高三数学平面向量习题精选精讲

1、向量知识点归纳与常见题型总结、向量知识点归纳1.与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“ ab”错了，而| all bl才有意义.有些向量与起点有关， 有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性 （大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量 （既自由向量） 当遇到与起点有关向量时，可平移向量 .平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件单位向量是模为1的向量，其坐标表不为（x,y），其中x、y满足x2 + y2 = 1 （可用（co

2、s日，sin日）（0 0 2 X ）表示）f特别： AB表示与 晶同向的单位向量。|AB|T T例如：向量Z（AB-+-AC-）（Z0）所在直线过AABC的3（是/BAC的角平分线所在直线）；|AB| |AC|一一 一，AB AC、一一例1、O是平面上一个JE点， A B、C不共线，P满足OP =OA +九（ 9+）4W0, +望）.则点P的轨迹一定通过三角形的内|AB| |AC心。AC 1 一.-=2 ,则 aABC 为（）|A C| 2D.等边三角形（06陕西）.,三一一AB AC AB（变式）已知非零向量 AB与AC满足（+ ） - BC=0且下A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.

3、等腰非等边三角形0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段r（7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a ）2.与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）S 当两个向量a和b不共线时，a+ b的方向与a、b都不相同，且| a十b | | b |, a +b与a方向相同，且| a + b|=| a|-| b | ；若| a| b|时，a+b与b方向相同，且| a十b |=| b|-| a |.向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加

4、法的逆运算 .三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。. i!II1i1AB BC =AC ; AB - AC =CBTjf例2： P是三角形ABC内任一点，若CB =?uPA+PBj“w R,则P一定在（）A、MBC内部 B、AC边所在的直线上C、AB边上 D、BC边上例 3、若 AB BC + AB =0,则 ABC是：A.Rt B.锐角 C.钝角 D.等腰 Rt 特别的：a - b 0,且a、b不同向，a b 0是日为锐角的必要非充分条件；当日为钝角时，a,b0,且& b不反向，ab0是日为钝角的必要非充分条件；4.1例5.如已知a =（%2K） , b

5、 =（3%2）,如果a与b的夹角为锐角，则 九的取值范围是 （答：九 一一或九a 0且九# ）；33 *-h +-hk f例6、已知i , j为相互垂直的单位向量，a=i2j, b = i十九j。且a与b的夹角为锐角，求实数 的取值范围。分析：由数量积的定义易得“ = a b0，但要注意问题的等价性。1解：由a与b的夹角为锐角，得a b = 1 2九 0.有九0）,即两向量同向共线时，有 , 得九=2.此时其夹角不为锐角。故 儿u（_m,_2）u -2,- 1t 九=-2（2）评析：特别提酉1的是： a, b 是锐角与a b a0不等价；同样a,b是钝角与a，b0不等价。极易疏忽特例“共线”_

6、 2_ 2 . 2特殊情况有 a a = a = | a |。或 | a | = ； a -a = , a = x y .如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则|a| = ,（x1-x2）2十（y1-y2）2|a b|a | | b |。（因 cose 0及直线过端点得 一iMkAx2 By2 c5k -2I 4 4(11)对空间任一点O和不共线的三点 a、b、C,满足OP = xOA + yOB + zOC,则四点P、A、B C是共面y x +y +z =1 .注意：(1)起点相同(2)系数和是1。(12)空间两个向量的夹角公式cos =aibi

7、a2b2a30a2 , b2b22b；(a=(4田213), b=仙也心).(13)空间两点间的距离公式若A(x1, % ,Z1) , B(X2, y2,Z2),则、222X2 - Xi)(y2 - Yi) (Z2 -Zi).(14)点Q到直线l距离h =工 J(|a|b|)2 (a b)2 (点P在直线l上，直线l的方向向量a= pA ,向量b=PQ). |a| (15)正弦定理说明:sin A sin B sin C 正弦定理可直接进行边角转换；c =2R(r是三角形的外接圆半径)例15：在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且cosB短 一 cos B提小：cosC2a c

8、2sin A sin CcosCsin B - 2二B 二一,求B的大小。2a c例 16：在 MBC 中，若 sinC =2cos Asin B ,.222 b c -a , 提小：c=2cosAb= c=2b =2bc3则此三角形必是,三角形(等腰)2,2a = b22_a b -2abcosC .1.一 casin B.2A B C =:=C -二-(A B)u说明：(1)三角形具有丰富的内涵(隐含条件)内角和是180； vi ：大角对大边而：JI锐角三角形中有：A B A2tan A +tan B +tanC = tan A tan B tan C而：正弦、余弦函数的单调性;-B= s

