点的动力学微分方程

1、动 力 学质点(zhdin)动力学基础第9章共六十一页动 力 学 一、 动力学的任务(rn wu)质点动力学质点系动力学动力学质点系一群具有某种联系的质点，刚体可以看成(kn chn)不变形的质点系。 质 点具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。 研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。 二、 动力学的应用 动力学的形成与发展是和生产的发展密切联系的，特别是在现代工业与科学技术迅猛发展的今天，对动力学提出了更加复杂的课题。 例如：高速转动机械的动力计算、航空航天高技术、动强度分析、机械手、机器人、系统的动力稳定性等都需要动力学理论。三、 动力学的分类绪论共六十一页动 力 学 四、 动力学的

2、重点(zhngdin)章节 达朗贝尔原理(yunl) 动能定理 动量定理 动量矩定理 虚位移原理共六十一页1-1 动力学的基本定律1-2 质点运动(yndng)微分方程1-3 质点动力学基本(jbn)问题1-4 质点动力学问题的例子第一章质点动力学基础1-5 质点的相对运动动力学动 力 学目录共六十一页 第一定律(dngl) 惯性定律(dngl) 第二(d r)定律 力与加速度关系定律 第三定律 作用与反作用定律1-1 动力学的基本定律共六十一页 质点因受力作用(zuyng)而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比而与质量成反比。1-1 动力学的基本定律第一定律(dngl) 惯性定律(

3、dngl) 质点如不受力作用,则保持其运动状态不变,即作直线匀速运动或者静止。 第二定律 力与加速度关系定律第三定律 作用与反作用定律 任何两个物体间相互作用的力,总是大小相等，方向相反,沿同一直线，同时分别作用在这两个物体上。第一定律说明了任何物体都具有惯性。F = ma 第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的力，而且与物体的惯性有关。第三定律说明了二物体间相互作用力的关系。(91)共六十一页1-1 动力学的基本定律 2. 牛顿第一(dy)定律和第二定律不是在任何参考系中皆成立的。 1.F = ma该式称为质点动力学基本方程。 说 明： 3. 牛顿定律适用的参考系称为(

4、chn wi)基础坐标系。 4. 惯性参考系相对于基础参考系作惯性运动的坐标系。 5. 在惯性参考系中牛顿定律也同样适用。加速度可分为aa，ae，ar，ac， 公式F = ma中的a指的是什么加速度。 思考题共六十一页此时(c sh)弹力，摩擦力不变: 1. A与B在F作用下匀速运动，已知突然拆去F，求此时 问题5-1 质点(zhdin)动力学方程1-1 动力学的基本定律共六十一页物块沿斜面运动， 沿斜面。 故合力沿斜面(ximin)，且大小为 3. 已知 求物体所受合力。 2. 已知 悬挂重物，求绳断时 ?问题问题5-1 质点(zhdin)动力学方程1-1 动力学的基本定律共六十一页光滑圆管

5、在水平面匀速转动，管内(un ni)小球如何运动? 在x方向(fngxing)有:即 小球沿管向外运动。1-1 动力学的基本定律共六十一页 矢量(shling)形式 直角坐标(zh jio zu bio)形式 自然形式9-2 质点运动微分方程共六十一页9-2 质点运动(yndng)微分方程 设有可以自由运动的质点 M，质量(zhling)是 m，作用力的合力是 F，加速度是 a 。这就是质点运动微分方程的矢量形式。xyzrMFaO一、矢量形式共六十一页9-2 质点运动(yndng)微分方程把上式沿固定直角坐标(zh jio zu bio)系 Oxyz 的各轴投影,得 Fx , Fy , Fz

6、是作用力 F 的合力在各轴上的投影。式(9-3)是直角坐标形式的质点运动微分方程。二、直角坐标形式这就是质点运动微分方程的矢量形式。xyzrMFaO共六十一页 如采用(ciyng)自然轴系 Mtnb,并把式(1-2)向各轴投 影,可得式中是加速度 a 在切线、主法线和副法线正向的投影;Ft , Fn 和 Fb 是合力 F 在相应轴上的投影。式(1-4)就是自然形式的质点运动(yndng)微分方程。9-2 质点运动微分方程xyzrMFaOntb三、自然形式这就是质点运动微分方程的矢量形式。共六十一页 质点(zhdin)动力学的第一类问题 质点(zhdin)动力学的第二类问题9-3 质点动力学基本

