高等数学课件3.1

1、第一节 不定积分的概念及其线性法则第三章 一元函数积分学 本节要点 本节通过原函数引出了不定积分的概念，并得到不定积分的简单性质.一、原函数与不定积分二、不定积分的计算一、原函数与不定积分 1.原函数在第二章关于求导的问题中提出，已知 ，求 的导数 。而现在的问题是 已知, 求满足 的 这类问题就是求原函数问题.定义1 如果在区间 上的可导函数 的导函数为或则称函数 为 在区间 上的一个原函数.，即对任一 ，都有例1所以 是 的一个原函数；所以 为 的一个原函数； 因为 因为由于所以 是 在 的一个原函数； 我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函数是唯一的，但某个函数的原函数是否唯一呢

2、？为此，先引入:原函数存在定理 如果函数 在区间 上连续,则在区间 上存在可导函数 ，使得对任一 ,都有即连续函数一定有原函数存在.此定理将在定积分内容中讨论。所以如果 是 的原函数,则 也是 的原函数.由于 其中 为任意常数，如果 也是 的原函数,即 ，则 为任意常数，所以， 任意两个原函数之间只差一个常数。而且 任意一个原函数可以表示为 2.不定积分 由上面的讨论，可得到如下定义：定义2 在区间 上，函数 的带有任意常数的原函数称为 在区间 上的不定积分，记作其中 称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式称为积分变量。如果 是 的一个原函数，则 的不定积分可表示为由于 表示 的任意一个原函

3、数，所以又由于 是 的一个原函数，所以例2 由定义，不难得到下面的： 由于为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示;注2 定义在区间 上的连续函数一定存在原函数，但其原函数不一定能用初等函数来表示；例如函数注1 在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉，加上任意常数 表示不定积分，不加任意常数 表示某一个原函数。注3 在区间 内存在原函数的函数不一定是连续函数，例如函数: 存在间断点 ，但 在 存在原函数例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.解 设此曲线的方程为 由题设得关系即， 是 的一个原函数，因 即且曲线过(1, 2), 即 代

4、入曲线方程得 故所求曲线的方程为 函数 的原函数的图形称为 的积分曲线。上例中 的原函数为 在常数 取不同值时，可得不同的积分曲线。 3.基本积分公式 是常数；特别二、不定积分的计算 由原函数与不定积分的定义可得到如下不定积分的性质:性质 设函数 及 的原函数存在，则其中 为任意常数.这就是不定积分的线性运算性质。 用基本积分表和线性运算性质可以计算一些简单函数的不定积分。例4 求积分解 先将 展开，然后再利用积分公式及运算法, 则:例5 求积分解 先将 展开，然后再利用积分公式及运算法,求出的不定积分可以通过求导来验证其是否正确。例6 求积分解例7 求积分解例8 求积分解 将积分拆成两项的和

5、，可得例9 求积分解 分子部分减1加1项后, 分解被积表达式，得 例10 求积分解 分子部分减1加1项后, 分解被积表达式，得 例11 求积分解 利用三角公式例12 求积分解 利用半角公式例13 求积分解 由倍角公式 则例14 求积分解 由倍角公式 则学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付， 只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。 学习动物精神12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意， 会减轻主管、共

6、事者的负担，也 让你更具人缘。谢谢大家！学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付， 只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。 学习动物精神12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意， 会减轻主管、共 事者的负担，也 让你更具人缘。谢谢大家！学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付， 只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会