9、in A sin(- B)=cosB钝角三角形中有(C是钝角)：a + B2ji f (cos P)(19)平面两点间的距离公式d”=|AB尸x2 -Xi)2 (y2 -y1)2供(。乂)，B(x2, y)(20)向量的平行与垂直 设a=(x1, y1) ,b= (x2,y2),且 a / b U b=入 a u x1y2 - X2 yl = 0 .a -L b(a = 0) U a- b=0= x1x2 y1y2 = 0.(21)线段的定比分公式设PKx,%), P2(x2,y2),P(x, y)是线段RP2的分点，九是实数，且RP =，uPP2 ,则(16)余弦定理2,222222a =b

10、 c -2bccosA;b =c a -2cacosB; c1 一 1 一一 1(17)面积JE理S=aha = bhb = chc ( ha、hb、1分别表小a、b、c边上的身).一 1 .一1 . .一 S = absinC =bcsinA = TOC o 1-5 h z 11丁1 S20AB =_/(|OA| OB |) -(OA OB) =_OAOBtang( 8 为 OAOB 的夹角) 22(18)三角形内角和定理 在 ABC中，有C 二 A B=2c =2二-2(A B).222i :两边之和大于第三边；ii：斜边大于直角边；通：正(余)弦定理；上：面积公式；v ：X xix2-4

11、 -4二 OPiOP2=OP =Vi V21OP二康+(it)品(t=).1 y 二(22)平面向量的综合问题向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情，数的特性使得 它与“函数，三角，数列，不等式，导数”有众多的联系，成为高考中一个新的亮点。形的特性又使它必然与“平面几何，解析几何，立 体几何”紧密相关，以体现它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻译”能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式”。一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始(一般需先平方),而共线，共点问

12、题多由数乘向量处理。,例19.设平面向量a=(31、 ，13、,-),b =(一,)，若存在不同时为0的两个实数s,t及实数k 0 ,使22222x=a + (t -k)b,y = -sa+tbJLx _1_ y(1)求函数关系式s = f (t) ； (2)若函数s = f (t)在1,)是单调函数，求k的取值范围。分析：由数量积的坐标运算，不难得出s = f (t)的解析式，含参数必引起讨论，运用“整体思想”可简化计算;函数，等价于 f (t)之0或f (t) 0在1,十无)上恒成立。f (t)在1,y)是单调r 、31 r 1 . 3解：(1)丫 a =(，- ), b =(,222 2

13、)，二| a |=| b | = 1，且 a b = 0 ,又= x _L y TOC o 1-5 h z ,12-3二* 旷=0即2+。 -k)b (sa + tb) = 0 由此得：s=t -ktf(t) =3t2 k ,又丫 f (t)是单调函数，若f (t)是增函数，则f(t)之0,恒有3t2之k,而t1,依)，:0 k 32若f(t)是减函数，则f (t) W0,恒有3t Wk,而tw1,+整),这样的k不存在综上0 k 0,b0),C(-1一 ,h), E(x 1,y 1)2又 3 BE =2EC ,X1V125 2h又 B C两点在双曲线上,1h222 =14a b 24 4h

14、,2,2”2 2 =1,a b = 125a25b,解答：a2=l,b7,6 ,722=-,二双曲线的方程为：7x2-Ly2=1.76例 21.设 x, y w R*,且 x + y =1,求证:(1 -)(1 -)_9分析：观察不等式的结构特征，可以联想向量数量积的性质“a，b 4 a |b |”，构造向量解决，不失为一种别致的想法。11 、 -1证：仅 a = (1,-),b =(1,)，则 a b =1 +-=xxy，而 |a| .|吓(1+-)(1+)。由 a b W a |b |得,(a b)2 4 a |2|b |2, (1 + x1-)-(1 y-(122)=9.x y评析：根据

15、题目所含代数式的结构特征，合理构造向量的坐标，运用向量数量积的性质“a b qa|b|可以解决很多代数问题。同样将几何图形中的线段“向量化”也可研究几何图形的性质。这就是新颖别致的解题方法-向量法。“构造法”是一种创造性思维，体现了更高层次的思维价值。该例子在于唤起大家的“向量应用意识” 向量问题的坐标解法向量的坐标表示是将几何问题代数化，用坐标法解决向量问题思路清晰，操作简单方便，下举例说明。例1.设O在 ABC的内部且满足 OA+ 2 08 + 30c= 口，则4 abc的面积与 AOC勺面积之比为()35A. 2 B. 2。3 D. 3解：如图1建立坐标系。，仔细体会，别有情趣。设 A

16、(0,0), B (a, b),C (c, 0) , O (x, y),则T f OA -(-工,T勿十左一 6了二0OC = (ff - X1 -yf说明：原解答分别取 AC因为 OA+ 2 OE+ 30cH 0 即所以占=3尸从而s山阳c yBC中点求解，同学们不易想到，而建立坐标系求解则轻松、自然。OB =例 2.四边形 abcd中，若金* + 8, =,求 乂二，BD解：如图2建立坐标系。BD图2设4,地，小。(修，盟)，匕0),则AB = (a, 8), CD = t- 一n)j4Z) = (“ 0), BC (m a,界 T)/C=回斗BD =q-a, 一8)代入已知条件得：/+

