多因子变异数分析课件

1、第14章 多因子變異數分析前言在心理治療例子裡，如果這些治療都在白天進行，實驗結論未必能類推到晚上。此時可採二因子實驗設計：（1）治療方法，（2）治療時間。治療方法分為3種，治療時間分為2種，因此為32的實驗設計。後隨機將受試者分派至這六種情境裡。第一節 結構模式（1）令細格內的數值為依變項Yijk，其中i代表編號，j代表治療時間，k代表治療方法。例如Y321代表接受晚上/行為改變法治療，編號為3的數值。 表示白天/行為改變細格的平均數， 表示白天/認知細格的平均數。 和 分別代表白天和晚上的平均數。 、 、 分別代表行為改變、認知改變、安慰丸法的平均數。 代表總平均數。 第一節 結構模式（2

2、）造成Yijk會有變異的原因：一為實驗處理，另一為個別誤差。實驗處理的效果區分為三部份：（1）時間的主要效果，（2）治療方法的效果，以及（3）時間和治療方法產生的交互作用。時間的效果可以從白天的平均數和晚上的平均數差異得知。治療方法的效果也可以從行為改變的平均數、認知改變的平均數、安慰丸的平均數是否有顯著差異得知。交互作用效果是實驗的總效果減去時間的效果和治療方法的效果後，剩下就是交互作用。第一節 結構模式（3）如果將表1中的6個組視為某個因子的6個類別（就叫這個因子時/法），此時兩因子的實驗設計就變為單因子的實驗設計。時/法因子的實驗效果可從6組平均數是否有差異得知。如果6組的平均數差異不顯

3、著，就表示時/法的實驗處理效果等於0。這個時/法的實驗處理效果就是上述的總效果。 第一節 結構模式（4）Yijk = mjk +eijk 由於mjk = m + (mj. - m) + (m.k - m) + (mjk - mj. - m.k + m) mj. - m反映出第1個因子（時間）的效果m.k - m反映出第2個因子（治療方法）的效果mjk - mj. - m.k + m反映出這兩個因子交互作用。第一節 結構模式（5）令aj =mj - mbk =mk - mabjk =mjk - mj - mk + m 則Yijk = m + aj + bk + abjk +eijk由於aj ，b

4、k，abjk均為離均差，因此第一節 結構模式（6）模式假設：eijk是常態分佈，平均數為0，變異數為s2。誤差之間是獨立的。如果所有的aj等於0，則第一個因子的各個組平均數都相等。因此aj反映第一個因子主要效果。如果所有的bk等於0，則第二個因子各組平均數都相等。所以bk反映出第二個因子主要效果。 第一節 結構模式（7）在abjk方面，如果當j=1，m1k - m1. - m.k + m = 0，則m1k - m1. = m.k - m。同樣的，當j=2，m2k - m2. - m.k + m = 0。甚者對所有的j而言，都是如此。這表示第二個因子中K組平均數間差異和第一個因子沒有關連，也就是

5、沒有交互作用效果。反之，如果K組間平均數的差異，隨著j不同而不同，就表示這兩個因子有交互作用。 第一節 結構模式（8）例子1如果心理治療的6個細格的母體平均數如表2，求各個a，b，和ab。並說明公式（14.7）和（14.8）成立。 第一節 結構模式（9）a1 =m1 - m = 50 54.5 = -4.5，a2 =m2 - m = 59 54.5 = 4.5。因此a1 + a2 = 0。b1 =m1 - m = 41.5 54.5 = -13，b2 =m2 - m = 45 54.5 = -9.5，b3 =m3 - m = 77 54.5 = 22.5，因此b1 + b2 + b3 = 0。

6、第一節 結構模式（10）不是所有a都等於0，時間有主要效果。不是所有b都等於0，治療方法有主要效果。不是所有abjk都等於0，時間和治療方法有交互作用。 第一節 結構模式（11）第一對用以檢定第一個因子的主要效果： : a1 = = aJ = 0 : 至少有一個aj不等於0。第二對用以檢定第二個因子的主要效果： : b1 = = bK = 0 : 至少有一個bk不等於0。第三對用以檢定這兩個因子間的交互作用效果： : ab11 = = abJK = 0 : 至少有一個abjk不等於0。第二節 平方和的分割（1）SST = SSb + SSw(14.9)SSb = SSA + SSB + SSA