7、问题共六十一页1-3 质点动力学基本(jbn)问题 质点(zhdin)动力学的两类问题: 质点动力学的第二类问题：已知力，求运动。 质点动力学的第一类问题：已知运动，求力。 解决第一类问题，只需根据质点的已知运动规律 r = r (t)，通过导数运算，求出加速度，代入(1-1) (1-4)，即得作用力 F。m a = F (9-1) 求解第二类问题，是个积分过程。 必须注意：在求解第二类问题时，方程的积分中要出现积分常数，为了完全确定质点的运动,必须根据运动的初始条件定出这些积分常数。共六十一页两类问题(wnt)1、已知运动，求力（微分(wi fn)问题）已知求是一个微分过程2、已知力，求运动

8、（积分问题），还要已知初始条件（1）力是常力例如：重力共六十一页（2）力是位置(wi zhi)的函数例如(lr)：弹簧力（分离变量法）（3）力是速度的函数例如：空气阻力两类问题共六十一页（4）力是时间(shjin)的函数例如(lr)：周期力说明：以上积分的分离形式并不是唯一的，具体如何 分离，要与所求问题相对应两类问题共六十一页9-3 质点动力学基本(jbn)问题 例题 9-1 设电梯以不变的加速度a 上升(shngshng),求放在电梯地板上重W 的物块M 对地板的压力。 分析物体 M ，它受重力 W 和地板反力 FN 的作用。ma = FN W注意到 m = W /g ，则由上式解得地板反

9、力 MMFNaWx 根据F = ma 可得解:例题 1-1共六十一页9-3 质点动力学基本(jbn)问题 例题(lt)9-1上式第一部分称为静压力，第二部分称为附加动压力， FN 称为动压力。令则1. n1, 动压力大于静压力，这种现象称为超重。2. n1, 动压力小于静压力，这种现象称为失重。所以地板所受的压力为MMFNaWx 讨论共六十一页？ 蹲在磅秤上的人站起来 磅秤指示(zhsh)数会不会发生的变化共六十一页？ 直立站在磅秤(bngchng)上的人蹲下 磅秤指示数会不会发生的变化共六十一页9-3 质点动力学基本(jbn)问题1. 明确(mngqu)研究对象；质点动力学解题步骤：2. 进

10、行受力分析，并画出受力图；3. 进行运动分析，并画出相应的运动学量，如速度、加速度、角速度、 角加速度等；4. 选择动力学定理进行分析求解。共六十一页 例题 9-2 单摆 M 的摆锤重 W ,绳长 l ,悬于固定点 O ,绳的质量不计。设开始(kish)时绳与铅垂线成偏角 0 /2 ,并被无初速释放，求绳中拉力的最大值。9-3 质点(zhdin)动力学基本问题例题 9-2OMM00nt共六十一页任意(rny)瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为写出质点(zhdin)的自然形式的运动微分方程9-3 质点动力学基本问题OMM00解: 摆锤M 在绳的约束下只能沿已知圆弧运动，用自然形式的质点用自然

11、形式的运动微分方程求解较方便。nt 以摆锤M为研究对象。选择如图自然轴系。OMM00FNWanat 例题 1-2共六十一页 考虑(kol)到则式(1)化成(hu chn)对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有从而得把式(4)代入式(2)，得绳拉力FN = W(3cos 2cos 0)显然，当摆球 M 到达最低位置 = 0 时，有最大值。故 FNmax = W(3 2cos 0)9-3 质点动力学基本问题 例题 1-2OMM00FNWanat（3）共六十一页 例题 9-3 小车载着质量为m物体以加速度a沿着斜坡(xip)上行，如果物体不捆扎，也不致于掉下，物体与小车接触面的摩擦系数至少应为多

12、少？a解：取物体为研究(ynji)对象。mgFNFayx解得9-3 质点动力学基本问题例题 9-3共六十一页要保证(bozhng)物体不下滑，应有即1-3 质点(zhdin)动力学基本问题amgFNFayx 例题 1-3共六十一页 例题9-4 粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎(fn su)矿石的能量，铁球应在=0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。 0n1-3 质点动力学基本(jbn)问题n例题9-4共六十一页 视铁球为质点(zhdin)。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧向上运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。

