高中数学圆锥曲线性质的探讨本讲测评1新人教A版

1、第三讲圆锥曲线性质的探讨本讲检测一、选择题（每小题 5分，共60分）. 一个圆的正射影不可能是 （）A.圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 抛物线解析：当圆所在平面与射影平面平行时射影是圆，不平行时是椭圆，垂直时是线段答案：D.下列说法错误的是（）A.两条相交直线的平行射影还是相交直线 B.两条平行直线的平行射影还是平行直线 C.线段中点的平行射影仍然是线段平行射影中的中点 D.角的平分线的平行射影还是该角平行射影的平分线 解析：根据平行射影定义，A、B、C均正确，D是错误的. 答案：D.下列叙述中，不是圆锥曲线的是（）A.平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹 B.平面上到两个定点的距离

2、之差等于定长的点的轨迹 C.平面上到定点和定直线距离相等的点的轨迹 D.到角的两边距离相等的点的轨迹 解析：A、B、C分别描述的是椭圆、双曲线和抛物线，D是角平分线.答案：D.方程x2-3x+2=0的两根可作为（）A.两个椭圆的离心率B.一双曲线、一条抛物线的离心率C.两双曲线的离心率D.一个椭圆、一条抛物线的离心率解析：方程的两根分别为xi=1,x 2=2,椭圆:0 e1, 抛物线:e=1. 答案：B 5.一平面与圆柱母线的夹角为30 ,则该平面与圆柱面交线的离心率为（）B.C.D.解析：e=cos30答案：A6.如果椭圆两准线之间的距离为8,长轴长为4,则短轴长为（）A. -.3 B. 2

3、 3C.1D.22a = 4,a =2.C = 1.22-b= a - c = . 3,2b=2，；3.答案：Ba,则该平面与圆柱面的交线的焦距为7.圆柱的底面半径为r,平面兀与母线的夹角为（）A.2rcot aB.2rtanC.2rcosD.2rsin一 2r解析：丁 2a=sin ;.a=.sin ;又 b=r, -c= a2 -b22,一 r =rcot a ,2c=2rcot a .答案：A8.平面与圆锥轴线的夹角为30。，与圆锥面交线的离心率为、/3,则圆锥母线与轴线的夹角为（） A.30 解析：cos :- e=cos 二答案：CB.450.60D.无法确定.3.竺四. a =60

4、9.平面与圆锥轴线夹角为45则焦距为（）,圆锥母线与轴线夹角为60,平面与圆锥面交线的轴长为 2,A. .2B.0.D.cos :解析：: e=cos ,cos45c .=.c=cos60 1、2 ,2c= 2 2 .答案：B10.以圆锥曲线的焦点弦（过焦点垂直于轴）和相应的准线相交，则这样的圆锥曲线是（）A.不存在的B.椭圆解析：由圆锥曲线的结构特点知选答案：A0.A.双曲线D.抛物线11.已知平面内有一条线段AB=4,动点P满足（）PA-PB=3,O为AB的中点，则PO的最小值为A.1B.0.2D.32解析：由双曲线的定义，知P的轨迹是以轴长为3,焦距为4的双曲线，于是当P在双曲线顶点时,

5、PO 最小,PO=a= 3 .2答案：B12.椭圆的四个顶点 ABCD若菱形ABCD勺内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是() 3-53 ,55-1A. B. C. D.5 14. 11C C解析：由题息知一ab= c 4a +b ,22.c4-3a 2c2+a4=0.由 aw。，.( c)4-3( c)2+1=0. a a.e4-3e 2+1=0.5 -1解得e=-一.答案：C二、填空题(每小题4分，共16分)13.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2,在右支上过F1的弦AB的长为5,若2a=8,那么 ABF2的周长是.解析：由双曲线的结构特点：AF2-AF1=8,BE-BF1=8.两式相加得

6、AE+BE-AB=16,.AF2+BF2=16+AB=21. .ABF2 的周长=AF2+BF2+AB=21+5=26.答案：26.设椭圆的两个焦点分别是为F1、F2,过F2作长轴的垂线交椭圆于点P,4PFF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为.解析：PF1F2是等腰直角三角形，. .PF2=F1F2=2c,PF1=2、.2 c.由椭圆的定义，得PR+PE=2a.2c 2c.e= =2a 2c 2、2c 1, 2=： J2 -1.答案：2 -1.过抛物线的焦点F作直线交抛物线于 PQ,分别过P、Q作准线的垂线，A、B为垂足，则4AFB 的形状是.E图3-3解析：由抛物线定义知 PA=PF,过F