7、B (14.10)公式（14.9）和（14.10）成立的必要條件就是細格的樣本數n都相等。 第二節 平方和的分割（2）第二節 平方和的分割（3）第二節 平方和的分割（4）當A因子主要效果為0的虛無假設成立，則 ，E(MSA) = s2，且會服從F分佈，分子自由度為J 1，分母自由度為JK(n 1)。如果計算的F值超過a顯著水準的臨界值，則拒絕虛無假設，即A因子有主要效果。 第二節 平方和的分割（5）當B因子主要效果為0的虛無假設成立，則 ，E(MSB) = s2，且會服從F分佈，分子自由度為K 1，分母自由度為JK(n 1)。如果計算的F值超過a顯著水準的臨界值，則拒絕虛無假設，即B因子有主要

8、效果。 第二節 平方和的分割（6）當A和B因子交互作用為0的虛無假設成立，則 ，E(MSAB) = s2，且會服從F分佈，分子自由度為(J 1)(K1)，分母自由度為JK(n 1)。如果計算的F值超過a顯著水準的臨界值，則拒絕虛無假設，即A和B因子有交互作用。 第二節 平方和的分割（7）例子2在三種心理治療法對降低憂鬱症的效果方面，經過為期四週的實驗處理後，得到如表5的結果，數字越大表示憂鬱症狀越強。這三種方法的效果是否有異？白天和晚上的效果是否有異？治療方法和時間是否有交互作用效果？ 第二節 平方和的分割（8）作法1.就時間而言，白天的平均數為50，晚上為59。就樣本數各為15人的情況下，差

9、距只有9分，也許不會達顯著水準。2. 就治療方法而言，這三種方法的平均數分別為41.5，45，77。認知改變法與行為改變法的差距很小，可能未達顯著水準。安慰丸法與其他兩種方法的差距非常大，有可能達顯著水準。 第二節 平方和的分割（9）就交互作用而言 第二節 平方和的分割（10）對行為改變法和安慰丸法而言，白天和晚上的效果沒有兩樣。但對認知改變法，白天的效果比晚上來得好。治療方法和時間可能有交互作用。大致可以發現治療方法會有差異，時間也許沒有顯著差異，可能會有交互作用。第二節 平方和的分割（11）第二節 平方和的分割（12）有交互作用未必是件可喜的事。如果從理論上認知治療法應該比行為改變法好，白

10、天是如此，為何到了晚上時卻相反。這有可能是晚上的認知治療法已經產生質變。果真如此，對認知治療法的操弄已經失敗。如果能繼續探究交互作用的原因，也許可以改進實驗操弄，甚至發明更為有效的認知治療法。 第三節 因子效果的分析（1）在分析兩因子的效果時，要考慮是否有交互作用，而採不同的分析方法。1. 如果沒有交互作用，則針對有顯著主要效果的因子，估計或檢定該因子中各組的平均數。2. 如果有交互作用，針對各個細格平均數進行估計或檢定。 第三節 因子效果的分析（2）沒有交互作用 A因子各組平均數的估計：B因子各組平均數的估計：用MSw取代s2，因此可透過自由度為JK(n-1)的t分佈進行區間估計與假設檢定。

11、JK(n-1) 就是MSw的自由度。 第三節 因子效果的分析（3）A因子中第j個組的平均數：是自由度為JK(n-1)的t分佈。mj.的（1-a）100%信賴區間是 第三節 因子效果的分析（4）B因子中第k個組的平均數：是自由度為JK(n-1)的t分佈。m.k的（1-a）100%信賴區間是 第三節 因子效果的分析（5）就某一個因子中多組平均數的對比而言，可透過對比進行區間估計和假設檢定。就A因子的對比而言，令 L的不偏估計式為此估計式的變異數為 第三節 因子效果的分析（6）s2可用MSw代替之，即 是自由度為JK(n-1)的t分佈。L的（1-a）100%信賴區間是第三節 因子效果的分析（7）如果

12、有多個比較要進行，要考慮家族第一型錯誤機會。如果在進行實驗研究之前，就決定對某些比較進行區間估計或假設檢定，就可利用Bonferroni或Holm的作法。如果是事後比較，且是兩兩平均數的差異，則可利用Tukey的作法。如果是對所有可能的對比進行區間估計或假設檢定，就用Scheff方法。 第三節 因子效果的分析（8）就Tukey而言，對A因子第j 組和第j組平均數差異mj. - mj. 的家族（1-a）100%信賴區間是如果從樣本求得的超出q分佈的臨界值，就拒絕虛無假設。 第三節 因子效果的分析（9）以Scheff方法而言，對A因子的各組平均數的所有對比進行估計或檢定，且家族第一型錯誤機會維持在

