高中数学培优训练一含详细解析及答案

1、高中数学培优训练一高等数学一直以来被莘莘学子认为是不可逾越的大山， 其实不然，只要掌握适当的方法与技巧，多进 行一些培优训练，多对思维做一些培优性的练习，就一定能克服困难，成为“学霸” ，轻松解决试卷 中的培优题！ ！1.已知椭圆C:22x ya2b21 a b 0的离心率为 亚，后下2是椭圆的两个焦点,4P是椭圆上任意一点，且PF1F2的周长是8 2 15(1)求椭圆C的方程;2 o 4(2)设圆T： x ty2 ,过椭圆的上顶点作圆9T的两条切线交椭圆于 E,F两点，当圆心在x轴上移动且t 1,3时，求EF的斜率的取值范围.f X 1 ,.若函数f X是定义域D内的某个区间I上的增函数，且

2、Fx 在I上是减函数，则称 y f X是I上的2单反减函数 ，已知f x lnx, g x 2x - aln x(a R) x(1)判断f x在0,1上是否是“单反减函数”；(2)若g x是1, 上的“单反减函数”，求实数a的取值范围.如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 底面ABCD,底面ABCD是梯形，其中AD/BC , BA AD , AC 与 BD 交于点 O, M 是 AB 边上的点，且 AM 2BM,已知 PA AD 4 , AB 3, BC 2.(1)求平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切；(2)已知N是PM上一点，且 ON 平面PCD,求 里 的值.PM.已知等差数列an满

3、足a11,a?、a73、a8成等比数列，数列bn的前n项和Tnan1 (其中a为正常(1)求an的前项和Sn；(2)已知 a2N , Ianbn，求 I nr r5 .设 R, f x a b ,已知f x满足rr其中 a cosx,sin x ,b sin x cosx,cos( x) 2(1)求函数f x的单调递增区间;(2)求不等式2cos(2x -) J3的解集6.(本题满分14分)各项为正的数列an满足a1an 12an,(n N ),(1)取an 1 ,求证：数列 免 an是等比数列,并求其公比;(2)取一一12时令bnan 2,记数列bn的前n项和为Sn ,数列bn的前n项之积为

4、Tn,求证：对任意正整1Tn Sn为定值7.(本题满分 15分)函数 f(x) 2axy 1,(a b 0),离心率 e b 2bx a b(a,b R,a 0), g(x) 2ax 2b(1)若 0,2时，求f(sin )的最大值;设a 0时，若对任意R,都有| f (sin )阿1恒成立,且g(sin )的最大值为2, f (x)的表达式.8.(本题满分15分)已知椭圆2 x2 a(1)求椭圆方程;(2) Rt ABC以A(0,b)为直角顶点，边 AB,BC与椭圆交于B,C两点，求 ABC面积的最大值.9.(本题满分14分)已知函数f (x) x2 (2a 1)x aln x, a R(1

5、)当a 1,求f (x)的单调区间；a1时，求f (x)在区间1,e上的最小值； 1g(x) (1 a)x,右 x0一,e 使信 f(x0) g (0)成立，求 a 的氾围.e10.(本小题满分13分)已知抛物线一 2 一 , -.C1: y2px(p 0)的焦点F以及椭圆22C2: 2 -21(a b 0)的上、下a b焦点及左、右顶点均在圆 O:x2 y2 1上.(1)求抛物线Ci和椭圆C2的标准方程;uuruuur uuu uur(2)过点F的直线交抛物线 Ci于A、|B两不同点，交y轴于点N ,已知NA 1AF,NB2BF,求证：12为定值.11.(本小题满分12分)已知数列 an的前

6、项n和为Sn ,点(n,Sn)(n N )均在函数f (x) 3x2 2x的图象上。(1)求数列an的通项公式;(2)设bn 3,Tn是数列bn的前n项和，求使得22015对所有n N都成立的实数的范围.anan 112.(本题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD 中,ADC 90, CD/|AB,|AB 4, AD CD 2,将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC ,得到几何体 D ABC ,如图2所示.(1)求证：BC 平面ACD ;(2)求几何体D ABC的体积.编RAA2A3A4A5AA7AAA10直径1. 511. 491 . 491 . 511 . 491 . 511 . 4

7、71 . 461. 531 . 4713.(本题满分12分)有编号为 A,A2,A0的10个零件，测量其直径(单位：cm),得到下面数据:其中直径在区间1. 48, 1. 52内的零件为一等品.(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个.(i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果；(ii )求这2个零件直径相等的概率.11rLrur r.(本题满分12 分)已知向量 p= ( 2sin x , J3 cos x),q= ( sin x,2sin x ),函数 f (x)= p q(1)求f (x)的单调递增区间;(2)在 ABC中，a,

