考点05 导数及其应用-2022年高考数学（理）一轮复习考点解读（解析版）

1、考点05导数及其应用,考纲呈现.导数概念及其几何意义J解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.导数的运算(1)能根据导数定义求函数y=C(C为常数)，y=再旷=*2,旷=丁,3?=1,丫=五的导数.(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如逃以+力的复合函数)的导数.常见基本初等函数的导数公式：(cy=0(C为常数);(x)=N+；(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx；(e)=eA;(a“)=axIna(a0,且a*1)；(Inx/=-;(logux)=-logoe(a0,且ah1).XX常用的导数运算法

2、则：法则1：w(x)v(x)=wr(x)y/(x).法则2：w(xv(x)(x)v(x)+u(x)v1(x).3/(初(x)i(x)Mx)心)v2(x)3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)：会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).2.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.4.（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.了解微积

3、分基本定理的含义.,考点解读高考在逐年加大对导数问题的考查力度，问题的难度、深度与广度在不断加大，对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.考向分析.求曲线片/（X）的切线方程的类型及方法：（1）已知切点尸（xo,yo）,求产/（X）过点尸的切线方程：求出切线的斜率/（xo）,由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为我,求内（x）的切线方程：设

4、切点尸（xo,州），通过方程长广（父0）解得出,再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点（非切点），求y=/（x）的切线方程：设切点P（xo,井），利用导数求得切线斜率/（沏），再由斜率公式求得切线斜率，列方程（组）解得刈，最后由点斜式或两点式写出方程.（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由5”（xo）求出切点坐标（沏,州），最后写出切线方程.（5）在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点.因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上.2.利用导数判断或证明一个函数在给

5、定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式/（x）0（ra）o）在给定区间上恒成立.注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.3.由函数的单调性求参数的取值范围：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上_t（x）no（或广（x）oxr（x）在该区间的任意子区间内都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围：（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是广。）0（或/（x）0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;3）若已知x）在区间/上的单调性，区间/中含有参数时，可先求出

6、/（x）的单调区间，令/是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.求函数/（X）在a,句上最值：（1）若函数/（x）在团，句上单调递增或递减，/（a）与fS）一个为最大值，一个为最小值.（2）若函数/（X）在区间（“，与内有极值，先求出函数/（x）在区间（a,份上的极值，与/（a）、/3）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.（3）函数f（x）在区间（a,公上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大（或最小）值点.注意：（1）若函数中含有参数时，耍注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要

7、注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，/（x）Na恒成立，只需/（龙口瓜之。即可；恒成立，只需/（X）max4。即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.”真题回眸（2021.全国高考真题）若过点（。力）可以作曲线y=e的两条切线，则（）A.ehaB.eabC.0aefcD.0bea【答案】D【分析】解法-：根据导数几何意义求得切线方程，再构造

8、函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果：解法二：画出曲线y=e的图象，根据宜观即可判定点（。,8）在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【解析】在曲线y=上任取点对函数y=靖求导得？=6,所以，曲线y=e”在点。处的切线方程为y-e=e（x-。，即y=ex+（l-f）e,由题意可知，点(a,b)在直线y=ex+(l)d上,可得b=ad+(lT)d=(a+l-r)d,令/(，)=(a+l，)d，则/(r)=(._/)/.当，0,此时函数/)单调递增，当fa时,/,(r)=与曲线y=/(f)的图象有两个交点，则人/(“皿=6,当r0,当ra+l时，/)(),作出函数/(f)的图象如卜图所

9、示：山图可知，当obe时，直线y=与曲线y=/(f)的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线y=的图象如图所示，根据直观即可判定点(。力)在曲线下方和X轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0b0,与图象不符，排除C.42211o4,2故选：D.(2021全国高考真题(理)设。=21nl.01,6=lnl.O2,c=VlO4-1.则()A.abcB.bcaC.bacD.calnl.02=/,所以bva;下面比较c与的大小关系.记/(x)=21n(l+x)J+4x+l,则/=0/(幻=二2_2(Vl+4x-l-x)1+xJl+4x(l+x)Jl+4x由于1+4x(1+x)=2x-=x(2x

10、)所以当0r0抑Jl+4x(1+x)J(x)0.所以/(x)在0,2上单调递增,所以/(0.01)0)=0和21nl.01Ji由一1,即”c；/I/、222(Jl+4x12x)令g(x)=ln(l+2x)-/r7+l,则g(0)=0,g，(x)=f=A一).1+2尤/l+4x(l+x)Jl+4x由于1+4x(1+2x)=-4%2在x0时.1+4x(1+2x)0,所以g(x)v0,即函数g(x)在0.+8)上单调递减，所以g(0.01)vg(0)=0,即lnl.02v即反综上，bca,故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数,利用导数研