17、川 * (2-加)* + /+ (国即*曜+从所以HC ,即二对-)-成 =碗-加-加=0T T T例3,设p为 abc所在平面内一点，求R4*+ FB+ FC2取最小值时p点的位置。解：设.|T用+ F*+可*取得最小值。_ / 十 + 后、一片+九 + 为A 5 了 一所以，当33即P为4ABC的重心时,例4, P为4ABC所在平面内一点。求证:T T T f TAP * BC+ BP CA+ CP AB= 0证明：如图3建立坐标系图3设好,0),强汕抽。)，H”)，则BC =c-a, _&), BP-x-a-, y-b)CE = (-c, 0), CF=(xg y)盛加斗正侪”从而提贰提

18、就后说明：原解答利用垂心的性质证之，要求较高，证法较烦，显然坐标解法相对简练。例5. O为 ABC内一点，记X = 臬皿C2 = 口的叫 求证： 证明：如图4建立坐标系。=兀(C 一疯)一-4X .疯)+g(x -4)+如 t = ex - xa - by-cx + ca+ax-ac+by *二013-x * OA+ y * OB+ z * OC = 0图4ABOC= af ZAOC= fit 乙4OB = y Q川=Rj, QE|= |T T勺外），且b至0则/ B o西W一必力=口解：由,根据向量平行的充要条件，得: 二、垂直问题2 M 6 3K = 口 ,解得 A = 4。应填 4。这类

19、问题主要考查两向量垂直的充要条件：若向量1=（和 必），言二哥乃），则-_Lu面孙+ 2” 口例2. （2005福建）在 ABC中，/ C= 90。， = 小且（2,可，则k的值是（）3A.5 B. C. - D.二（2T，2）,又/c= 90 ,则易工近由向量垂直的充要条件,得：2(2-q+ 3*2 = 0解得k = 5故选A。4如+y必=o,从而求出ko点评：本题运用/ C= 90 ,转化为BC -L AC ,进而转化为 三、求模问题炉+广或温二点、人,对于求模有时还运用平方法。例3. （2005湖北）已知向量口+占-（3i 2 +解：由7二（一2, 2）, ? =（5,刈，若不超过5,则

20、k的取值范围是T f/r&十655 ,由模的定义，得：9 + 2 + k）三解得：-6北王2 ,故填卜6评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例4. ( 1) (2004全国)已知A. B. 1 C. 1 D. 4_均为单位向量，它们的夹角为 60。，那么I* + 8 =（2） （ 2004湖南）已知向量TTa = (cos sin 一日匕,，向量住，T,则口二的最大值是解：（1）+ 3sp =|廿|b |cosfi00+9| b I1 + 3 + 9 = 13所以|+ 3 8 |= ”行，故选CoT T T| a |= 1, | Z |= 2, a(2)由题意，知T 7、

21、 i T - T |2 ci A | = 4 a -4a * b + bb = 2 sin又评注：模的问题采用平方法能使过程简化。 四、求夹角问题COS H = y3|切M 16 T T则口 ,一切的最大值为4求夹角可用解决例5.A. 30(2005 北京)若 I & 1= 1， I1=工，-L廿，则向量叮与b的夹角为（）B. 60C. 120D. 150解：设所求两向量的夹角为所以9 = 120 ,而选Co/，有(1+ 3) *cos 0 匚1= 口，即。*又|叩| |小| 上注意与实数的乘法运算区别，特别是不满足结合律，消去律。五、辩析型问题主要考查向量的数量积是向量间的一种乘法运算，结果

22、是一个数量,例6. （2004湖北）已知 鼻fT 7，,为非零的平面向量。T甲：aA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件T . T T T 分=次 二，乙：方=匚，则（）C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分也不是乙的必要条件解：命题甲：由命题乙：二 六、求向量例7. （2004江苏）平面向量了，才中，已知丁 =（4,句，|=1=5,则向量ga * b = Q *e得。*(& e)=口从而aBoc故乙=甲，但甲 书,故甲是乙的必要但不充分条件，而选白* bT T解：设口， b所成的角为T右共线并同向。又I 1= 5 ,则 I鼻IIaI又A 1= 1 ,故七、求

23、数量积例8. (2004浙江)已知平面上三点A、B、C满足1月引=九出口= 4 ,11= 5 ,则,方 * BC+ BC * CA+ C4 AB 的值等于b =| | b |cos -A5 T BC =ABBCcq- B)3 +甲 -5&= -12cos = -12x-L=02x3x4BC * 演二|熬| 演|cosg-C)42 + - 3?= -20cosC=-20 x= -162x4x5T T T CA , AB =CABcc - A)53 + 32 - 43=- 15cos工=-15x = -92x5x3以上三式相加，得所求为一2 5解法2:整体处理由二 二+ |如+ 2(石 ic+ *

