浅谈解析几何中的定比分点

1、 浅谈解析几何中的定比分点解析几何是我们高中阶段的重要内容，很多同学怕解析几何，说到底是怕解析几何中的计 算，特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分重要的 一块内容，无论是课本还是平时的练习题，定比分点内容都占一定的比重，定比分点用得好会简 化较多的计算。定比分点用法较多，大体分为：直接与间接。直接用法有三种:uuur1、定义直接用：APuuuPB (采用向量来解决)ruuurb,OD是AB边上的高，若ADuurAB ,则实数等于 ()uuu r uur例如在 OAB中，OA a,OBr r r a (b a)-r ri b a本题直接采用向量来解答:uuu

2、ruuuumr uuuADABOD OAr r r a (a b)-rria buuur uuu(OB OA)r r r a (b a)Crb auuruur uuuODOB (1 )OAa (a b)uuur uuuODgAB 0r r r a (a b) TrT2、直接用公式XpXaXb1Vp3、直接用向量相等(xpxa，VpV)(Xb Xp，Vb Vp)直接用定义做的题比较少，因为直接用定义，不能较好训练学生的思维，采用间接的题型比 较多，大致有以下几种：一、将线段比转化为定比分点例如：已知 P1(4, 3),F2( 2,6),且|PP 2 PF2| ,求适合条件的点 P坐标。分析：这种

3、题较简单，解题过程不赘述，这是典型的将线段转化为定比分点来解决。二、将定比分点转化为线段的比，从而用几何法解题。2 X 2例如：设椭圆E： y 1的两个焦点是F,( c,0)与F2(c,0) (c 0),且椭圆上存在一 m 1点P,使得直线PFi与直线PF2垂直，（1）求实数m的取值范围；（2）设l是相应焦点F2的准线,UUUU _ UJIU直线PF2与l相交于点Q,若QF2 （2 J3）F2P,求直线PF2方程。解：(1) m 1; (2)设 P(x0,y0)因为直线PFi与直线PF2垂直所以yoXo C得x0uuuu由QF2一 UULU(2 73)F2 P 知2Xo(2)Xom2 1m时,

4、m=2Xo。此时 F2（、.2,o）P(所以直线PF2方程为y（73 2）（x 扬。UUUL _ UULU转化为相似比来解决，从而使问题化难为易。本题把 QF2(23) F2 P三、求某些值或者某些最值时，可转化为定比分点，从而使问题清晰化，解题思路明确。2X例如（2。6南通九校联考）已知椭圆E的万程为 x_ ab21( a b 0),双曲线2xH: 2ali ,又l与I2交于点P,设与椭圆E的两个的两条渐近线为11， 12,过椭圆E的右焦点F的直线1交点由上至下依次为A, B。（1）当l- 12与夹角为6oo,且a2 b2 4时，求椭圆E的方程。（2）求FAAP的最大值。看见这道题很容易想到

5、用第二定义去做，结果发现比值依赖xA的范围，而xA的范围需要解方程组,从而使问题复杂化，若使用定比分点则问题变得简洁。解：(1)略。(2)不妨设11 :b(xc)az一(xbbx ac)uur设A分FP的比为c，则 A(abcabc)而 e (0,1) 所以22无3 (近四、定比分点与整体代换思想联系在一起。例如2 双曲线H:匕 a2P(-,cab) c代入,并整理2(2别为11,l2上的动点，且略解:(1)渐近线方程:(2)设 A(3yA,yA), 3( yAyB)yAyB2所以1)2FAAP的最大值为2x一 1的离心率e=2, (1)求双曲线的渐近线万程;32 AB 5 F1F2 ,求线段

6、AB中点M的轨迹方程。B( 3yb,Yb)A, B 中点 M (x, y)(2)若A、B分中点M的轨迹方程yAAByByB102J2y、.(3yA 3yB)2 (yA yB)2224x2 36 y2300五、直接求定比分点中的的值,也可以用几何办法解决。像这种求 的题，我们可以直接通过定比分点定义计算得到例如(2004.5月黄冈市、荆州市联考)已知动点22P到双曲线y-231的两个焦点Fi ,F2的距离之和为定值 2a (a J5),且cosF1PF2的最小值为19(1)求动点P的轨迹方程;uumr(2)若已知点D (0, 3), M、N在动点P的轨迹上，且 DMuiurDN ,求实数 的取值

7、范围。22解：(1)点P的轨迹方程为194(2)解法一：设 M(x1,y1)，N(x2, y2)uuuuuuirOM(yy，DN伪)2 3)(x1,y1)(X2, y2 3)X1X2y1(y2 3) TOC o 1-5 h z 22x1y119413522x2V2.所以 194x1x2V1(y23)而 y 2,2所以5 2,5。 HYPERLINK l bookmark85 o Current Document 65上面的解法，属于纯解析几何解法，其实，我们可以用几何办法很快解决。如图：图一，是最大的时候,图二是最小的时候,图(一)六、根据定比分点中的范围求最值或值域。例如已知O、A、B三点的

8、坐标分别为O (0, 0)、A (3, 0)、B (0, 3),点P在线段ABuuu上，且，则OAA3 B6C9D12uuruuuuur uuuuuuuuruuruuu解：设APAB,OP OA(OBOP)OP -OB()uurOP的最大值为uuu uurOAgOPuuu0Age1uurOB1 uurOA)11 uur OA1310,1,(0,3,所以答案选这种题显然是利用的取值范围来求值简单。七、比而不求，转化为向量平行来解决。我们看这样一道题目，看似定比分点，仔细审题，这道题其实可以比而不求, 来解决。转化为向量平行例如已知椭圆3v2uur uur1的弦PB过其中心O,点A是椭圆的右顶点，

9、满足 PAgPB 04uur2 PAuuuPB（1）求点P坐标；（2）若椭圆上有两点C、D （异于 A、B） 且uuruurPCPDuuu(-uuur 7Uuurr)gOAuur uur0,问是否存在实数，使得AB CD ?说明理由PCPD这道题，很容易想到用定比分点把求出来，从而证明存在，仔细一看，题目并没有要我们求uuu uuu因而我们可以智取，只需求证 AB与CD共线即可。解：（1）点P坐标（1,1)。（2）假设存在uuruuur,使得AB CDuuirPC (-uuurPCuuurPD uuuTuutrr)gOA 0 知,PDCPD的平分线垂直于OA,则,kPCkPD 。不妨设点P坐标（1,1),设直线PC为y-1= k （x-1）联立方程组3y241 k(x3k2 2k 13k2 1)3k2 6k解得C(-3k2 11)又直线,一 ,3k2PD 为 y-1= -k (x-1)，易得 D 为(23k26k 1 3k2 2k 13k2 1所以所以所以 CD / AB2_2_3k 2k 1 3k 2k 1k 3k2 1 3k2 1CD3k2 6k 1 3k2