8、b, c 分别是角 A, B, C的对边，且 f (C) =1, c= 1, ab=2j3,且 ab,求 a, b 的值.(本题满分14分)已知f(x) mx aln x m, g(x) 7,其中m,a均为实数， e(1)求g(x)的极值；(2)设 m = 1,a = 0 ,求证：对x,x23,4(x1x,),|f (x2)f (x,)|-e-2-e恒成立；gM) g(x1)|(3)设a 2,若对 给定的x00,e ,在区间0,e上总存在力力t2)使得f(L) f(t2) g(x0)成立,求m的取值范围.16.(本小题满分13分)已知椭圆22%哈 1,(a b 0)的离心率e= * * * 6

9、3x与椭圆交于A, B两点，Cuuu OA,(0,2),求 OEF面积的最大值.(本小题满分12分)已知数列an的前项n和为Sn,点(n, Sn)(nN )均在函数f (x) 3x22x的图象上。(1)求数列an的通项公式；一3 .I(2)设bn ,Tn是数列bn的前n项和，求使得2Tn2015对所有n N都成立的实数的范围.anan 1.(本题满分12分)如图1在Rt ABC中，ABC 90 , D、E分别为线段AB、AC的中点，AB 4,BC 2加.以DE为折痕，将Rt ADE折起到图2的位置，使平面 A DE 平面DBCE ,连接AC,AB,设F是线段| AC上的动 uuruuir点，满

10、足CF CA .(1)证明：平面 FBE 平面ADC ;(2)若二面角F BE C的大小为45,求 的值.(本题满分12分)雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图 (如图)，其中上学路上所需时间的范围是 0 ,100,样本数据分组为0 , 20), 20 , 40), 40 , 60) , 60 , 80), 80 , 100.(1)求直方图中x的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生 1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需

11、时间少于20分钟的人数记为 X,求X的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）ur-rur r.(本题满分12 分)已知向量p= ( 2sin x , J3 cosx), q= ( sin x,2sin x ),函数 f (x) = p q(1)求f (x)的单调递增区间；(2)在 ABC中，a, b, c 分别是角 A, B, C的对边，且 f (C) =1, c= 1, ab=2j3,且 ab,求 a, b 的值.参考答案166一，1825【解析】试题分析：（1）利用椭圆的离心率和椭圆的定义得到a,b,c的关系式进行求解；（2）设出圆的切线方程，利用直线E,F的坐标，求出斜与圆相切，

12、得到k,t的关系式以及两条切线的斜率的关系，分别联立切线与椭圆的方程，求得率，再利用函数的单调性求其最值试题解析：（1）由e15,可知a 4b ,4c ,T5b因为 PF1F2的周长是8 2而，所以2a 2c 8 2届,2所以a 4,b 1,所求椭圆方程为y得 1 16kl2 x2 32klx 0 1 1416（2）椭圆的上顶点为 M 0,1 ,设过点M与圆T相切的直线方程为由直线ykx1与T相切可知即 9t2 4 k2 18tk 5 0k1 k218t9t2 4k1k259t2 4y x1632kl-21 16kl同理Xf32k2-21 16k2yEyFXe1k2XF 1k1xEk2xFXe

13、XfXeXfXeXfk1 k2 6t1 16k1k228 3t211分当1 t 3时，f t一6Lp为增函数，故EF的斜率的范围为 _6,1814 分28 3t25考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系.(1)不是；(2) 0 a 4.【解析】试题分析：(1)先判定f(x)的单调性，则利用导数判定F(x)的单调性即可；(2)根据定义，将函数的单调性转化为导函数恒为正或恒为负进行求解试题解析：1)由于f(x) lnx,在0,1上是增函数，且 F(x)f (x) Inx xF (x) 1-l-n-x ,x 0,1 时，F (x) 0 , F(x)为增函数,x即f

14、 (x)在0,1上不是“单反减函数”；6 分(2)，、八2,、g(x) 2x aln x, g (x) x_ 2_2x2 ax 22，xg(x)是1, 上的“单反减函数”，g (x) 0在1,恒成立，, . . I ._ I.g (1) 0,即 a 0,9 分又G(x) g 2 -22 anx在1,是减函数，x x xG(x) 0在1, 恒成立，即-43 a(1 2n刈 0在1,恒成立,32x x即ax axln x 4 0在1, 恒成立， 11分令 p(x) ax axln x 4,则 p(x)aln x ,a 0.gc,解得0 a 4,p(1) 0综上所述0 a 4.14 分考点：1.新定