24、 与+ CA AB)即0 = 9+】办25十2(月8, 8C+BC *6 ,期得好, EC- 十CH * =-25 ,故填.。解法3:挖掘隐含1由平面上三点A, b, C构成以b为直角顶点的直角三角形，知- T T T=BC CA+CA * AB=04 BC+AB） T= CA* ACTTTTTTTT8C+BL 闭 WAS八、交汇问题是指向量与立几、解几、数列、三角等的交汇题，创新题。例9. （1）（2005上海）直角坐标平面xoy中，若定点A（1,2）与动点P（x,y）满足。9*。从=4 ,则点p的轨迹方程是 （2） （2005湖南）已知直线aX +如+白=0与圆，一十/=相交于a、B两点，

25、且1月同=#，则。&，=解：（1）由分，4=4 ,有2” （工，= 4 ,即支十4=4故应填x+2y-4 = 0（2）先由圆的几何性质，求得两向量的夹角是120 ,则7 T T T1OA * 08 叫匕0420。二 一一1 故填 2。评注：第（2）小题关键是运用几何法求出两向量的夹角，再运用向量的数量积公式即可。向量在代数中的应用.等式证明证明等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果等式具有向量代数某些特征时，应用向量知识较为简单。X _y _ Z例1.已知（1 +/+/）（&: +/+）=（工+加+ ”）*,且x, y, z, a, b, c为非零实数，求证a b C 分析：由实数x, y ,

26、z与实数a, b, c对应成比例，联想到向量平行，进而联想到向量坐标。解：构造向量朗=（斯产办林”,瓦E）m与n的夹角为9 ,日小，封，则I加卜川 5 +v+2 ）d +& +c） 由此得8 = 0或8 =无所以m/n因此厘3 C例2.已知1出一抉+帅-?=1 ,求证用 S = 1。分析：题设与结论都与 1有关，由题设联想到向量。解：设施E%正7r ），正不叽与m的夹角为9 ,8血5严-川=|附|内|8日=1又I国界|二1所以cos 9 = 1, 9 =0所以m/n因此劭一&-，f/1-/二。移项两边平方，经整理可得 笳+6=1.不等式证明证明不等式主要依据有关向量的不等式a - b a b

27、例3.已知a, b, c E立，且 + 28 + 3白=6 ,求证a+ 2占+ 3c之6。解：构造向量僧=3、% 再二（L 05 f所以烧.能=6附 网= +2/ +女* J1 + 2 + 3由向量不等式得6 = a-2b + 3c忑旺万声匚* 71 + 2 + 3即M+2+玄心6.解有关三角问题例4.求函数y二2#十2加二8工+无。$才的最值。解：原式可化为J = 2+sm 2 + *2犬令”22* CQ构造向量二触2人8s 3 = （1, 1）则|M|*in2x + 852x|=|厘小四叶闻二地所以乂批=2 +鱼必出=2-0& P e (0, )cos a + cos /7 - cos(z

28、z +=例5.已知2 ,且2 ,求a , B的值。解：原条件可化为31 - cos a)fb = (sin 锵 cos/?)sm tz sm 4- (1 - cos a) cos 0 二一一cos a2构造向量 cos Ct1 ,=(cosa )* | pm + qn | jp* +/ Jtn2 + 并当且仅当即二即时等式成立性质2 |1|-同国国*+闻,当且仅当a, 8同向平行时右边等式成立，a, 8反向平行时左边等式成立。|的+ % +A +/国际|+ |叼I+A + 1/ I,当且仅当av %方向相同且两两平行时等式成立。（D衣履二彳+型（】 白，R守同号）例6.求函数y = + Jio

29、-x的最大值。解：构造向量a = ，D，b二（Jx -1, Ji 0 - 了）由性质1,得56 1 + J1。-丈G+1 Jx -1+10- k 二小历251当且仅当510-工=Jx -l ,即 26时，乂的=3北3（取”）+川1/+加+。型 画-4如0）例7.求函数尸=1_3+的最大值。解：原函数可变为” -3 +1x3x + J1F-* /(x) = -x3x + 厢-9)3取 3且【+ Ji：”(L 1), b = (3xf 而-万)构造向量3由性质i,得/(x) = x3j+ 710-9+产 xJ(3=+(J10_9py10”-3+四二从而3当且仅当向耳菽瓦土向弓嬴战型（#）0）例8.

