第一章线弹性断裂力学

1、第一章线弹性断裂力学线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以耙物体视为 带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动 力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表而所消耗的能量，如 Griffith理论：一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场 强度达到材料的临界值，如Irwin理论。（李濒） 1.1线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论包括：Griffith理论，即能量释放率理论；Irwin 理论，即应力强度因子理论。一、Griffith 理论1913年，Inglis研究了无限大

2、板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得 到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶 瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0,得到Griffith裂纹。Griffith研究了如图1-1所示厚度为B的薄平板。上、下端受到均匀拉应 力b作用，将板拉长后，固定两端。山Inglis解得到山于裂纹存在而释放的弹性 应变能为Iu =兀Cb平面应变EU =丄平面应力E其中：“为泊松比。另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为其中：了为单位面积上的表面能。如果应变能释放率哎，等于形成新表面所需要吸收的能量率空，则裂纹 TO

3、C o 1-5 h z dAdA达到临界状态；如果应变能释放率哎小于吸收的能量率空，则裂纹稳定；如 dAcLA果应变能释放率*大于吸收的能量率，则裂纹不稳定。因此可以得到如下 dAdA表达式d -dxd 一cud 一CL4(U S) = 0(U-S)vO临界状态裂纹稳定裂纹不稳定能量关系为（W-t/） = S（其中W为外力功）dAdA板中初始的应变能久=*左”=需”，形成裂纹后系统的总能量 c = u-u+u2.以平面应力为例:2EEda+ 4/ = 0-rzH 2E/ p d U2兀b n可得q.=，又一=0兀bdcrE当叫=辽时，系统有极大内能。当 b,时裂纹失稳扩展. rca对于平面应变

4、二2Ey龙（1 一，）aGriffith 判据:当外加应力。超过临界应力6时;（2）当裂纹尺寸a超过临界裂纹尺寸时;则脆性物体断裂（适用于理想的脆性材料）.二、Orowan与Irwin对grifflth理论的解释与发展Orowan在1948年指出:金属材料考虑塑性变形，”厂塑性变形功.2E 看/r(l-v2)a 严(小訂V g平面应变平面应力2E(y + Up)(l-v2)cr22E(y + Up)7ra2平而应变平而应力Irwin在1948年引入解记号GG = l (VV-t/)2 da其中W为外力功,/为裂纹存在释放出的应变能,G为裂纹能量释放率（裂纹 扩展能力）.判据（G准则）：G =

5、GC其中：G（.是临界值，山试验确定.Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏一破坏前裂纹尖端附近有相当范 围的塑性变形。该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志。三、应力强度因子理论Ii-win判据提出后的最初十年未取得显著的成果，主要原因是G计算不方便. 而在Irwin之前，发现裂纹尖端的奇异性（如图12），即：基于这种性质，1957年Irwin提出的解的物理量一应力强度因子K,即:K = lim 丁2加0.（八0）K是仅与裂纹顶端局部相关联的量,确定比G容易.1960年Irwin用石墨做实验，测定开始裂纹扩展时的K t K,. 断裂判据（K准则）：K = K（.总结:1920年Griff

6、ith理论提出,1960年线弹性断裂力学最终建立. 1. 2裂纹的类型裂纹尖端附近的应力场和位移值一、裂纹的类型1按裂纹的几何类型分类:穿透裂纹:裂纹沿构件整个疗度贯穿.表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹，可简化为半椭圆裂纹.深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭圆裂纹.2按裂纹的受力和断裂特征分类：张开型（I型）：拉应力垂直于裂纹扩展面,裂纹上、下表面沿作用力的方向张 开,裂纹沿着裂纹面向前扩展，是最常见的一种裂纹.滑开型（II型）：裂纹扩展受切应力控制，切应力平行作用于裂纹面而且垂直 于裂纹线，裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.撕开型裂纹（ni型）：在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方

7、向平行的剪应力作用 下，裂纹沿裂纹面撕开扩展.!纹尖端附近的应力场位移场L I型裂纹问题的描述：无限大板，有一长为加的穿透裂纹，在无限远处受双向拉应力 o的作用，确定裂纹尖端附近的应力场和位移场.Irwin应用Westergaurd的方法进行分析.（l）Westergaurd 应力函数弹性力学平面问题的求解，归结为要求求一个应力函数该函数边界条件及 双调和方程.这类问题的应力,应变和位移.1939年Westergaurd应力函数0= ReZ +yImZ其中：Z为解析函数.乙乞为一次积分和二次积分.首先证明：0为应力函数.即V=o满足双调和方程.dx2 dy2 dx2 dy2因为:V = V2

