参考-连续系统域分析

1、第五章 连续系统的S域分析 上一章讨论的傅里叶变换法简化了响应不得求解，特别在有关信号的分析与处理方面诸如有关谐波成分、频率响应、系统带宽、波形失真等问题上，它所给出的结果都具有清楚的物理意义。但它也有不足之处：1、傅里叶变换存在的充分条件是 =有限值， 因而有些工程中常用的信号如 、 等并 不满足该条件，因而不能从定义来求。还有一些信号 如 根本不存在傅里叶变换,无法在频域进行分析。2、傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里 叶变换的应用受到限制。 3、它只能求出系统的零状态响应，零输入响应还得用 其他方法确定。 在这一章中将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题-即拉普拉

2、斯变换。 应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是建立在线性时不变系统具有叠加性和齐次性的基础上的，只是信号分解的基本单元函数不同。因此这两种变换，无论在性质上或是在进行系统分析的方法上都有着很多类似的地方。事实上，傅里叶变换可看成是拉普拉斯变换的一种特殊情况。在频域分析中，我们以为基本信号， 在复频域分析中，我们以为基本信号， 复数 其中 因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。由于当1、拉普拉斯变换2、拉普拉斯变换的性质3、拉普拉斯逆变换4、复频域分析5、双边拉普拉斯变换本章主要内容一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 那么，能不能将这些信号乘上一个衰减因子，

3、这 样它就可能满足绝对可积条件？正是这种想法， 引出了拉普拉斯变换。如：一个指数增长的信号 显然不满 足绝对可积条件，且它的傅里叶变换是不存在的。 51 拉普拉斯变换对任意信号 乘以一个衰减因子 ,适当 选取 的值使 当 时, 信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：例如不满足绝对可积的条件。只要满足绝对可积的条件。又如也不满足绝对可积的条件。只要满足绝对可积的条件。上述积分结果是 的函数，令其为 即：假设 满足绝对可积条件，则由傅立叶逆变换得：收敛令 ， 为实数，则 于是上面 两个式子变为： 式称为双边拉普拉斯变换对； 称为 的双边拉氏变换（或象函数）； 称为 的双边拉氏逆变换（或原函数

4、）。我们先来研究两种信号： （1）因果信号（2）反因果信号二、收敛域如前所述，选择适当的 值才可能使 式的 积分收敛，信号 的双边拉普拉斯变换存在。 通常把 满足绝对可积的 值的范围称为 收敛域。例5.1-1 设因果信号求其拉氏变换。 解： 收敛域可见对于因果信号，仅当 时， 其拉氏变换才存在。其收敛域为 。在以 为横轴， 为纵轴的 平面（复平面）， 是一个区域，称为拉普拉斯变换的收敛域或 象函数的收敛域。如下图 所示。因果函数的收敛域S平面收敛边界例5.1-2 设反因果信号为实数， 求其双边拉氏变换。解：收敛域可见对于反因果信号，仅当 时， 其拉氏变换才存在。其收敛域为 。 如图所示。反因果

5、函数的收敛域S平面如果一个双边函数 其双边拉氏变换为如果 ，当然存在共同的收敛域 ，收敛域是带 状区域 ; 如果 则没有共同的收敛域， 不存在。双边函数 的收敛域因果函数的收敛域反因果函数的收敛域双边函数 的收敛域 当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏 变换同时存在，将 代入即可得其傅氏 变换。 实际用到的信号都有初始时刻，不妨设其为坐标原 点，这样， 时， 从而拉氏变换可写成单边拉普拉斯变换 本章仅讨论单边拉普拉斯变换，单边拉普拉斯变换简称为拉普拉斯变换或拉氏变换。 这里 0是指 三、 （单边） 拉普拉斯变换 的拉氏变换简记为:逆变换简记为: 其变换与逆变换也简记为:1、拉普拉斯变换的符号表示

6、为了使 存在，积分式必须收敛。 对此有如下定理： 若因果函数 ： （2）存在某个 有 (1) 在有限区间 内可积。那么对于 ，拉氏积分收敛。2收敛域（存在条件）我们称 为 指数阶的。 当 为有限值，则 的拉普拉斯变换 必然存在，这是讨论拉氏变换收敛域的出发点。 为了达到这个要求， 应满足： 是满足 的最小 值。 解释:（2）存在某个 有 那么对于 ，拉氏积分收敛。例如： 增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。而另外，要注意还有一类信号：时限信号对任意 均可积，收敛域为整个 平面。即例5.1-3 求的象函数。 解：这个信号显然是可积的，且对于任何 都有 所以收敛域是整个 S 平面。3常用信号的拉氏变换例5.1-4 求 、 的象函数。 解： ， 均为时限信号，所以收敛域 为整个 平面。 例5.1-5 求复指数函数 的象函数。 式中 为复常数 解：特例： *.收敛域简单记忆法 ： 其中 为 所有极点的实部的最大值。 的收敛域为：*.由于单边拉氏变换的积分区间是 ， 所以 ， 与 的拉氏变换相同。 为简便，时间函数中的 也常略去不写。 1.拉氏变换是傅氏变换的拓展，它对信号的限制要宽 的多。象函数是复变函数，它存在于收敛域的半平面 内，而傅里叶变换仅是收敛域中虚轴上的函数。拉氏变换与傅里叶变换比较:2. 拉氏变换可同时求解零输入响应和零状态响应， 且拉氏