30、求函数y=+4 + J - 9的最小值。解：构造向量”2）,b=（3 -由性质2,得y=|旬+旧平+吓J?+（2 + 3）J后_ x =-当且仅当a与b同向平行时等式成立所以 必团I （此时 5）（4）其它类型例9.设石（i =1, 2,，2003）为正实数，且，区+ 海+A + ”却的一 2003 ,试求y 、卜1+通+ J的+与+A + Jk如口口 +,解：构造向量ai =% =（4 V）,a 003 +3003 + *1的最小值。狗的二（忘高百）由性质3,得A =1 1 I +1 为 I +八 + II4口 +%十A十厘制的I即乂由二2003、泛=20030例10.已知如瓦和dwK,求y

31、解：构造向量户+ 厄石彳+产在二的最小值。1 8),=( bt a)t a = (b, 1 (1 -G 5), 口5 =,1 -0)、/=(1 1从而一 ；1由性质3,得ar c)下二；| 的 I+& l + k l + k 1 + 1叼 1 + EI】之一 4+ 4二 +仪4 + 口5 +口6 |2= -722向量构造法向量融数、形于一体, 广泛应用于函数、三角函数、 问题。特别是处理立体几何、Lndn所以具有几何形式与代数形式的“双重身份”数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。,是中学数学知识的一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它 利用向量这个工具解题，可以简洁、规范的处理数学中的

32、许多解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题；运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。构造向量除有坚实的基础知识外，还特别要知道实现构造的理论基础:(1) |a|-|b|a.b|a| |b|.（2）| a -b | | a | | b | 证明不等式tt t t.,.通过构造向量，利用向量的重要不等式：| a |+| b闫a + b |,或| a b | 3TTT证明：构造向量 m =(a, b, c), n =(b, c, a), p =(c, a, b)f f fffff t t则 m + n + p = (a +b +c, b +c

33、 + a, c + a + b) =(1 , 1, 1)于是由 | m|+| n |+| p|4m+ n + p|2 一 222221有3ja2 +b2 +c2之3 得a +b +c之一 将例1推广到更一般的形式，即有3例3.若a1, a2 , a3,an和b1, b2,bn都是正数，则 I n 乙/ Q，/ nIn/ n.a：a22an2. b：b22bn2 一 .(包4)2但2-b2)2(an-bn)2Tff证明：构造向量 m = (a1,a2，an), n = (b1,b2，bn)于是，由 |m|十|n 14m十 n |得产， a22an2,b12b22bn2_(a1b1)2(a?b2)

34、2(a0bn)2从上述证明，发现条件a1, a2,，an和b1, b2,，bn是正数是多余的。而且利用| m| | n | _| m _ n |还可以推出.a，a22an2.b；b22b。2-.(2-儿)2(a2b2)2(an - bn)2例4.设任意实数x, y满足|x|1 , |y|1 ,求证:11 一 x2-2：1 - y 1 - xy1证明：构造向重 a =（,-,.1 - x2x2,、,1 1y2)由向量数量积性质（a b ）2 222 -(x y )2 -2xy21 一 xy1即-1 221 一x 1 y21 一 xy例5.设a, b为不等的正数，求证 （a4b4)(a2 b2)

35、(a3 b3)2T 证明：构造向量 m22二(a2, b2),33 2n =(a, b),则 (a3 +b3)2= |m|m|；T| nT|n|2= (a4 b4)(a2+ b2)因为a, b为不相等的正数，所以Ji所以(a4 b4)(a2 b2) (a3 b3)2例6.已知x0,y0 ,且x+y=1,求证:11、-(1 +)(1 + ) 9 xy1证明：构造向重a =(1,),b =(1, x1 、-)，则 a b =1 y，而 | a| | b |=1 +3, xy11、= i；(1 +一)(1 + 一)， x y由 | a b | M| a | | b |,得 | a -b |2 (1

36、+ x y222一(1 不)=9例 7.求证：(ac+bd)2 (a2 +b2)(c2 +.2、d )证明：设 OA =(a,b), OB =(c,d)（1）当OA, OB至少有一个为零时，所证不等式 0 M 0成立；（2）当OA,OB都不是零向量时，设其夹角是 ,则有T TOA OB cos :=一；-|OA| |OB|ac bda2 b2 c2 d2因为 |cosa 任1,即(ac + bd)2 0, b 0) 证明：对于任何正整数n都有2n2nsin x cos xan(a b尸分析：借助向量不等式|至石|-3| |b |等号成立的条件，构造向量，可化难为易。证明：构造向量22- sin

37、 x cos x22 dp = (；,), q =(7 a, Jb),则 p q = sin x +cos x = 1 ,a %bIpI q=44sin x cos x+7a +b =1,所以 p q =| p | | q |,故 p, q 同向，则 p = Kq2sin x .一即 = . a,2cos x一一 22sin x cos x=九b ，所以= 22=九代入也设伶： Msin x+cos x)2ns x例9.已知2ns x2nxn obn 1n -1(a b)2nbnJ_ 2xn o 2 ,出 x、nL一 二s x( i) n ca22n c x x(-ob(a b)ncos；：