7、作F已AB,如图,则/ PAF4 PFA.又 PA/ FE, / PAF4 AFE.同理，/EFB4 BFQ. / AFE吆 BFE=/ AFP吆 BFQ=90 . AFB是直角三角形.答案：直角三角形16.如图3-4,已知过双曲线的焦点Fi作MNLF 1F2,以MN为直径的圆恰好过双曲线的顶点A,则双曲线的离心率等于 .图3-4解析：连结MA NA, 则 / MAN=90 ,.FiA=FiM.a+c=-,即 b2=a2+ac.a又 b2=c2-a2,a 2+ac=c2-a 2. c 2-ac-2a 2=0. （ 一） - -2=0. - e -e-2=0.结合 e1,a a解得e=2.答案：

8、2三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）求证：三角形的中位线平行射影具有不变性解：已知：ABCQE是其中位线，它们的平行射影分别是 A B C和D E,如图3-5,图3-5求证:D E仍然是 A B C的中位线 .证明：连结 AA、EE、CC，则 AA / EE / CC , ,. AE=EC.A E =E C.同理,A D =D B.D E是AA B C的中位线.F,顶点为A,准线l过F作PF AF.以A为原点，以AF.若 PF=p,18.(12分)如图3-6,抛物线的焦点为所在直线为横轴建立平面直角坐标系 求证:(1)F的坐标为(P,0);2(2)准线l的方程为x=- P

9、.2证明：由抛物线结构特点知 PB=PF,AH=AF, .AH=AF=1 PB=P .22. .(1)F的坐标为(,0).(2)l的方程为x=- -p.i19.(12分)若椭圆的一个焦点为F,A、B分别为顶点，如图3-7,离心率为 三5二1,求/ABF.解析：设椭圆的长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c,图3-7贝U AB= a2 b2 ,AF=a+c,BF=a.cosZ ABF=AB2 BF2 - AF22AB *BC22222a2 b2 a2 -(a2 2ac c2)2AB *BF2AB *BFc.5-1 e =-=a 2 .a2-ac-c 2=0. cosZ BAF=0.，/ABF=90

10、.F1F2的弦且双曲20.（12分）如图3-8,已知Fi、F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过Fi且垂直于线的离心率为 2 +1,求/ PF2Q.图3-8解析：设双曲线的实轴为 2a,焦距为2c,则PE-PF1=2a,F iF2=2c. 在RtPFR中PF= . PF22 - Fi F22 ,2_ _ 2PF2- . PF2 - Fi F2 =2a.2c 又. e= = . 2 +1, , 2a=2(2 -1)c.2aPF2- . PF22 -4c2 =2( 2-1)c.解之，得 PF2=2 J2 c./F1F22c 2cos / PF2Fi = =.PF22.2c 2 / PF2Fi=45 .

11、由对称性，. /QF2Fi=45 . / PF2Q=90 .21.（12分）如图3-9,已知Fi是双曲线的焦点,A是顶点，l i、12是其准线,l 1、lPF交于Bi、B2,以B为顶点,A为焦点的抛物线交双曲线于PQ,且而1 =e.其中2分别与轴线FiAe是双曲线的离心率，求e.图3-9解析：过P作PML1 1,PF由离心率定义得一1=e,PM由条件叫二e.PAPFi PFi1-=L = 1-L. /.PM=PA.PM PA又是抛物线的焦点li是抛物线的准线肌Bi=B2A,BiB=2a-C2B 2A=a-c2a2 _-ac.解之,得一=3. - e=3.a22.（14分）已知圆锥的母线与轴线的夹角为“，圆锥嵌入半径为 R的Dandelin球，平面兀与圆锥面的交线为抛物线，求抛物线的焦点到准线的距离.图 3-10解析：设F为抛物线的焦点，A为顶点,FA的延长线交准线 m于B,AF的延长线与PO交于点C. 连结OR OA.平面兀与圆锥