13、 铁球在上升(shngshng)过程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。mgFNF解：列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式 铁球在未离开筒壁前的速度，等于筒壁上与其重合点的速度。即 n9-3 质点动力学基本问题 根据F = ma 例题 9-4共六十一页解得 当=0 时，铁球将落下，这时FN =0，于是(ysh)得滚筒转速 2 . 当 时， ，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。 mgFNF9-3 质点动力学基本(jbn)问题1. 显然， 越小，要求n 越大。 讨论 例题 9-4共六十一页 例题 9-5 弹簧质量(zhling)系统，物块的质

14、量(zhling)为m ，弹簧的刚度系数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。l0mkv09-4 质点直线运动微分方程积分(jfn)的典型例子例题 9-5共六十一页 解：这是已知力(弹簧力)求运动(yndng)规律，故为第二类动力学问题。 以弹簧(tnhung)未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置 x 0 处。物块在 x 方向只受有弹簧力Fk x i。根据直角坐标系中的质点运动微分方程xxOmkFl0m9-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子 例题 9-5共六十一页9-4 质点(zhdin)直线运动微分方程积分的典型例子xxOmkFl0m 例题(lt)

15、 1-5共六十一页l0mkv0 例题 9-6 弹簧质量系统(xtng)，物块的质量为m，弹簧的刚度系数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。9-4 质点直线运动微分方程(wi fn fn chn)积分的典型例子例题 1-6共六十一页 解：以物块为研究对象。这是已知力(弹簧力)求运动规律(gul)的问题，故为第二类动力学问题。 以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡位置（称为静平衡位置(wi zhi)）为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置 x 0 处。xmkxOl0stFW9-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子列出物块的运动微分方程 根据F = ma因为所以上式为 例题 9

16、-6共六十一页 0,)sin(tAx+=jw9-4 质点直线运动微分方程积分的典型(dinxng)例子求解(qi ji)可得注意到故可得物块的运动方程xmkxOl0stFW 例题 9-6共六十一页计算结果分析(fnx)l0mkv0l0 xxOmkv01. 重力mg只改变(gibin)了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。2. 物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同，对运动微分方程的影响这一问题请同学们自己研究。9-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子 例题 9-6共六十一页9-4 质点直线运动微分方程积分的典型(dinxng)例子共六十一页 取坐标轴 Ox 铅直向下(xin xi)，原点在物体的初

17、始位置。写出物体 M 的运动微分方程9-4 质点直线运动微分方程积分的典型(dinxng)例子 例题 9-7 质量是 m 的物体 M 在均匀重力场中沿铅直线由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力 F 与速度平方成比例，即 F=v2 ，阻力系数 单位取 kg/m ，数值由试验测定。试求物体的运动规律。解:加速度为零时以 m 除式(1)两端，并代入 u 的值，得xxFWv例题 9-7共六十一页分离变量(binling),并取定积分,有 由上式求解(qi ji)v,得于是物体速度随时间而变化的规律为th 是双曲正切。9-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子 例题 9-7共六十一页于是(ysh)求

18、得物体的运动方程为为了求出物体的运动(yndng)规律，只需把式(3)再积分一次，有1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子 例题 1-7共六十一页质点(zhdin)相对运动动力学基本方程几种特殊(tsh)情形1-5 质点的相对运动微分方程共六十一页1-5 质点的相对运动(xin du yn dn)微分方程 设已知坐标系 O1x1y1z1 对于基础坐标系 Oxyz 进行(jnxng)着某种运动。以 F 和FN 代表作用于质点 M 的主动力和约束力， 对于基础坐标系 Oxyz ，有m aa = F + FN 由运动学知，绝对加速度 aa 等于牵连加速度 ae ，相对加速度 ar 和科氏加速度

19、aC 三者的矢量和，即aa = ae + ar + aCMxyzOy1z1O1aaaraeaCvrx1一、质点相对运动动力学基本方程代入上式得m(ae + ar + aC) = F + FN共六十一页则有mar = F + FN + Fe* + FC* 这就是(jish)质点的相对运动微分方程，又叫质点相对运动的动力学基本方程。 令Fe* = mae , FC*= maC1-5 质点(zhdin)的相对运动微分方程m(ae + ar + aC) = F +FNm ar = F + FNmae m aC MarxyzOy1z1O1aeaaaCvrx1 Fe*和 FC*分别称为质点的牵连惯性力和科