38、cos : -cos(岂I-)分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出a, P的值。换一种思路，引入向量,问题迎刃而解。3, ：J斛：由已知伶(1cos 口)cos十sin B sina = 3cos B ,构造向量 a = (1 - cosP,sin P ), b = (cosa ,sina ),则 a b = (1 -cos :) cos-： -sin : sin ： =-3 - cos :, . | a | | b |= . 2 - 2 cos :，一 C 一 Q - Q3- 9-1 9由 | a b | |a | | b |,得(一一cos P)2-2cos P,即(cosP -)

39、 022cos := 2三.求值域或最值一,则 sin( +口)= 1 =36例10.求函数y = x3 +J109x2的最大值。解答，将会使求解非常容易。解：原函数可变为y = -3 + 1：3x +，10 9x2 ,设f (x)33x + %：10-9x2 ,因为(3x)2 + (J10-9x2)2 = 10,所以构造向量 a =(：1),b =(3x, ,10 - 9x2) 3由 |ab|W|a|b|3x 10-9x2 | . (J2 12,(3x2) ( 10-9x2)210从而y -3101r =当且仅当d0-9x2c 1 = 3x,x = q 时，ymax3例11.求函数y = J

40、x2 +X +1 - TX2 X +1的值域。1 . 3 1 . 3、斛：仅 a = (x +-, 一), b = (x -一，一)，二 y =| a | - | b |, 丫 a, b不共线二| a | - | b | a- b |= 1 ,即一1 y 0,y0, 且 x+y=1, 求 j2x + 1+，2y+1 的 最 大 值证明：构造向量a =(1,1) , b =( 2x 1 , 2y 1)根据(T6)2 |T|2 jK|2 得：(1 .2x 1 1 . 2y1)2 (1 1)(2x 1 2y 1)即 1 y2x +1 +1 %,2y+1 和=2&故 J2x +1 +、2 y +1 最

41、大值为 2利用向量数量积的一个重要性质 | ab | w| a | | b |,变形为| a -b |2 ABAC =OC OA = 7i +-(m+1) j )1AB -OB -OA =(n 2)i (1 - m)j消去人得到mn5m + n+ 9 = 03由得到m = 2n ,代入解得 m=6,n=3或m=3, n= 一22、已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为可值时：(1) ka+b与a-3b垂直；(2) ka+b与a-3b平行，平行时它们是同向还是反向？解(1) k a+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4)。当(ka+b) (a-3b)=0 时，这两个向量垂直，：

42、由 10(k-3)+(2k+2) X (-4) =0得 k=19(2)当ka+b与a-3b平行，存在惟一的实数入，使ka+bd(a-3b),由(k-3,2k+2)=入(10,-4)得卜 3 = 102k+2 = -4 儿3此时-a+b与a-3b反向1333、设ei与ez是两个单位向量，其夹角为60 ,试求向量 a=2ei+e?,b=-3e i+2e?的夹角。解a=2e1+e2,|a| 2=a2=(2e 1 +e2)2 =4e12 +4e1 - e2+e2=7, ： |a|= J7。7同理得 |b|=。又 a , b= (2e1+e2) (-3e 1+2e,)=-6e 1 + e1 e?+2e2

43、 =2cos e =q- 9 =120|a | | b | . 7 . 72B的坐标和AB。4、以原点O和A (4, 2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB / B=90 ,求点解如图8,设 B(x,y),则 OB =(x,y),AB =(x-4,y-2)。Z B=90 , ; OB AB ， : x(x-4)+y(y-2)=0,即 x2+y2=4x+2y。设OA的中点为C,贝U C(2,1),OC= (2, 1), CB=(x-2,y-1).ABO等腰直角三角形，：OC CB, . - 2(x-2)+y-1=0 ,即 2x+y=5。解得、得 *x1 = 1y1 = 3x2 = 3y2 = -1

44、：B(1,3)或 B(3,-1),从而 AB=(-3,1)或 AB =(-1,-3 )OB=b。5、已知两个向量 a和b,求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是aib。证明如图9, OA=a,(1)充分性：若 OAOB, OBCA7矩形,则 |a+b|=| OC |,|a-b|=| BA |OBC曲矩形，. | OC |=| BA|,即 |a+b|=|a-b|(2)必要卜|a+b|=| OC |,|a-b|= BA,且 |a+b|=|a-b|,： | OC |=| BA|,;平行四边形OBCAJ矩形，ab,即a的方向与b的方向垂直。6、(本小题满分12分)若(a +b) ,L (2a b),

45、(a -2b) ,L (2a +b),试求a,b的夹角的的余弦值。解：由(a +b) l(2a -b),(a -2b) _L(2a+b),得(a b)(2a -b) = 0Ka -2b)(2a +b) =02a +a b b =0- 2 52-(5 .即-(4 分)，/Ja | = - | b | 即 | a |=|b |(8 分)，2a2 -3a b -2b2 =088221 . .2a b . 10. 10又a b =b -2a = |b|,.cosH= _-= ，所以a,b的夹角的的余弦值为。(12分)4|a| |b|1010*，III*& 7、设e1 , e2是两个垂直的单位向量，且

