 4a+2=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的

3、.如 果甲船停泊时间为 1 h ,乙船停泊时间为 2h ,则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概 率.已知椭圆E的左、右焦点分别为 Fi、F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若 PFF2为直角三角形，则椭圆E的离心率为 .2.若f(n)为n 1 (n N )的各位数字之和，如 142 1 197 , 1 9 7 17,则f (14) 17 ；记fi(n) f(n), f2(n) f(n),，fk i(n) f(fk(n), k N ,则 f2oi6(8) x2 y2.设点Ai, A2分别为椭圆C： -y 与 1(a b 0)的左右顶点，若在椭圆 C上存在异于点 A” A a

4、b的点P,使得POPA2,其中。为坐标原点，则椭圆 C的离心率的取值范围是二、简答题：(本大题共6小题，共90分).(本小题14分)一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球 7 13至少有一个红球的概率为,至少一个白球的概率为,求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概1515率.(本小题14分)设命题p：实数x满足x2-4ax+3a20,命题q：实数x满足x2-x-60.(1)若a= 1,且pA q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.(本小题15分)从含有两件正品 as a2和一件次品b1的3件产品中每次任取 1件，每次取

5、出后不放回，连续取两次.(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少?1.(本小题15分)已知中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆C的离心率为2，一， 一 3且经过点M 1, 2 .(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点 P(2,1)的直线11与椭圆C相交于不同的两点 A, B,满足亦 PB3=PM2?若存在，求 出直线11的方程；若不存在，请说明理由.(本小题16分)已知关于x的绝对值方程|x2+ax+b|=2,其中a, bC R(1)当a, b满足什么条件时，方程的解集M中恰有3个元素？

6、(2)在条彳(1)下，试求以方程解集 M中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的2220.（本小题16分）已知椭圆C：与 22 i（a b 0）上的一动点P到右焦点的最短距离为 2 衣，且 a b右焦点到右准线的距离等于短半轴的长.（1）求椭圆C的方程；（2）设P 4,0 , A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结 PB交椭圆C于另一点E ,证明直线 AE与x轴相交于定点Q;（3）在（2）的条件下，过点 Q的直线与椭圆C交于M ,N两点， uuur uuir 求OM ON的取值范围.高二数学（附加题）22一21.（本小题10分）已知P是椭圆 y-1上的任意一点，Fi、F2是它的

7、两个焦点，O为坐标原点，OQ=94 PF1+ PF2,求动点Q的轨迹方程.（本小题10分）已知（JX |-）n （n N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数3的比是10： 1.求展开式中含X2的项.（本小题 10 分）如图，在三好B P ABC 中，PA 底面 ABC,PA AB, ABC 60 , BCA 90 ,点D, E分别在棱PB, PC的中点，求 AD与平面PAC所成的角的正弦值的大小；.(本小题10分)是否存在 a、b、c使得等式122+2-32+- +n(n+1)2=n(n 1) (an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?12证明你的结论.江苏省启东中学2019-2020学

8、年r度第一学期期终考试答案1.x R,sin x 13. 0.94.1x 31a3823/2 1y 2= 32x 或 x2=1 2y10131152g.或 75 282 万，1)1r5.解：设摸到的两个球均为红色的事件为A, 一红一白的事件为B,均为白球的事件为C.显然，A、B、C为互斥事件,P (A+ B)依题意:一一一 13P(B+C)=许P ( A+ B+C) = 1P (A) + P ( B)P (B) + P (Q13? P(B) = !3P (A) + P (B) + P (C) = 1，,1即两个球恰好红球白球各一个的概率为-316.设命题p：实数x满足x2-4ax+ 3a20,

9、命题q：实数x满足x2 x 6 0, x2+2x80.(1)若a= 1,且pA q为真，求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.解 (1)由 x2 4ax+3a20 得(x3a)(xa)0,所以 ax3a,当 a=1 时，1x0得 2xW3,若pAq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是x2x3;(2)设 A= x| x2-4ax+ 3a20,x2 - x 6 0 0 x2 + 2x- 80则 B A,又 A= x|awxw3a, B= x|2xW3,则 03, (a1) + (3 a 3)2w0所以实数a的取值范围是a|1b0), a2 b2 TOC o

10、 1-5 h z 19 .c+1 ,a2 4b2由题意得 c= 1解得a2=4, b2=3.a=2 a2=b2+c2,、， x2 y2故椭圆C的方程为尸卜.(2)假设存在直线11且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y= ki( x 2) + 1,代入椭圆C的方程得,(3+4k2)x28ki(2ki 1)x+16k216ki 8=。因为直线11与椭圆C相交于不同的两点 A, B,设A, B两点的坐标分别为(xi, yi) , (x2, y2),所以 = 8ki(2ki i) 24(3 +4k2)(i6 k2 i6ki 8) = 32(6 ki+3) 0,一, i所以ki 2.又* + *2=错