11、究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.(2021全国高考真题(理)设a/0,若x=a为函数/(x)=a(x-a)2(xb)的极大值点，则()A.ahC.aba2【答案】D【分析】结合对。进行分类讨论，画出/(x)图象，由此确定正确选项.【解析】若”=b,则f(x)=a(x为单调函数，无极值点，不符合题意，故标b.依题意，x=a为函数/(x)=a(xa)2(xb)的极大值点，当。b,f(x)W0,画出f(x)的图象如下图所示:由图可知ba,a/.当a0时，由xb时，/(x)0,画出/(x)的图象如下图所示:由图可知人a,a0，故a/?/.综上所述，出?/

12、成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.5.【2020年高考全国I卷理数】函数/。）=/-23的图像在点（1,7（I）处的切线方程为A.y=-2x1B.y2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1【答案】B【解析】./(x)=x4-2x.-./,(x)=4x3-6x2,=/(1)=-2,因此，所求切线的方程为y+l=-2（x-l）,即y=-2x+l.故选:B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.6.1202（）年高考全国IH卷理数】若直线/与曲线产4和必+产=（都相切，则/的方程为A.y=2x+lB.y

13、=2r+g TOC o 1-5 h z 1,nilC.y=x+1D.y=x+222【答案】D【解析】设置线/在曲线y=4上的切点为（/,衣），则无。0,l,1?_1函数y=的导数为y=讶=，则直线/的斜率左=入历设直线/的方程为=x-xo).即+ /=0,由于直线/与圆2+y2=!相切，则J）-=F，5V1+4xoV5两边平方并整理得5年-4毛-1=0,解得%=1,x0=-（舍）,则直线/的方程为x-2y+l=0,BPy=-x+-.22故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.(2019年高考全国III卷理数)已知曲在点(1,ae)处的切线方程为

14、产2x+，则A.a=e,b=B.a=e,b=lC.a=e-1,b=1D.a=eb=【答案】D解析】：y=aex+lnx+l,，切线的斜率=yLi=ae+1=2,q=et,将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=l力=-1.故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有小/，的等式，从而求解，属于常考题型.xlax+2a,xl.在R上恒成立，则。的取值范围为A.0,1B.0,2C.0,eD.l,e【答案】c【解析】当x=l时，/(1)=1-2。+2。=10恒成立：当x02a恒成立，x-1r2令g(x)=-则g(x)=_=.(IT)?=,(1-x)2-2(1-x)+1-

15、X1X1X=一(j+占一2卜国(一).占一2卜0,即x = 0时取等号,当1=1-X/.2ag(x)m=0,则。0.Y当xl时，/(x)=x-lnx0,即aW恒成立,Inx,x,、lnx-1令h(x)=，则h(X)=-_-T-,Inx(Inx)当xe时，(x)0,函数(x)单调递增，当0 xe时，(x)0,函数力(x)单调递减，则x=e时,h(x)取得最小值%(e)=e,4加犬焉=e,综上可知，。的取值范围是(),e.故选C.【名师点睹】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.(x,x0131,、27若函数y=x-(g+l)x+ax,x20

16、恰有3个零点，则A.a-l,ZkOB.a0C.a-l,b-l,b0【答案】C【解析】当x0时，v=f(x)-ar-b=-x3-(a+1)jr+ax-ax-b=-.v3-(n+1)x2-b,JJ3232yf=x2-(a+l)x,当a+lWO,即把7时，y0,y=f(x)-ax在0,+s)上单调递增，则y=/(x)-ar-最多有一个零点，不合题意：当+10,即时，令y0得x(a+l,+oo),此时函数单调递增，令yvo得入0,4+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=/(x)-or-力恰有3个零点=函数y=f(x)-奴-b在(-8,0)上有一个零点,在0,+oo)上有2个

17、零点，如图：且.-b0-(g+(a4-1)(q+1)2bVO解得b0,b-(a+1)6则a-l,h0.故选C.【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x0时，y=/(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-方最多有一个零点；当后0时，y=/(x)-ax-b=-(a+l)-fo,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.2r_110(2021全国高考真题(理)曲线y=在点(7,-3)处的切线方程为x+2【答案】5x-y+2=0【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.【解析】由题，当x=-l时，y=-3,故点在曲线上.2(x + 2

18、)-(2x-l)(x + 2)25(x+2)2所以 yLT=5.故切线方程为5xy+2=0.故答案为：5x-y+2=0.(2021全国高考真题)函数/(x)=|2x-l|-21nx的最小值为.【答案】1【分析】由解析式知八幻定义域为(0,+8)，讨论0 xW,、-xl.并结合导数研究的单调22性，即可求f(x)最小值.【解析】由题设知:f(x)=|2x-l|-21nx定义域为(0,+oo),二当0 x45时，/(x)=l-2x-21nx,此时/(x)单调递减：?当一xl时，/(x)=2x-l-21nx,有/(x)=2l时，/(x)=2x-l-21nx,有/*)=2-0,此时/(x)单调递增；x

