金融工程学课件：10-3-2 期权black-schols定价模型

1、10.4.2 布莱克-舒尔斯期权定价模型 一、证券价格的变化过程 （一）弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续

2、型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。 如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。（二）布朗运动 1.标准布朗运动设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在时间 内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：特征1： 和 的关系满足（10.1）： （10.1）其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 的值相互独立。 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得： (10.2)式均值为0，方差为 （ 是相互独立的 ）当 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： （10.3

3、） （10.2）2.普通布朗运动 我们先引入两个概念：漂移率和方差率。标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动： （10.4）其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 (三)伊藤过程普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式(10.4)得到伊藤过程（Ito Process）： (10.5）其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。 (四)证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为S、方差率为

4、的伊藤过程来表示：两边同除以S得：（10.6）从（10.6）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：可见， 也具有正态分布特征 (10.7)例6.1设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周(0.0192年)后该股票价格变化值的概率分布。 S服从均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样。(五)伊藤引理 若变量x遵循伊藤过程，则变量x和 t 的函数G ，则G将遵循如下过程： 根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如下过程： 具体到股票价格（10.8）（10.9）(10.10)(六)证券价格自然

5、对数变化过程 令 ，由于代入式（10.10）: （10.11）上式说明证券价格对数 f 遵循普通布朗运动。由式：可知例10.2设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。例10.3请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等于多少？ 二、布莱克舒尔斯微分方程 （一）布莱克舒尔斯微分方程的推导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：考虑短时间内，则有： （10.12） 假设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则由依藤引理： （10.13） 为了消除 ，我们

6、可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值， 则： (10.15) （10.14）在 时间后： （10.16）将式（10.12）和（10.14）代入式（10.16），可得： （10.17）在没有套利机会的条件下：把式（10.15）和（10.17）代入上式得： 布莱克舒尔斯微分分程化简为： (10.18) 这就是著名的布莱克舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。 （二）风险中性定价原理 我们知道，厌恶风险程度越高，则预期收益率越高。但在B-S模型中并没有涉及到。所以可以断言衍生产品定价与投资者的风险偏好无关。这就引出所

7、谓风险中性假设。即：在风险中性世界里，投资者承担风险不需要额外补偿。所有证券的预期收益都是无风险利率。那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。 根据B-S方程不含的特点，简化B-S方程求解，而作出风险中性假设，获得了方程解。这个解与预期收益率无关，即与投资者风险偏好无关。所以这个解对任何风险世界都是适用的。不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。当我们从风险中性世界走入风险厌恶世界时会发生两件事情：股票价格的期望收益率改变了；在衍生证券任何损益中所使用的贴现率也变了。然而这两件事情的效果总和正好相互抵消。例：假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知

8、道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 为了找出该期权的价值， 可构建一个组合 一单位看涨期权空头 N单位的标的股票多头为了使该组合在期权到期时无风险，即无论3个月后股票是上涨还是下跌，其组合价值都相同。N必须满足下式： 11 N （1110.5）=9 N 0N=0.25即该组合无套利的均衡价值为2.25(90.25)该无风险组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此： 期权定价为： 这就是说，该看涨期权的价值应为0.

9、31元，否则就会存在无风险套利机会。 从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。 事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10，则股票上升的概率P可以通过下式来求： 又如，现实世界中股票的预期收益率为15，则股票的上升概率可以通过下式来求： P = 69.11 可见： 投资者厌恶风险程度 股票预期收益率 股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。（三）布莱克舒尔斯期权定价

10、公式在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：其现值为 （10.19）对数股票价格的分布为： （10.20）对式（10.19）求解： （10.21）其中，我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义：N(d2)是在风险中性世界中ST大于E的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率， e-r(T-t)EN(d2)是 E 的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是 ST 的风险中性期望值的现值。其次， 是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)EN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。 最后，从金融工程的角度来看，欧

11、式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-nothing call option）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T-t)EN(d2)是E份现金或无价值看涨期权空头的价值。在标的资产无收益情况下，由于C（欧式）=c（美式），因此式（10.21）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ： （10.22）由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数

12、值方法以及解析近似方法求出。（四）有收益资产的期权定价公式 1.有收益资产欧式期权的定价公式当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（SI）代替式（10.21）和（10.22）中的 S 即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将 代替式（10.21）和（10.22）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。 对于欧式期货期权，其定价公式为： （10.23） （10.24）其中：例6.4假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，

13、英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。 3.05美分 。2.有收益资产美式期权的定价 (1)美式看涨期权 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，我们可用一种近似处理的方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在t 提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和 t 时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。例6.5 假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50

14、元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。近似为7.2824元 (2)美式看跌期权 由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。 三、BlackScholes定价公式中各种变量对期权价格的影响 在布莱克-斯科尔斯定价公式中，影响期权价格的因素的包括：股票价格S、执行价格E、无风险利率r、股票价格波动的方差 和到期日 T 。用函数形式表示就是： 在下面的叙述中假设公式是连续可微的，因而每一种因素对C的影响都可以通过求偏导数

15、的方式得出， （1）股票价格对欧式看涨期权价格的影响 这种影响被称为 （小写为 ），即： 由于N（d1）是一个概率函数，所以 。这也就是说，当 S 增加或减少 1 个单位时，期权价格增加或减少的绝对量不超过 1。 这个概念很重要，在理论和实践中常常被用于构造证券组合。在一个无风险且无套利的证券组合中，常常被称作是 “ 套期保值率 ”。 我们转而讨论一下关于 问题 例如构造如下一个证券组合，该组合包括一个价格为 C 的欧式看涨期权多头和 h 股价格为 S 的股票空头。因此，该组合的现期价值为则 dV = dC - hdS依前分析有： 其中 z 是随机变量；由依藤引理可知：把 dS 和 dC 的值

16、代入 dV，整理后得： 为使证券组合V 能取得一个无风险收益，即 dV=0从而可以得到最佳的套期保值率： 显而易见，影响 的一个最大变量是股票价格。我们把股票价格 S 对的影响称为，即 由上式可知：如果的值越大，说明对股票价格的变化越敏感， 中性的位置也就越难以维持；反之亦然。 （2）执行价格的影响 通过求解，执行价格对欧式看涨期权的影响为：由于N（d2）0，所以： 它说明：执行价格越大，欧式看涨期权的价格越低；执行价格越小，欧式看涨期权的价格越高。（3）无风险利率的影响 在布莱克-斯科尔斯定价公式中，无风险利率是以连续复合利率的公式出现的，它对期权价格的影响被称作，它反映了期权价格对无风险利率变化的敏感程度。即：显然， 0。 （4）方差的影响 期权