平面向量数量积以及其几何意义

1、关于平面向量数量积及其几何意义第一张，PPT共十八页，创作于2022年6月定义： 一般地，实数与向量a 的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1) |a|=| |a|(2) 当0时,a 的方向与a方向相同； 当0时,a 的方向与a方向相反； 特别地，当=0或a=0时, a=0第二张，PPT共十八页，创作于2022年6月运算律： 设a,b为任意向量，,为任意实数，则有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b第三张，PPT共十八页，创作于2022年6月已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则AOB= （0 180）叫做向量a与b的夹角。OBA向量的夹角当0

2、时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAab第四张，PPT共十八页，创作于2022年6月 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）FS力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。第五张，PPT共十八页，创作于2022年6月 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab ab=|a| |b| cos定义规定:零向量与任一向量的数量积为0注意：向量的数量积是一个数量。第六张，PPT共十八

3、页，创作于2022年6月 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：ab=|a| |b| cos当0 90时ab为正；当90 180时ab为负。当 =90时ab为零。第七张，PPT共十八页，创作于2022年6月重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OAB abB1第八张，PPT共十八页，创作于2022年6月解：ab = |a| |b|cos = 54cos120 =54（-1/2） = 10例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。第九张，PPT共十八页，创作于2022年6月练习：1若a =0，则对任一向量b ，有a b=02若

4、a 0，则对任一非零向量b ,有a b03若a 0，a b =0，则b=04若a b=0，则a b中至少有一个为05若a0，a b= b c，则a=c6若a b = a c ,则bc,当且仅当a=0 时成立7对任意向量 a 有第十张，PPT共十八页，创作于2022年6月二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：第十一张，PPT共十八页，创作于2022年6月例 2：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.第十二张，PPT共十八页，创作于2022年6月例3、的夹角为解:第十三张，PPT共十八页，创作于2022年6月第十四张，PPT共十八页，创作于2022年6月练习：第十五张，PPT共十八页，创作于2022年6月小结： 1、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab ab=|a| |b| cos第十六张，PPT共十八页，创作于2022年6月重要性质:设是非零向量，方向相同的单