19、乂/(X)在各分段的界点处连续，.综上有：0l时，/(X)单调递增；A/(x)/(l)=l故答案为：1.(2019年高考全国【卷理数)曲线y=3(/+幻廿在点(0,0)处的切线方程为.【答案】3x-y=()解析/=3(2x+l)e(+3(x2+x)ex=3(x2+3x+l)e,所以切线的斜率左=yko=3,则曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误.求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求.4(2019年高考江苏)在平面直角坐标系中，P是曲线y=x+(x0)

20、上的一个动点，则点尸到直X线x+y=()的距离的最小值是.【答案】4 TOC o 1-5 h z 4.4【解析】由y=x+(x0),得y=lt，XX44设斜率为一1的直线与曲线丁=工+。0)切于(/，须)+一)，X演)由17=-1得=/5(/=舍去)，曲线y=x+3(x0)上，点P(J5,3J5)到直线x+y=0的距离最小，最小值为怛*=4.xV12+12故答案为4.名师点睛】本题考杳曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.14.(2021.浙江高考真题)设a,h为实数，且函数/(x)=a*笈+e2(xeR)(1)求函数f

21、(x)的单调区间；(2)若对任意人2/，函数/(x)有两个不同的零点，求a的取值范围;(3)当a = e时，证明：对任意人e，函数/(x)有两个不同的零点占,刍，满足马bnb e2z- X, H2e2 1 b(注：e=2.71828是自然对数的底数)【答案】640时,在R上单调递增1函数的单调减区间为一刃，lOg，单调增区(2)(1,e2；(3)证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证

22、得题中的结论成立.【解析】(D/(x)=axbx+e2,fx)=ana-h,若6W0,则/(x)=alnabNO,所以/(x)在RI二单调递增;若b0,当xe，oo,log“白卜寸，/(x)0,/(x)单调递增.综上可得,HO时,f(x)在R上单调递增;60时，函数的单调减区间为F,log；|,单调增区间为log,；,+8.(ma)Ina)/(x)有2个不同零点优笈+e?=0有2个不同解一fox+e2=0有2个不同的解,令r=xlna,则-+e2=0=-=e+e-,t00,又Tz(2)=0,所以re(0,2)时，h(t)0,fe(2,+0,bh则g在(0,2)单调递减，(2,+oo)单调递增，

23、.；一g(2)=e2,：Anah7b2e,2,/.In1ae,XXjx2注意到函数y=-在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+oo)上单调递增，X故为2，乂由-5, TOC o 1-5 h z 7-+/2e22/b-x.+,只【切x-yIn/?h-2e2h-b TOC o 1-5 h z e*+e22eXz/b=e4上单调递增,2x2h(x2 5),2*ex所以只需证Wln+*22/22e口ex只需证1n人1n=一琮0,2只需证nx-In20，2ex TOC o 1-5 h z J4x*/5时为正,2产由于力（=4+4抚-*-4*=4+46-*。-1）0,故函数（x）单调递增,又(5)=l

24、n5-驾一In2=ln2-与0,故力(x)=Inx-一In2在x5时为正,e2eex从而题中的不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中而要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（I）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.（2021全国高考真题（理）已知。0旦awl,函数f（x）=（x0）.ax（1）当a=2时，求

25、/（x）的单调区间；（2）若曲线y=/（x）与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.【答案】（I）I0,上单调递增：,+上单调递减；（2）（l,e）5e，+）.Vm2JLln2J【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负，函数的单调性的关系即可得到函数的单调性;（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线y=/（x）3宜线y=l行且仅有两个交点等价转化为方程叱=皿有两个不同的实数根，即曲线y=g(x)与直线丁=二仃两个交点，利用导函数研究g(x)的xaIna单调性，并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而得到0则L发现这正好是ae0g(a)g(e)，然后根据g(x)的

26、图象和单调性得到。的取值范围.【解析】(1)当a = 2时，x) = F，r(x) =222,转仙 2 _ 22*(2 - xln2) TOC o 1-5 h z ,、99,、o令/(x)=o得=京，当ox0,当7万时，y,(x)o.函数/(x)在0,专上单调递增;/c、r(xa.xa.iInxIna、几立羽(Ex(-)f(xj=1cixxIn6?=6/Inx=，设内数g(工)=,axxax贝Ijgx)=.令gO,g(x)单调递增；在(e,+8)kg(x)O,g(x)单调递减；，g(x)M=g(e)=7又g(l)=O,当x趋近于+8时，g(x)趋近于0,所以曲线y=x)与也线y=l有且仅有两个