8、ReZ+ V2(y Im乙)解析函数的性质：(1)解析函数的导数和积分仍为解析函数(2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程、=q2_= V2 ReZ, =0 = V2(p = V2(ylmZ.) = (yImZ.) + (ylmZ) dyy遊+2(丘呢+血沁) dx2 dy dy勿 dx1 6 ay2 6柯西黎曼条件 解析函数性质:dRcZ T “d Im Z= _ImZ =_dydx8ImZ6= ReZ =ReZdx6ImZdy= 2ReZ/.V2Vv = V2(2ReZI) = 0即函数0是平面问题的应力函数.则应力分量：6 內2 dy1 * V Im 乙)d zoReZi T =8ImZ

9、、=(+ImZ| +y)dy dydya-=一 (-Im Z. + Im Z + y Re Z)ReZ,=Re Z. + y6=ReZ, -y ImZ,即 crA = ReZ, - y Im Z；b. = 0（平面应力）b、= ReZ, + y Im Z/7, =v(crt+crv) = 2vReZl(平面应变)WReZ；物理方程：人=卡（平面应力）GJ =-(l-V2)Tr-V(l + V)CTv 、. = ； (1 一 V2 )CTv-V(l + V)Tj E人=二（平面应变）G儿何方程：dudu得:平面应力u =丄(li)ReZ -(l + v)y ImZJ1 _v = 2ImZ| -(

10、l + “)y ReZ E平面应变U1 4-Vf =(l_2i/)ReZ_(l+”)yRcZE1 4-VV- 2(l-v)ImZI-yReZlE（2）求解双向拉伸I型裂纹 边界条件：a: y = 0 |x| RcZ【=0 乂 y = 0, yjx2-a2b严和=0b：熬冇軽话s即咕ReZ-ylmZ，I卄同理：6.=RcZ + yImZ召=_yRcZCT. = 0（平面应力）（平面应变）6 = v(crv + cr.) = 2v ReZ将应力分量代入物理方程.S = y(；+vj (I -优)Re Z - (1 + i/)ylm ZV = V（平面应力）1-v（平面应变）“一辛 ReZ（平面应力

11、）& = 0U =（平面应变）对儿何方程积分（y： = 0平面应力采用新的坐标系x.o.yi=Z（歹）=令股朋）=股需証）=ZH卓丄竺-简兰2厉丸 22=Re Z y Im Z/ =icosd-sinsin 丽 2V 22层=磐十顾-应力强度因子朋（1 + si起启）41 2 2 2甘亠心冬灌cos兰p /27222空=（碍+ bj平面应变=H p-(2Zr -1) cos - - cos 4gN2兀22一鬆屢QEsinJi 碍w = 0平面应变w = -f纟 + crjd乙 平面应力3-4/k=ReZnrn =ReZII-，ImZII采用新坐标Zn(餌忸/(沪艸層n(K旷鵲应ZM沪聽应普霜厉

12、用z/z球n型裂尖附近的应力场和位移场若以极坐标表示复变量g = re10 =厂(cos& +，sin&) TOC o 1-5 h z 7心、一心&0Zjj () y-(cos /sin )2 2込心 1 心 1 ,3& . . 3&、2伍学22厉严 22则：裂纹尖端应力场和位移场为,=_sin(2+coscos)J 77222任C朋（1 si起in艺）厂厉7222rK=rVZ=0b广“ (0； + by)平面应变6=0平面应力鼠幻（2sin非碍(2a 2) COS F cos 2 2Kv =4Gvv = 0平面应变平面应力E J3.撕开型on型）问题描述:无限大板，中心裂纹（穿透）2-无限远

13、处受与z方向平行的厂作用, 其位移 w = w(x, y).u = v = 0.反平而（纵向剪切）问题：非零位移为一个，_（圮刃此量与应力分量均与Z无 关.0 0O O0 00 根据儿何方程和物理方程:单元体的平衡方程：竺+ 竺 =0 n V2vr = 0位移函数满足laplace方程. dx dy所以W为调和函数.解析函数性质：任意解析函数的实部和虚部都是解析的.1 _= （血刃= ImZ（z）=r =GgH；=aiinZ,dx dx= ImZii_G亦 _6Im乙dy dy= ReZm边界条件:选取函数Zh（z） = .J才一/满足边界条件.取新坐时亲釜 令心计忸川=T阪 1. 3应力强度因子与能量释放率G的关系能量释放率G:裂纹扩展单位面积所需能量.G = （W-U）da板厚为B = , W为外力功，裂纹存在释放出的应变能.Irwin将d（yV