15、义型题目；2.函数的单调性与导数的关系 TOC o 1-5 h z 21(1)(2) 1.22【解析】(2)根据线面平行试题分析：(1)作出辅助线，利用有关垂直得到二面角的平面角，再利用直角三角形进行求解;的性质，得到线线平行，进而利用平行线分线段成比例求解试题解析：(1)连接CM并延长交DA的延长线于E ,则PE是平面PMC与平面PAD所成二面角的棱，过 A作AF垂直PE于F ,连接MFPA 平面 ABCD , PA MA,又 MA AD, MA 平面 PDAAF PE , MF PE ,MFA是平面PMC与平面PAD所成锐二面角的平面角 3分BC 2, AD 4, BX / AD, AM

16、2MBAE 4,又 PA 4,AF 22tan MFAMA I l ：:：-2FA 2所以平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切为(2)连接MO并延长交CD于G,连接PGON 平面 PCD, ON / PG在BAD中,吆型1又独工OD AD 2 MA 2BO BMOD MAMO/AD9又在直角梯形ABCD中，MO OGON/PG, PN MN ,所以PN 1PM 212分3 2 55, 、4. (1) Sn n n ；(2)5858In0,a 1n an 1na ,a 0,a 1a 1试题分析:(1)设an的公差是d ,利用首项与公差表示有关项,利用等比中项求出公差，再利用等差数列的求和公式

17、进行求解；（2）利用错位相减法进行求和 TOC o 1-5 h z 试题解析：(1)设an的公差是d ,则 22Q a2a8a7 31 d 1 7d 1 6d 3,3八d 1或d 4 分29,.一_.1.1当 d=1 时，Snn 1-nn 11-nn 122当 d 时，Snn 1 - nn 1 n2 n6 分292295858(2) Q a2 Nan n当n 1时，b a 1当 n2时，bnTnTn1 an1a 1Q b|a 1a11 a1 bnan 1a 1 n N *8 分当 a 1 时，bn 0 In 09 分-2n 1In 1 a 1 2a a 1 3a a 1 na a 1aln2a

18、 a 1 2a a 1n 1nn 1 a a 1 na a 11 a I n a 1 a a 1n nanna 1 na a 1n naan 1a 111 分0 a 1 TOC o 1-5 h z Inn 112 分n n a 1naa 0,11,a 1考点：1.等差数列的求和公式；2.等比中项；3.错位相减法.5- （1） k -, k k Z ;（2） x | k x k - k Z . 636【解析】f (x)化成试题分析：（1）利用平面向量的数量积公式求得f（x）的表达式，由f _ f 0求出 值，再将3试题解析：（1） f xAsin（ x ） k的形式，利用三角函数的图象与性质进行

19、求解；（2）利利用三角函数的图象解不等式即可cosx sin x cosx sin xcos x2sin xcosxcos一 2sin xsin 2x cos2x 2f x 3sin 2xcos2x 2sin2x 一 62k _ 2x _ 2k k Z ,得 k262f x的单调递增区间是(2) -.1 4cos(2x ) 2,3 , cos(2x 一) 662k 2x62k - k Z6不等式的解集是12考点：1.平面向量的数量积;2三角函数的图象与性质6. （1）证明见解析，公比为1+52;（2）证明见解析.试题分析：（1 ）由已知得递推关系0nl2 anan 1an2即为 an 1ana

20、n21 an2 10 ,两边同时除以an得/ an 1、2 an 1(一)一 1ananan 1an（舍去）,这就说明数学15an是等比数列，2就是数列的公式.（2 ）由已知an 12an2anan12an(an 2),这样就有bnan1an2 an 1Tn（2；：）an(2)n12另一万面，an2an12 anan 12anan 1 an12为常数.and 1anan 1一,1Snb1b2Lbna1an 1,所以 2n 1TnSn试题解析：（1） an 12an一 anan 12an 1an 1On2an两边同除a2可得：(%n2 * *曳，1 0 曳2 ananan因为an 0,所以亘二

21、业5为常数，故数列a是等比数列，公比为an 2an1+ .52an由 an 1 an2an 1 an (an 2)2an21 an2 an 1所以 Tnb1 b2L bn1al1 a21 an)(注L (2U1 na1(2)(an1)(2)n+11 ( an1 an2an2an 1 2an2 an 12 anan+12an an+111anan 1所以 Sn b1 b2 L bn =2 ，故 2n+1Tn Sn=2 为定值. ai an 1 an 1考点：等比数列的证明，数列的递推公式.(1) |a b|; (2) f (x) 2x 1.【解析】试题分析：(1 )求f (sin )的最大值，实

22、际上设t sin由已知得t 0,1,问题转化为要求f (1) a b(b a)X max f(0)b a(b a)出令 sin t -1,1,则 | f | 1|f(0)| 1,|f(1)| 1,|f(-1)| 1,因为 a 0, 所以 g(sin )max g(1) 2,而g2a 2b 2而 f (0) b a -1而 t 1,1时，| f (t)| 11 f(t) 1 ,结合f （0）-1可知二次函数的顶点坐标为(0, 1)所以 b 0,a 1 ,所以 f(x) 2x2 1.考点：换元法，二次函数的性质.,271 ; (2) -8 .2x 9(1) y29试题分析：（1）把点（2&,1）的