11、误！，*仇2=错误！， 因为PA-pb=pm,一5即(xi 2)( x2-2) + (yi- i)( y2一 i)=4所以(xi 2) ( x22)(i +k2)=|PM2=5. 一. .5即xix22(xi+x9+4(i +k2)=-. 4所以错误！(i+k错误！)=错误！=错误！，解得 = 错误！.因为ki,所以ki =.22 i于是存在直线11满足条件，其方程为 y = 2x.i9.已知关于x的绝对值方程|x2+ax+b|=2,其中a, be R.(1)当a, b满足什么条件时，方程的解集 M中恰有3个元素？(2)试求以方程解集M中的元素为边长的.三角形，恰好为直角三角形的充要条件. T

12、OC o 1-5 h z 解(1)原方程等价于x2+ax+b=2,或 x2 + ax+ b= - 2,由于 A1 = a24b + 8a24b8 = A 2,42=0时，原方程的解集 M中恰有3个元素，即a2 4b= 8； .a .aa(2)必要性：由(1)知万程的根 x=-2,万程的根 xi=-2-2, x2=-+2, a o a o a c如果它们恰为直角三角形的三边，即(-2) +(-2- 2) =(-2+2 ,解得 a= 16, b= 62.充分性：如果 a= 16, b=62,可得解集 M为6, 8, 10,以6, 8, 10为边长的三角 形恰为直角三角形. a= - 16, b=

13、62为所求的充要条件.2220.已知椭圆c：x24i(a b 0)上的一动点P到右焦点的最短距离为 2好，且右 a b焦点到右准线的距离等于短半轴的长.(1)求椭圆C的方程；(2)设P 4,0 一，A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结 PB交椭圆C于另一点E ,证明直线AE与x轴相交于定点Q ;(3)在(2)的条件下，过点Q的直线与椭圆uuiuC交于M,N两点，求，0”uuirON的取值20.解：(1)由题意知故椭圆C的方程为c2y21.(2)由题意知直线PB的斜率存在，设直线 PB的方程为y k(x 4).y k(x22x y 了万4),得(2k* 2 1)x2 16k2x

14、32k2 4 0. 辽 1.设点 B(xi,yi), E(X2,y2),则 A(k, y1).直线AE的方程为yV2 色(X x2).x2 x1y2(x2 xjV2 yi将 yi k(xi 4) , V2k(x2 4)代入,整理，得x由得x1整理，得x2x1x24(xi x2)2法代入2k 1所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0).(3)当过点Q直线MN的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y m(x 1), M (xM , yM ), N (xn, yN).y m(x 1),/一24m xm xn22m 1，xm xn22m4,Vm yN22m1uuur iuur则 OM ON xM xN

15、Vm yN22m423m_2_22m12m 1因为m2 0 ,所以4 W1711922 2m12uuur uur所以 OM ON 4,1) .2/日，c 2222得(2m1)x 4mx 2m 40 .23m22m 12m 4-2-2m 171二 722 2m 1当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为 x 1.解得M (1，N(1,此时uuur0MuuirON所以uuun OMiur0N的取值范围是,1, 4， 2 1621.2已知P是椭圆91上的任意一点,F1、F2是它的两个焦点，0为坐标原点，0Q= PF1 + PF2,求动点Q的轨迹方程.解析 由 OQ= PF1+PF2,又 PF1 +

16、PF2= PM= 2P0= 2OP,设Qx,y),则 0P= ；0Q= -2(x, y)即P点坐标为x2y _2 ,又P在椭圆上,则49(y)241.2即362y1622.已知(市-5* 一 一 一一、 一一 一- nC N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10 : 1.求展开式中含x2的项.解：解：由题意知，第五项系数为C4 - (-2)4,第三项的系数为C2 - (-2)2,则有C4-C2-一 2 4-2 2101，2化间得 n5n 24=0,解得n= 8或n= 3(舍去).2通项公式 Tr + 1=C8 - (/x)8 (-)一r 8 r 八 ， 一一、=C8 ( 2) , x

17、2一 2r, (r = 0,1 ,，8),人8r -3.令2 2r =,则 r = 1,33AB, ABC 60 , BCA 90 ,故展开式中含x的2项为F=16x523.如图，在三棱锥P ABC中，PA底面ABC,PA点D , E分别在棱PB, PC的中点，求:AD与平面PAC所成的角的正弦值的大小;设PA a,由已知可得解：如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系A xyz ,A(0,0,0), B(a,0) , C(0,-23a,0), P(0,0, a), D(a . 3a a)442)uuuAP0,0, auuur ,BC12a,0,0uuu APuuur0,0, a , BC1 -a

18、,0,0 2uuir ,BCuurAP 0，.二 BC AP.BCA 90 , Bd AC,Bd平面PAC.uuir平面PAC的一个法向量 BC(2,0,0)设AD与平面PAC所成的角为sinuuuuuur cos AD, BCAD与平面PAC所成的角的正弦是 424.是否存在a、b、c 使得等式 1 22+232+- +n( n+1)2=n(n-1) (an2+bn+c)对于一切12正整数n都成立？证明你的结论。解.假设存在a、b、c使题设的等式成立,这时令n=1,2,3,有221(a b c) 61-(4a 2b 2c)311c 10于是，对n=1,2,3下面等式成立1 - 22+2- 32+ - +n(n+1)2= n(n 1) (3n2 11n 10