46、a (2e + e2)， b = & 九 e2 - (1)右 a/b, 求九的值；(2)右 a，b, 求九的值. -h -(1)a / ba=mb 即一2e一 e2=me -m 1 e2-2 =m -解得：m=-2,-1 m(2). a b , a - b=0, (-2e1 -e2) (e1 -Xe2) = 0_ 2即一2eI +2入e1,金 一e2 e +/-e2 =0 -2+ 九=0 ;九=2123 3 3x 3x、 / x x、 一冗1 一 4,34 4 38、已知向量 a = Icos三,sin 三 I, b = I cos,sin 土 1,且 x w |0,1.右 f (x )=ab

47、 -2九a 地 的最小值是一一，122，(22，1 2 J23131-求九的值斛：a ,b = cos-xcos-x sin - xsin - x = cos2x 222231231 、2.(cos - x cos-x) (sin -x -sin -x)= 42+2 cos2x =2 | cosx | 4 分二”0, 4-cos x0,因止匕 | a+ b | =2 cos x2f ( x) = a , b-2% la+bl 即 f(x) =2(cosxK)21 一2%6分 x 0 , 0cos x 1若九1,则当且仅当cos x = 1时，f ( x)取得最小值1 4九， 22 HYPERL

48、INK l bookmark43 o Current Document 35 1由已知付1一4九=一,解得：儿=,这与儿1相矛盾.综上所述，儿=一为所求.2829、已知 ABC的顶点坐标为 A (1, 0), B (5, 8), C (7, 4),在边AB上有一点P,其横坐标为4,在边AC上求一点 Q使线段PQ把ABC分成面积相等的两部分.一 一 4 51仅 PA =% AB, QA = 722 AC,则 1 =二%11,PA “ QA 33 , 1 p .c可 | 尸 |，-2 |,则 |，-2 |=又，-2 0,.人2AB AC 442八 S. apq AP - AQ 4 分 又=| |

49、|S.abc AB AC_28分，设点Q的坐标为(Xq, ya),32Xq (-) 7-，I32yQ十文口得1 二38-8=5, Vq = -一， Q(5, )33f-J1?Is-10、已知 | a| = 1, | b| = J2,若 a/ b,求 ab ；若a、b的夹角为60。，求| a + b |解：(1)丁 a / ba与b的夹角。为0或无当a与b的夹角。为0时,当a与b的夹角。为无时,- b =| a | | b | cos9 =ix 2Xcos 无.一 . 2.(2)| a + b|2=( a + b)2= a +2a12 + 2X 1X_ 2b + b =|10J2 Xcos60a

50、 12+2| a | I b |cos+1 b|2 | a+b|= q3 +J2a b = I a | , | b| cos e=ix，2 xcos0= 72(2)单调增区间为J6, 1、1, J6,单调减区间为-1, 1最大值为f ( V6 ) =3 1(ke R),求k的 取值范围.(1)只需证(ab) c=0 将不等式两边平方得k2 或k0.(本题满分14分)已知向量 a、b、c、d,及实数 x、y,且 |a|=1, | b|=1 , c=a+ (x23) b, d=-ya+xb,如果 aXb, cXd,且|c|y10 .(1)求x、y的函数关系式y=f (x)及定义域；(2)判断f (

51、x)的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值.提示：(1)由 | c| 0 巾0 ，及 a b = 0 得一6 x J6 又由 cd 得 y =x 3 3x解法二：设D坐标为(x,y ),依题意得,DOG为DE、BF交点。若AB=a, AD=b,试以a, b为基底表示10)故D坐标为(2,14、(8分)已知LI ABCD勺顶点A (0, -9), B (2, 6), C (4, 5),求第四个顶点 D的坐标.解法一：设D坐标为(x,y ),对角线AC与BD的交点为O.一一 0 4 -9 5-点O为A、C中点，易得 O (),即O(2,-2)2 22 x八2 =2 x = 2又.点O为

52、B、D中点，则2,解得i6 y =_2y = -10工rw 4-x =2而 AB =(2,15), DC =(4x,5 y),则5-y =15一 一 x = 2解得解得i,故D坐标为(2, -10)y = -1015、(14分)如图，平行四边形 ABC而，E, F分别是BC DC的中点,DE、BF、CG .一 I T - L 1. 解：DE = DB BE = AC ( AD) =a b 2221 、=-b - (b a) s 32-fI T -I 2 -BG = BC CG = -AD -CF 316. (14 分)已知 a =(1,2), b =(-3,2), 当k为何值时，(1)ka +