27、交点，即曲线y=g(x)与直线旷=二仃两个交点的充分必Ina要条件是。生土*,这即是。g,)vg(e),ae所以的取值范围是(l,e)u(G”).【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.(2021.全国高考真题(理)设函数“x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=?(x)的极值点.(1)求出X+f(x)(2)设函数g(无)=,-.证明:g(x)l.xf(x)【答窠】1；证明见详解【分析】(1)由题意求出y,由极值点处导数为o即可

28、求解出参数。；x+in(lx).,、(2)由(1)得g(x)=-xxln(l-x)在xe(O,l)和xe(-oo,0)上恒成立,结合导数和换元法即可求解【解析】(1)由/(x)=ln(a-x)=/(%)=,y=xf(x)=y=ln(a-x)+x-a又x=0是函数y=4(x)的极值点，所以y(0)=lna=0,解得a=l；/、x+f(x)x+ln(lx)由得/(力=皿1),)=-=xln(1_x).X1且0,/、x-Fln(l-x)/、，、当xe(),l)时，要证g(A：)=7；0,ln(l-x)0,/.xln(l-x)xln(l-x),化筒得x+(l_x)ln(l_x)0；/、x+ln(lx)

29、/、，、同理，当X(YO,0)时，要证g(x)=-7-1,vx0,Axln(l-x)xln(l-x),化简得x+(l-x)ln(l-x)0；令(x)=x+(l-x)ln(l-x),再令r=l-x,则faoQU。,”)，x=-t,令g=1一f+nf,(z)=-14-Inr4-1=Inr,当fe(0,l)时，g(x)g=。；当f(l,+oo)时,g(x)0,g(x)单增,假设g(l)能取到,则g(l)=o,故g(f)g(l)=0；综上所述，g(x)=?：力；1,求a的取值范围.【解析】/(幻的定义域为(0,”)，r(x)=ae-.X(1)当a=e时，/(x)=e*-lnx+l,/，(l)=e-i,

30、曲线y=/(X)在点(!,/(1)处的切线方程为y-(e+1)=(e-l)(x-1),即y=(e-l)x+2.直线y=(e-l)x+2在x轴，y轴上的截距分别为二之，2.e-12因此所求二角形的面积为三.e-1当0al时，/(l)=a+lnal.当a=l时，f(x)=ex-1-Inx,fx)=e,x当xe(0,l)时,fx)0.所以当x=l时，/(X)取得最小值，最小值为八1)=1,从而/(x)21.当a1时，f(x)=aex-Inx+Inaex-1-Inx1.综匕”的取值范围是U,e).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思

31、想，属较难试题.【2020年高考全国【卷理数】已知函数/(x)=e*+以2-X.(1)当a=l时，讨论了(X)的单调性；(2)当应0时，f(x)yx3+l,求a的取值范围.【解析】(1)当。=1时,f(x)=er+x2-x,则/(x)=e+2xI.故当(yo,0)时，fx)0.所以/(x)在(yo,0)单调递减，在(0,+00)单调递增.(2)/(x)之,/+1等价于货一如2+工+1把-*0),则13g，(x)=一(一工3-ax2+x+l-x2+2or-l)e-x-a(x-(2tz+3)x+4+2eA=x(x2一l)(x-2)e.2(i)若2a+lW0,即a4-g,则当xG(0,2)时，g(x

32、)0.所以g(x)在(0,2)单调递增，而g(0)=1,故当(0,2)时，g(x)1,不合题意.(ii)若02a+l2,即一gva1,则当其(),加+1)U(2,+00)时，g(x)0.所以g(外在(0,24+1),(2,+oo)单调递减，在(2+1,2)单调递增.由于g(0)=l,所以g(x)Wl当且仅当7-e2 TOC o 1-5 h z (2)=(7-4tz)e-2l,即.4,7-e21所以当一时，g(x),则g(x)0(5x，+x+l)e.7_p211由于0ej-二)，故由(ii)可得WV+x+De-kl.故当a2；时，g(x)Ml.综上，a的取值范围是2C,”).4【点睛】导数是研究

33、函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.【2020年高考全国II卷理数】已知函数/(x)=sin2xsin2x.(1)讨论凡r)在区间(0,兀)的单调性；(2)证明：|/(幻|4手;邛(3)设gN*,证明：sin2xsin22xsin24x.sin22nx0；当一仔争时,/VXO.所以/(%)在区间(0争年兀)单调递

34、增，在区间年争单调递减.(2)因为八0)=/(兀)=0,由(1)知，f(x)在区间0,河的最大值为2)=主叵，最小值为7(空)=-更.而/(X)是周期为兀的周期函数，故|f(x)|4空.388(31illJ(sin2xsin22x.sin:2x)2=|sin3xsin32xsin2x=|sinx|sin2xsin32x-sin32-,xsin2x|sin22x|=1sinxf(x)f(2x).f(2-x)|sin22x|/(x)y(2x)./(2n-|x)|)所以sin。xsiN2xsin?2x43=.84.【2020年高考全国IH卷理数】设函数/(x)=x3+bx+c,曲线y=/(x)在点(