20、氏惯性力，通称为欧拉惯性力。共六十一页 设动系 O1x1y1z1 对于基础(jch)坐标系 Oxyz 作匀速直线运动。 牵连加速度、科氏加速度都等于零。故 设动系 O1x1y1z1 相对基础坐标系作平动。在此情况(qngkung)下,没有科氏加速度和对应的科氏惯性力。故 这时质点的相对加速度就等于对基础坐标系的绝对加速度。1.相对于平动坐标系的运动mar = F + FN + Fe* 2.相对于惯性坐标系的运动 mar = F + FN1-5 质点的相对运动微分方程二、几种特殊情形MarxyzOy1z1O1aeaaaCvrx1mar = F + FN + Fe* + FC* m ar = F

21、+ FNmae m aC 共六十一页（1）相对(xingdu)平衡F + FN +Fe* + FC*= 0 当质点相对于动系作匀速直线 运动时，称为(chn wi)相对平衡。F + FN + Fe* = 03.相对平衡和相对静止1-5 质点的相对运动微分方程几种特殊情形此时ar = 0，有（2）相对静止 当质点在动系中的位置不变时，称为相对静止。此时 vr = 0 , ar = 0 , aC = 0 , 有mar = F + FN + Fe* + FC* m ar = F + FNmae m aC 共六十一页 例题 1-8 设车厢以匀加速度 a 沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶 M0 处自

22、由(zyu)落下的质点 M 的相对运动。1-5 质点(zhdin)的相对运动微分方程x1z1y1hFe*WM0Ma例题 1-8共六十一页解:分析(fnx)质点M，取动坐标系 O1x1y1z1 固连于车厢。根据质点(zhdin)相对运动动力学基本方程mar = W + Fe* (1)其中：Fe* = mae，方向与车厢加速度 a 相反。 把式(1)向动坐标系各轴上投影,得相对运动微分方程即1-5 质点的相对运动微分方程mar = F + FN + Fe* + FC* 注意到动系作直线平动，有 x1z1y1hFe*WM0Ma 例题 1-8共六十一页当 t = 0 时,把式(2)积分，并利用初始条件

23、(3)确定积分常量，求得质点的相对运动(xin du yn dn)规律为消去时间(shjin) t 后，得到相对轨迹方程这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线。根据所选坐标系,质点运动的初始条件写成1-5 质点的相对运动微分方程x1z1y1hFe*WM0Ma 例题 1-8共六十一页 例题 9-9 细管 AB 以匀角速度 绕铅直轴 O1z1 转动，管内放一质量是 m 的光滑小球 M 。欲使小球在管内任何位置处于相对静止，或沿管作匀速相对运动(xin du yn dn)，则细管应在铅直平面 O1y1z1 内弯成何种曲线?9-5 质点(zhdin)的相对运动微分方程My1z1O1cAB例题 1-9共六十一

24、页解:设细管(x un)弯成图示形状， 取动系与弯管固连。 分析(fnx)小球，实际作用于小球的力有重力 W 和管壁的法向反力 FN。此外，当研究小球 M 相对于转动坐标系O1y1z1 的运动时，还要加入小球的牵连惯性力和科氏惯性力。 小球牵连惯性力 Fe*的大小等于 Fe* = m 2| y1 | ,其方向水平而背离铅直转轴 O1z1。9-5 质点的相对运动微分方程My1z1O1cABFe*vr 科氏惯性力 FC*方向垂直于相对速度 vr 和转轴 O1z1，即垂直于 O1y1z1平面向里；FNWaeartarn 受力分析 运动分析 例题 1-9共六十一页mar = W + FN + Fe*

25、+ FC*投影到细管曲线的切线方向，注意到相对(xingdu)静止时ar =0，相对匀速运动时art = 0，则得 Fet* Wt = 0即 my12cos mgsin = 0其中(qzhng) 是切线对O1y1 轴的倾角，由此求得切线的斜率 求出积分，并确定积分常量，得可见细管应弯成抛物线形状。由相对运动动力学基本方程9-5 质点的相对运动微分方程My1z1O1cABFe*vrFNWaeartarn 例题 1-9共六十一页9-5 质点的相对运动(xin du yn dn)微分方程OCORM 例题 1-10 一质量是 m 的小环(xio hun) M 套在半径是 R 的光滑圆环上，并可沿大圆环滑动，而大圆环在水平面内以匀角速度 绕通过点 O 的铅垂轴转动。在初瞬时， = 0， = 2 ，试写出小环 M 相对于大圆环的运动微分方程，并求出大圆环对小环M 的约束力。例题 1-10共六十一页解: 分析小环。 取动坐标系与大圆环固连，小环 M 相对于大圆环的位置(wi zhi)