电磁场理论课件：2-2 唯一性定理

1、总结： 泊松方程导体：总能量 介质：2.2 唯一性定理Uniqueness Theorem 本节内容将回答两个问题： （1）要具备什么条件才能求解静电问题 （2）所求的解是否唯一 静电势的微分方程边值关系导体表面上的边值关系唯一性定理：必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一.1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明有限V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、i (i = 1、2、3 ) ，V 中的自由电荷分布(或) 为已知当V 的边界面S 上的电势 (或电势法向导数)给定，则V 内的电场有唯一确定的解。数学表述如下:(在每个小区Vi)(在整个区域V 的边界面S上给定,按约定,边界面法线 指

2、向V 外)(在两种绝缘介质的分界面上)分界面法向单位矢量 由 指向 )或以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中静电场分布的唯一解. 下面是对唯一性定理的证明。首先证明区域V 中只有一种均匀介质的情况，然后再把它推广到多种介质分区分布的情形。a)区域V 中只有一种均匀介质的情形利用反证法证明:假设区域V 中存在两个不同的解 和它们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明它们只能是同一个解.引入标量函数 ,令 = - 在区域边界面S 上(给定第一类边界条件)(给定第二类边界条件)或下面需要证明的是,满足以上方程

3、和边界条件的和顶多只能差一个常数.利用矢量的微分运算公式:等式两端对V 作体积分式中 在边界面S 上,无论还是 ，都使注意到 为非负数,欲使上式成立,只有 ,即= C ,或 - =C，以上说明 和 顶多差一个常数,而电势的附加常数对电场没有影响,这就证明了 和 在物理上是同一个解,于是,唯一性定理得证.b)区域V 中有两种各自均匀的介质1 和2 的情形令1 = 1 - 1分别对应V1 区和V2 区下面将证明,每一个区域的解都是唯一的.对V1 区,设有两个解1 、1 都满足V1 区的场方程和边界条件在V1区的外边界1上或给定第二类边界条件给定第一类边界条件约定, 为V1 区边界的法向单位矢量,指

4、向V1 外部;令2 = 2 - 2同理对V2 区,设有两个解2、2 都满足V2 区的场方程和边界条件在V2区的外边界2上给定第一类边界条件或给定第二类边界条件约定, 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值关系两式左右分别相减,得1 = 2又 两式左右相减，得： 为内边界上的法向单位矢,按约定由介质1 指向介质2下面我们要证明, 1和1 , 2和2顶多都只能差一个常数先看V1 区,利用微分恒等式等式两端对V1 作体积分式中 由高斯公式其中S1 为V1 的边界面,它由外边界1 和内边界两部分组成,即外边界1 内边界由前所述,外边界1

5、 上的面积分为零同理,对区域V2 ,重复以上过程,可得到内边界内边界内边界内边界内边界内边界两式分别相加得内边界内边界由电势的边值关系,在内边界上欲使上式成立,只有 , ,即1和1, 2和2顶多差一个常数,这说明,在每一个均匀小区内的电场分布都是唯一的.c）以上证明自然推广到含有两种以上均匀介质的情况此时其中用类似的方法可以证明: ,从而区域V 中各处的电场分布一定是唯一的. 这样,关于绝缘介质静电问题的唯一性定理得到了证明.2）有导体存在的情况 设区域V 中有若干导体，其余部分都是一种均匀介质,将扣除导体后的区域称为V，V的边界应包括两部分:V 的表面S(或V的外边界) ，每个导体的表面Si

6、 (或V的内边界) .此时，要唯一地确定V内的电场,需要1）已知区域V中电荷分布，2-1)是给定每个导体的电势 i ,2-2)给定每个导体所带的总电量Qi3-1)S边界的或两种类型分别表述如下:a）区域V 内有若干导体，设除导体外的区域V内的自由电荷分布已知，V的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每个导体表面的电势 i 也已知，则区域V内的电场有唯一解。b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外的区域V内的自由电荷分布已知，V的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每个导体所带的总电量Qi 为已知，则区域V内的电场有唯一解。数学表示为:(在V 内)(已知)(待定)（待定）或满足以上定解问题的

7、电场分布就是唯一解。为了证明类型( ) ，我们把导体上电量已知的条件用电势的法向导数来表示,即上式中，约定每个导体表面的法向单位矢量 指向导体外部。或(说明:导体电势并未给定, 和可以不为零)令V的边界面为S， S包括V的外表面S 和所有导体的表面Si证明设区域V中有两个解和同时满足以上方程和定解条件令 = - 式中 同样利用矢量的微分运算公式:等式两端对V 作体积分考虑上式左端按约定,在S 面上, 为S 面上指向介质外部的单位法向量, 在Si 面上, 为Si 面上指向介质外的单位法向量(注意在这里 恰恰是指向导体内部）式中右端第一项即 , - =常数, 和 顶多差一常数，说明V中电场有唯一解

8、。这样，有导体存在时静电问题的唯一性定理也得到证明。尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程的具体方法与步骤,但它对于解决实际的边值问题有着重要的意义. 首先,它明确了在哪些条件下可以唯一地确定一个静电场,即给出了求解静电场的依据;其次,它使我们可以灵活地选用最简单、最合适的解题方法,甚至可以猜一个解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中的场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就可以肯定地说,它就是该问题中的唯一正确的解.例题1，两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为1，右半部电容率为 2，设内球壳半径为a，带总电荷Q，外球壳接地，半径为b。求电场和球壳上的电荷分布。baS

9、1S2例题1，两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为1，右半部电容率为 2，设内球壳半径为a，带总电荷Q，外球壳接地，半径为b。求电场和球壳上的电荷分布。baS1S2解:设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为 和如果我们假设E仍保持球对称性，即此时边值关系得到满足。由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系baS1S2内导体球面S1上的积分将电场值代入得解出则此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解baS1S2 注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但E却保持球对称性。则则球面上的自由电荷面密度为 虽然

10、E仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷面密度不具有球对称性。为什么E仍保持球对称性？第2题 半径为a的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电荷Q，求壳内场强。QQ/解：点电荷Q放在球心处，壳接地， 除去坐标原点外， 腔内因而腔内场唯一确定。点电荷在空间产生的电势为 它不满足的条件，它在边界上为 要使边界上任何一点电势为0，只要使 所以可设 它满足根据唯一性定理，它是腔内的解，可见腔内场与腔外无关，只与Q有关。这就是屏蔽作用。第3题 带Q的半径为a的导体球放在均匀无限大介质中，求空间电势分布。Oa导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。假定电场也具有球对称性，则电势坐标 无关因为电荷分布在有限区

11、，外边界条件导体表面上电荷Q已知，场唯一确定。设 满足，在导体边界上。可以求出（利用）例题4：两种均匀介质（1,2）充满空间，一半径a的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布及电荷分布。外边界为无穷远，电荷分布在有限远导体上Q给定，所以球外场唯一确定对称性分析：若，则（回到上例结果）。若 ，从直观看似乎不再具有球对称性，而是具有轴对称。必然与重合，所以介质分界面上，而在介质分界面上：所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在介质分界面上，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。但是实际情况并非如此。由于无论在介质1还是介质2，导体外表面电场均与表面垂直，因此在P点从这里可以看出，电荷在整个球面上是不均匀分布的。这种非均匀分布造成场的均匀分布。总结本节课的内容1、绝缘介质静电问题的唯一性定理数学表述如下:(在每个小区Vi)(在整个区域V 的边界面S上给定,按约定,边界面法线 指向V 外)(在两种绝缘介质的分界面上)分界面法向单位矢量 由 指向