35、：，以义)处的切线与)，轴垂直.(1)求8.(2)若/(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.【解析】f(x)=3x2+b.依题意得/(g)=0,即：+6=0.故6=-。.43(2)由(1)知/(x)=Fx+c,fr(x)=3厂.4令八x)=O,解得一；或x=g.fx)与f(x)的情况为:A2(-罟)12(；,+oo)fx)+00+f(x)/1c+4、1c4/因为1)=/(-g)=C+1,所以当c；时，/(工)只有小于I的零点.由题设可知一,当c=-1时，/(X)只有两个零点和1. TOC o 1-5 h z 42当c=时，/(x)只有两个零点-1和1.42

36、当一7VCVz时，/(X)有三个等点XI,X2fX3,且与(一1,一彳)，XjGX3G(tU)今“乙乙乙乙综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于L21.【2020年高考天津】已知函数F(x)=d+Xnx(&R),/(x)为f(年的导函数.(I)当左=6时，(i)求曲线y=/(处在点(1,/(1)处的切线方程；9(ii)求函数8。)=/。)一/(幻+一的单调区间和极值；X(II)当我23时，求证:对任意的x”x,el,+oo),且%.，有、(“2+/(W).2XyX2【解析】(I)(i)当左=6时，/(x)=x3+61nx,故r(x)=3V+9.可得/(1

37、)=1,/(1)=9,X所以曲线y=/(x)在点(1J)处的切线方程为y-l=9(x1),即y=9x8.363(ii)依题意，(x)=-3x+6InxH,xg(0,4%2，令五二/”1)，则(%-可(ra)+r(w)-2(/a)_x2)=(X1-&)3x+3%2+-2G-E+Zln土x2x：-%2-3X；工2+3平；+%-=-2kx=考(r一3/+3/1)+火，一1一2111.由此可得力(%)在令A(x)x2Inx,xg1,4-oo).1x1时，h(x)=1H=|1j0,xxxyxJl,+oo)单调递增，所以当时，A(r)/?(1),即，-l-21n/0.因为21，/一3一+3/-1=1)30

38、#之一3,所以，X；(尸一3厂+3/l)+kr2In/)(/3广+3/1)2In/3=/3-3f2+61nZ+-l.t3由(I)(ii)可知，当时,g(Z)g(l),即f3厂+61nfH1,故/一3/2+6In,410.(3)t由可得&一切(/(%)+/5)一2(%)/()0.所以,当0N-3时,对任意的X),X2G1,4-00)，且X%，有_.2xx9.【2020年高考北京】已知函数/(x)=12-V.(I)求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程；(n)设曲线y=fix)在点(r,/(0)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求s的最小值.【解析】(I)因为/(元)=12-2,所

39、以r(x)=-2x,设切点为(2-%)，则一2与=-2,即%=1,所以切点为(1,11),由点斜式可得切线方程：y-ll=-2(x-l),即2x+y-13=0.(II)显然twO,因为y=/(X)在点(r,12厂)处的切线方程为：y(12厂)=2r(xr),令1=0,得=产+12,令y=0,得x=2,2t所以S(入募，不妨设r0(f-2)+2)(4+12)4尸4尸由S(f)0,得f2,由S)0,得0f2,所以S(f)在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，所以，=2时，S。)取得极小值，也是最小值为S(2)=史曲=32.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最

40、值，属于中档题.【2020年高考浙江】已知1(e-l)(a-l)a.【解析】(I)因为/(0)=1-。e2-40,所以y=/(x)在(0,+)上存在零点.因为尸(x)=e-l,所以当x0时，r(x)0,故函数/(x)在0,48)上单调递增，所以函数以y=/(x)在(0,+8)上有唯一零点.(II)(i)令g(x)=e*-x2-x-l(x0),g，(x)=e*-x-=f(x)+a-,由(I)知函数g(x)在0,y)上单调递增,故当x0时，g(x)g(0)=0,所以函数g(x)在0,”)单调递增,故以函Ng(0)=0.由g(j2(a-l)20得/(72(a-l)=e时-52(a-1)-aO=f(x

41、o),因为/(x)在。,+8)单调递增，故y2(a-1)x0.令/i(x)=e-1(04x41),h(x)=ex-2x-I,令似x)=e*_2x_l(04x41),/j1(x)=et-2,所以X0(0,ln2)In2(In2,1)1砧X)-1一04-e-2九(幻0/e-3故当0 xvl时,%(x)0,即(x)0,所以。x)在0,1单调递减,因此当04x41时,hx)/T)=eG-/T-a4O=f(Xo),因为f(x)在0,内)单调递增，故%.综上，yjalx0l时，ux)0,故函数“(%)在区间1,内)上单调递增，因此wWu(l)=0.11e*=x()+。可得xJ(e)=x0/(x0+。)=(