13、a，則L的（1-a）100%信賴區間是 ，其中若L = 0的虛無假設為真的情況下，會是F分佈。如果從樣本求得的F值超過臨界值，就拒絕虛無假設。第三節 因子效果的分析（9）例子3以例子2的資料而言，假設交互作用不顯著，對治療方法的各組平均數進行兩兩母體平均數差異為0的假設檢定，顯著水準訂為0.05。分別以Bonferroni、Tukey、Scheff進行之。作法利用公式（11.36）得行為與認知的差異為T1，行為與安慰丸的差異為T2，認知與安慰丸的差異為T3： 第三節 因子效果的分析（10）當使用Bonferroni，將T1、T2、T3和2.57比，結果發現T1無法拒絕虛無假設，其餘兩個可以。

14、第三節 因子效果的分析（11）利用Tukey進行檢定：查附表A，q(0.95, 3, 24) = 3.53，Q2和Q3則超過臨界值，可以拒絕虛無假設。 第三節 因子效果的分析（12）利用Scheff檢定： 自由度為2和24的F分佈的0.05臨界值F0.05/2 = 3.40。 F2和F3超過，可以拒絕虛無假設。 第三節 因子效果的分析（13）本例中Q = T ，若要比較三者的統計檢定力，必須將Tukey的臨界值3.53/ 2.50。Scheff的臨界值為 。由於Tukey的臨界值2.50小於Bonferroni的臨界值2.57，又小於Scheff的臨界值2.61，因此本例中Tukey檢定最為有

15、效，其次Bonferroni，再其次為Scheff。第三節 因子效果的分析（14）有交互作用 如果發現交互作用達到顯著差異，接著要問：這個顯著差異是否因為量尺的特性造成？如果將量尺加以改變，例如開跟號、對數轉換，倒數轉換等，就會使得交互作用消失，就代表交互作用並無意義。此時就可視為無交互作用。 第三節 因子效果的分析（15）如果經過轉換之後，仍然存在交互作用，接下來就要問：這個交互作用有實際價值嗎？ 經過這兩個問題之後，仍然有交互作用，就可以針對某些細格平均數進行差異的區間估計或假設檢定。第三節 因子效果的分析（16）若要針對所有細格平均數進行兩兩比較，可用Tukey方法。第jk 組和第jk組

16、平均數差異mjk - mjk的家族（1-a）100%信賴區間是 ，其中如果樣本中求得的超出q分佈的臨界值，就拒絕虛無假設。 第三節 因子效果的分析（17）例子4假設例子2中的交互作用是重要的，以Tukey方法兩兩檢定這6個細格母體平均數的差異是否等於0。作法查附表A，q(0.95, 6, 24) = 4.37。計算之Q超過4.37時，才能拒絕虛無假設。 即 第三節 因子效果的分析（18）因此 。當兩組的樣本平均數的差異超過26.80時，才拒絕虛無假設。第四節 無重複試驗（1）若每個細格只有一個樣本，MSw為0，就不能當作F檢定的分母。為了要解決這個問題，就要再找一個均方來當作分母。交互作用是最

17、佳的選擇。如果可以宣稱兩個因子不會有交互作用，表4中交互作用的期望值就是s2，因此就可當作F檢定的分母。 第四節 無重複試驗（2）結構模式Yjk = m + aj + bk + ejk， 其中平方和的分割SST = SSA + SSB + SSe ， 其中第四節 無重複試驗（3）例子5有位便利商店的行銷主管，想瞭解貨品陳架的高度和位置兩個因子對銷售量的影響。第四節 無重複試驗（4）高度的p值小於0.05，故拒絕虛無假設。應有理論支持位置和高度不會產生交互作用，否則不宜貿然使用這種無重複試驗的設計方式。 第四節 無重複試驗（5）一因子重複測量實驗設計 在實驗設計裡，有的時候，為了節省受試者，所以

18、讓每個受試者重複經歷每一個實驗處理，即重複測量（repeated measure）。假設有三種料理，中國、日本、和法國料理。找來10位評審，每位評審均先後品嚐了這三種料理，並評定分數。這是一個典型的單因子重複測量的實驗設計。數字越大表示越受喜愛。 第四節 無重複試驗（6）上表可視為有兩個因子：評審和料理。評審有10個水準，屬於受試者間（between-subject）的設計，因為每個評審只能出現一次。料理有3個水準，屬於受試者內（within-subject）的設計，因為每個受試者（評審）均歷經3種料理。上表每個細格內的資料點也只有1個。因此屬於單因子重複測量的實驗設計，但可當作二因子變異數分析：無重複試驗來進行分析。 第四節 無重複試驗（7）料理的p值小於0.05，可以拒絕虛無假設，即三種料理受歡迎的程度也不同。在此不能對受試者間的因子（評審）進行F檢定，因為誤差項的均方不能當作它的分母。 第五節 多因子設計（1）二因子變異數分析可以類推至更多因子的變異數分析。以三因子的設計而言，以心理治療為例，除了治療時間、治療方法兩個因子外，可以再有第三個因子