53、 b与a-3 b垂直？ ( 2)k a+b与a-3 b平行？平行时它们是同向还是反向?解：k a + b =k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2) a -3 b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),解得k=19(1)若 k a + b与 a-3 b 垂直，贝U ( k a+b) |_| ( a-3 b ) =0 即 10(k-3)+(-4)(2k+2)=0 解法一：若 ka+b与 a-3 b平行，则(-4)(k-3)-10(2k+2)=0,解彳t k=1 此时 ka+b=(-竺，4), a-3 b =(10,-4) 33 3故它们反向解法二：若 ka + b与 a-3 b平

54、行，设 ka+b = ?a-3 b)= a a-3 九 b ,1k解得 k1 - -317、(14分)求与向量 a = (1, 2), b=(2, 1)夹角相等的单位向量 C的坐标.解：设c = (x, y) , c与a的夹角为acos : - cos :22x y =1,cos.：sx 2y|a|c| 石2x y|b|c| 石解彳导x=y,代入x2+y2=1,解得18、设平面三点A (1, 0), B (0, 1), C (2, 5). (1)试求向量2AB+AC的模；(2)试求向量AB与AC的夹角；(3)试求与BC垂直的单位向量的坐标.、【提示】aB、aC的坐标为终点坐标与始点坐标的差，求

55、出 aB、aC的坐标后，可得2 aB十aC的坐标，(DAB AC 可解，X( 2),可先求 AB、AC的值，代入cos = 一,即可；对于(3),设所求向量 |AB|AC|的坐标为(x, y),根据题意，可得关于 x、y的二元方程组，解出 x, y. 【答案】(D AB = (0-1, 1-0) = ( 1 1), AC = (21, 5 0)= ( 1, 5).2 AB + AC =2( 1, 1)十(1, 5)= ( 1, 7).|2 AB + AC | = v(-1)2 +72 = vr50.(2)| AB | =(-1)2 +12 = 2 . | AC | = V12 +52 = 26

56、 ,13AB AC = ( 1) X 1 + 1X5 = 4, cosAB AC 42.13 -=| AB| | AC |2 - 26(3)设所求向量为 m = (x, y),则x2+y2=1.又 BC = (2-0,5 1) = (2, 4),由 BCm,得 2 x +4 y =0.由、，得2 -Ir-I-li-(2). AC = a + b, BD = b a , AC BD=(b + a)(b-a)= b2-a2=|b|2-|a|2=0.*fe*ir-*fc-*-b-20、已知平面向量 a = (7, 9),若向量x、 y满足2x+y = a, x，y, |x|=|y|,求x、y的坐标.

57、【提示】设x = （xbx2）, y = （yb y2）,由已知，可以得到含有 xb x2, yb y2的四个关系式，建立方程组，解之即可.【答案】设xyz).由 2 x + y = a ,得 2 (xb xz)十(y1, yz) = ( 7, 9),2x1 +y1 =72x2 +y2 =9,由 x，y ,得 x9 + x2y2=0.(2)由 | x|=| y|,得 x12+x22=y12+y22=0.0将(1)式化为 y1=7 2 x1, (2)式化为y2=9 2代入式，得x1(7 2 xO + x2 (92 x2)=0,即2 (x/+x22) = 7 x1 + 9 x2,代入式，得即 3

58、(x12+x22) = 28 x- 36 x2 130.x2,x+ x22=(7 2 x1)2 + (9 - 2 x2)2,由、，得2.2 cc/x2 =26解之得， 7x1 +9x2 =52 .x1235%j或112311x2小21_分别代入（1）、（2）,得 =5.11y1 = F5或123y2y1 二5y223、5或 x = ( 1,5), y = (5, - 1)即为所求.21、已知p为ABd一点，且 3 AP +4 BP +5CP = 0 .延长 AP交 bc于点 d,若 AB = a , AC = b，用 a、b表示向量 AP、AD【提示】注意到 BP = AP AB , CP =

59、 AP AC ,由已知3 AP +4BP+5CP = 0 ,可以得到 AP关于a、b的表达式，化 简即可.对于 AD ，可利用AP与AD共线予以解决.【答案】BP= AP-AB = AP-a, CP = APAC=APb,又 3 AP +4BP + 5CP = 0,3 AP+4（AP 3）+5（ AP 6）=0,化简，得 AP = 1 a +9b .设AD=tAP （tee,则 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark61 o Current Document 312Ad = 1t a+ t b. 又设 BD = kBC（YR）,由 BC = AC AB = b a

60、,得BD=k（63）. HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 312而 AD = AB+BD = a+BD,AD = a + k （b-a）= （i-k）a + kb 1t =1 -k由、，得 3解得t = 4 .代入，有 Ad = 4 a+ 5 b .5399t =k.J2平面向量中的常见错误一、忽略向量夹角的范围致错 例1设向量e1，e2满足|e1|=2,尸2|=1,且e1，e 2的夹角为60 若向量2t e 1+7e 2与e i+t e 2的夹角为锐角，求实数t的取值范围 TOC o 1-5 h z 2-21错解：.| e 1|=2, |e2