42、ew-1)片+a(e-2)x0(e-l)ar(),由x0ta-得Xo/(e)(e-l)(a-l)a.(2019年高考全国I卷理数)已知函数/(x)=sinx-ln(l+x),/(x)为/(x)的导数.证明:rr(i)r(x)在区间(一i,万)存在唯一极大值点；/(x)有且仅有2个零点.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(I)设g(x)=/(x),则g(x)=cosx.g(x)=-sinx+-1+X(1+X)当费时，8。)单调递减，而8(0)0,8()0,可得3(了)在卜1,)有唯一零点，设为a.则当一Ta)时，g,(x卜。Q。.所以g(x)在(-1,。)单调递增，住(。,外单调递减，

43、故g(x)在(一吟)存在唯一极大值点，即f(x)在(一1,5)存在唯一极大值点./(x)的定义域为(一1,心).(i)当xw(l,0时，由(1)知，/(x)在(一1,0)单调递增，而/(0)=0,所以当xe(1,0)时，0./f(x)0；当xe夕看卜j,/(x)0,所以当时，小)。.从而，依)在呜没有零点.(iii)当兀时，/(x)0,/(兀)(),所以/(x)在(5,兀有唯.零点.(iv)当xe(兀,+l,所以/(x)0.所以/(X)在(0,1),(1,+8)单调递增.X(X-1)e+1e211p2_3因为/(e)=10,则当xe(-oo,0)U(H，+)时,f(x)0；当xe(0,时,f(

44、x)0；当忖，fx)0.故/(%)在(一8,(0,+OO)单调递增，在单调递减.(2)满足题设条件的a,b存在.当h0时，由(1)知,/(x)在0,1)单调递增，所以/(%)在区间0,1的最小值为/(0)=。，最大值为/(1)=2a+A.此时，b满足题设条件当且仅当b=-l,2-a+b=,即“=0,b=-l.最大值为。或2a+b.(ii)当应3时,由(1)知,f(x)在0,1单调递减,所以/(x)在区间0,I的最大值为。(0)=从最小值为/(1)=2a+b.此时“，方满足题设条件当且仅当2。+方=-1,b=,即6=1.(iii)当(Xa3时，由(1)知，/(x)在0,1的最小值为了若一二+=1

45、,h=,PBJa=32,与03矛盾.+b=1,2a+h=1.则a=3&或a=36或a=0,与0a0),将原不等式转化为求解函数/(外的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到泊一-加v。-a.O,再利用基本不等式进行求解即可.【详解】解：设f(x)=ei-底a(x0),则/(x).O时一切正实数x恒成立，即/(x),3.O,由/，*)=/一-!，令献x)=e*-L则+二0恒成立，XXX所以力(x)在(0,+0。)上为增函数，当X0时，力(X)-00,当X+8时，h(x)+00,则在(0,+0。)上，存在X。使得(%)=0，当0工/时，h(x)0,故函数/(x)在(。,小)上单调递减

46、，在(%,+8)上单调递增，所以函数/(X)在X二/处取得最小值为/(x0)=-3)-a.0,因为6一=一,即/-a=-1叫,所以-+x(-a-a-0恒成立，HP2a,+,故为,2,所以4,1.故选：C.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：分离参数a4/(x)恒成立(aW/(x)mi“即可)或。2/*)恒成立(。2/(初皿即可)；数形结合(y=/(x)图象在y=g(x)上方即可)：讨论最值/(犬焉。或4恒成立；讨论参数(2021浙江高三其他模拟)若实数“涉满足ln(2a)-lne)2/+,一,则.+/=()A.V2B.6C.乎D.苧【答案】C【分析】构造函数g(x)=XInX-1证得X

47、2InX+1,从而得到-1In=ln(2a)-ln(/?),结合均值不等式bb得到方程组，解之即可.【详解】证明不等式x2Inx+1,令g(x)=x_lnx-l,g(x)=l，故g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,田)上单调递增，g(x)?g(l)=0,故x21nx+l证明成立；G1又因为。+11,且仅当。二一时成立1rbb又因为华-12ln=ln(2)-ln(Z?)故与题意联立，得l=ln=ln(2tz)-ln(Mhh令i=、故有，一l=lnr,解得，=1时成立，综上联立：上二1与e,bbb万解得b=y/22故选：C.【点睛】构造函数证明不等式，然后结合不等式的夹逼定理以及均值不等式得到

48、方程组，需要较强的抽象思维能力.(2021四川遂宁市高三三模(理)已知函数(x)=(x-2)e，g(x)=ajc-ax,又当(x)0时，/z(x)2g(x)恒成立，则实数q的取值范围是()A.(-oo,e2JB.(-00,eC.(0,e2D.(0,e【答案】A【分析】首先根据(x)20求出xN2,进而参变分离解决恒成立的问题即可.【详解】因为M%)=(x-2)然,所以(x)N0,即xN2,所以当xN2时，(x)Ng(x)恒成立，即(x-2)e*以2-公，即(x-2)e* 1 ax 2(x-2),当x=2时，(一2”“2(-2)恒成立，符合题意；当xe(2,+oo)时，有即至-Na,2x令2()

49、=空，则(x)=2e(：1)0,所以7(x)在xe(2,+8)上单调递增，而加(2)=e?,所以2、ea故选：A.【点睛】对于恒成立问题，常用到以卜.两个结论：砾)恒成立/T)max：不)恒成立=6/Smin.(2021浙江高三其他模拟)已知非负函数“X)的导函数为/(力，且X)的定义域为(0,+功，若对于定义域内的任意X,均满足/，(6区，则下列式子中不一定正确的是()A.7(2)2/(1)B.C./(4).(3)D.y(e)2e.吗)【答案】B【分析】根据题意可得切(x)/(x),构造函数g(x)=2_L0,对其求导判断单调性，根据单调性即可判断四个X选项的正误，进而可得正确选项.【详解】

50、因为x0，且/(x)以立，可得(x),即4(X)-/(x)0,X令g(x)=/H,则g，(x)=yG)；/”所以g0,XX所以g(x)=/3在(0,+功上单调递增，对于选项A：由g(2)g可得/导4上即“2)2/(1),故选项A正确：对选项Bhg(3)g(2)可得牛卑，|/，得不出/(3)e-/(2),故选项B不正确；对于选项C：由g(4)g可得/空/史，即/(4)g/，因为3)01所以4、7、，7t/(3)-/(3),可得/(4)/(3),故选项C正确；366对于选项D：thg(e)g；)可得即/(6)2行(；)，故选项D正确；2所以不一定正确的是选项B,故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解

51、题的关键是根据已知条件构造函数g(x)=23,并根据单调性比较大小.(2021重庆一中高三其他模拟)已知e为自然对数的底数，a,力为实数，且不等式力+3lnx+(3e-a)x+Z?+lW0对任意为(0,田)恒成立，则当取最大值时，实数4的值为()A.3eB.3e+lC.4eD.4e+l【答案】C【分析】不等式Inx+(3e-a)x+b+,0对任意xe(0,+co)恒成立，化为不等式/nx+3也,ax-b-1对任意xg(0,+co)恒成立，必然有a0.令x=2，化为：令a=4e,8=1.利用导数研究函数的单调性极值eae最值即可得出结论.【详解】解：不等式/nr+(3e-a)x+6+L,0对任意

52、xg(0,4oo)恒成立，则不等式布+3次,这一6-1对任意xe(0,40.令x=则一1+3“-1,化为：3+力,1.eeae令。=4e,b=.不等式伉+3也,冰-6-1对任意xe(0,+oo)恒成立，即不等式阮夕+2,0对任意xe(0,+x)恒成立，令fS=lnx-ex+2,则/”_1一/一丁，可得：x时，函数取得极大值即最大值，xx/(1)=-1-1+2=0,e满足题意.可以验证其他值不成立.故选：C.【点睛】方法点肪：不等式恒成M问题常见方法：分图参数。/（X）恒成a/（X）mm即”1）或恒成立（aN/（X）max即可）；数形结合（y=/（x）图象在y=g（x）上方即可）；讨论最值/（x

53、）1nin/。或F（X）e4恒成立.；讨论参数.（2021江苏南通市高三其他模拟）已知/（x）=eg（x）=2jL若/&）=8（毛）/=卜2一玉|，则d的最小值为（） TOC o 1-5 h z l-ln211A.-B.l-ln2C.-D.-24e【答案】A【分析】212令/（司）=且（工2）=%。,则w-玉=wlnZ,构造函数g（Z）=zlnZ（Z0），通过求导,分析单调性求出最值，即可求得d的最小值.【详解】22令/（石）=g（w）=4o,则=Ink,x2=一,所以_苞=nk44令gCb+ink（左。则g）=与-：=W当0女加时，g）0：当&k时，g（%）。；所以g（%）在（0，夜）上单调

54、递减，在（3,内）上单调递增，则gOn=g（=匕詈。11-O11O所以4=,2-|=的|2_-,则d的最小值为-故选：A（2021湖南高三其他模拟）已知函数/（x）=e-4存在两个零点，则正数。的取值范围是（）A.陶B.(K)C.。.停+00)【答案】C【分析】函数零点即方程e=的解，e2a=x(x0).取对数得2ac=lnx，此方程行两个解，引入函数g(x)=hix-2ax,利用导数求得函数的单.调性，函数的变化也势，然后由零点存在定理可得结论.【详解】显然/(0)=1，/(x)=e4有两个零点，即方程e=J7，e2=x在(。,田)上有两个解，两边取对数得到2ox=Inx，令g(x)=lnx

55、-2ax,gx)=-2a,g(x)在(0,?)单调递增，在单调递减，又当X-0时，g(x)f-oo,当Xf+oo时，g(X)T-oo,因为g(x)有两个零点，则=In，-10,2aJ2a解得a所以正数a的取值范围是I。,-.2eI2eJ故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题关键是进行转化，函数零点转化为方程的解，时方程变形后，引入新函数，再转化为利用导数确定函数的性质，结合零点存在定理求解.(2021.而庆高三其他模拟)若函数.f(x)的导函数为了(X),对任意xe(-兀,0)J(x)sinx/(x)cosx恒成立，则()D. f5乃【答案】c【分析】根据-知条件，构造函

56、数且。，求出导函数判断单调性，利用单调性比较函数值的大小即可求解.sinx【详解】解：因为任意xe（-乃,O）,/（x）sinr/（x）cosx恒成立,即任意xe(-;r,0)J(x)sinx-/(x)cosx0恒成立,又xe（一乃,0）时，sinx0.所以sinx -/(x)cosx (siri)所以在（一4,0）I:单调递减,sinx46所以2因为所以,即2V2T故选：C.2有两个极值点，则实数的取值范（2021广西高三其他模拟（理）若函数=x：围是（）A.B. (l,+oo)C. ,+00 2D. (e,+oo)【答案】B【分析】依题意，r（x）=e2x-/M-/nr有两个变号零点，由广

57、（同=0,可得_!_=q2，设g（x）=日求出函数g(X)的单调性及取值情况即可得解.【详解】解：依强意，/(x)=e2*-n?e*/nx有两个变号零点，令/(*)=0，即e2*-me*-，?ir=0，则e?=/n(e+x),1e*+x显然MHO,则上=上，me2x、e+xn.(e*+1)/(e*+尤)21-v_2x设g(x)=h，则g(x)=一一七一1一J，eee设h(x)=1-e*2x,则/(x)=-e-20,g(x)0,g(x)单调递增,当xg(Q+oo)时,/?(x)0.g(x)-Q0,时，g(X)-0,/.00,则下列不等式成立的是()A.4a+b3B.4。+61D.2xz+力2y/

58、e-ex+cos7ix=2+n:costvx， TOC o 1-5 h z 222111TCCOSTUX71t222/.2tv2+zrcos7rx0恒成立,则f(x)是增函数,/(3+6)+y(tz-i)o,/./(3iz+b)-/(a-l)=/(3-),3a+b3-a.得4a+/3，故选：A.【点睛】根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式求最值，综合性强，属中档题.11.(2021四川成都市石室中学高三三模)已知函数/(力=。/+%2的图象在点处的切线方程是y=(2+2)x+，那么必=()A.2B.1C.-1D.-2【答案】D【分析】根据导数的几何意义确定斜率

59、与切点即可求解答案.【详解】因为/(x)=ae+x2,所以/(尤)=ae+2x,因此切线方程的斜率&=八1)=四+2,所以有超+2=2e+2，得a=2,乂切点在切线匕可得切点坐标为(l,2e+2+%),将切点代入/(x)中，有/=2e+l=2e+2+Z?,得力=一1,所以访=2.故选：D.二、填空题12.(2021福建三明市三明一中高三其他模拟)函数/(x)=sin2x.sin2x,xTT【答案】(。,。)：(区间两端开闭都可以)【分析】利用三角恒等变换得y=2sin3xjl-si/x，再利用换兀法设，=sinxe0,1,调性解不等式0sinx0n0r(乎,0sinx0 x,工）20在尺上恒成

60、立，则n的取值范围【答案】,e22【分析】根据分段函数，当时，有/（刀丫加2。成立，利用均值不等式求得其最小值，当xl时，将f（x=ex-alnx0,转化为aW色恒成立，令/?。）=色，用导数法求得其最小值，然后两种情况nxInx取交集.【详解】当XW1时，/（无）=x) =2x - + x +42x2。等价于/（x）. 2。，-a =x +42-4X 4X+ at= + a =-2V424当且仅= 则x = 2时，等号成立，则/（犬熊”=+ aN0 得 a，：当x 1时，/ (x) = ex- a In x 2 0等价于a W 恒成立,令 h(x) - 贝ij (x)=Inxenx-e _