23、坐标代入方程22xy22ab，可解得a 3,b 1；（2）从已知1，把直线AB方程代入椭圆方程求出 B点坐标,从而求得S ABCAB1|ab|ac|1k2 118kk2AC1看18k k22、162 (1 912)(91) 162219(k2 k2) 82,用换元法（设t1 c 一，2）可求得 kS ABC最大值.试题解析：（1）由e得 a 3b,把点(2 J2,3)带入椭圆方程可得:(2 2)2(3)29b2b2(2)不妨设x 1的方程x n t(n N ,0 t 1),则的方程为1。y2 X9kx得:(1 9k2)x2 18kx 0XB18k2 ，1 9k2118k -k用 一代入，可得X

24、c 2,从而有 ABk9 k2,1 k218k1 9k2AC2、S ABC 1 AB AC 162)-2(1 9k2)(9 k2)1629(k2k 1 k1) 82k人 ,1 八k 2,有S由162t29t2 641622764 9t827当且仅当t= g 2 , (S ABC)max 胃.38考点：椭圆的标准方程，椭圆的综合问题，直线与椭圆相交问题.9.(1)f（X）的单调区间为0，22,11,(2)范围为e(e 2)e 1试题分析：（1）将af (x)f(x)mina(ln a a 1),1 a e2e (2a 1)e a,a e21代入函数得f （x） x 3x 1nx，求导即可得其单调

25、区间(2x 1)(x a) (x ，令 f (x),两种情况.（3）x01 ,ee使得;(3) a 的（2 ）求导得1 xX a或2 .下面对a分情况讨论.由于a 1,故分1 a e和a ef (x0)g (x0)成立，意即不等式f(x) g(x)1一，e在区间 e上有解，即2x 2x a(ln x x) 0 在1,ee 上有解1x , e又当 e 时，In x 0 x ,当 x 1,e 时，In x 1 x, In x x 0,所以问题转化为x2 2xx In x在区间1,ee 上有解，这只需a小于等于函数2-x 2xy，口X Inx的最大值即可.利用导数便可求得2-x 2xy i X In

26、 X的最大值.试题解析：(1)当a 1, f (x) x1在区间 -,e上有斛 e 3x lnx,定义域0,1(2x 1)( x-1)f (x) 2x 3xf (x)在110，22,11,综上f(x)min即 x2 2x a(ln x x)-1，一0在一,e上有解 e f(x)”f(x)0,当1 a e时,x|1,aaa,ef (x)-0+f(x)极小值f (x) min f (a) a(ln a a 1)当 a e时，f (x)在 1, a a,f (x)在1,e , f (x)minf (e) e2 (2a 1)e aa(ln a a 1),1 a e2e (2 a 1)e a, a e2

27、x 2x a x ln x1一,e 时，ln x 0 x,当 x 1,e 时，In x 1 x, In x x 0 e令 h(x) x 2x,h1(x) (x 1)(x 2 2lnx) x In x(x In x)1x -, e , x 2 2 2ln x e，一、, 一、x -,1 时，h (x) 0, h(x) , x 1,e, h(x) e101 e(e 2)e(e 2)h(-)e%eQh(e) / 0e 1 1e 1ex 1,e 时，h(x)max h(e) e(e 2) ee 1e(e 2)a的取值范围为,e（e 2）14e 1考点：1、导数的基本应用；2、导数与不等式.10. (1

28、) C1：y2 4x , C2 ：21; (2)详见解析.2试题分析：（1）求出圆O: x21与坐标轴的交点，即可 p, b,c及a的值，从而得抛物线和椭圆的方程.（2）由（1）可得F（1, 0）,故可设直线AB 的方程为 y k(x 1)(k 0),A(x1，y。，B(x2, y?),则 N(0, k).uuuuuur由 NA 1AFuunuum,NB 2BF得,1(1x1)x1, 2(1 x2) x2,整理得,x11, 21x1X21x2则(X x2) 2x1x21 (为 x2) 2x1 x2-.联立方程组4x,k(x 1),消去y得：k2x2(2k2 4)x k2 0 ,显然用根与系数的

29、关系即可使问题得到解决.试题解析：（1）由C1: y2 2px（p 0）焦点F（222,0)在圆 O:x y21上得：卫-1 p 24所以抛物线C1： y2 4x2分22y x22同理由椭圆C2：勺 1(a b 0)的上、下焦点(0,c),(0, c)及左、右顶点(b,0),( b,0)均在圆O: x2 y2 1 a b上可解得：b c 1, a 2 2得椭圆C2 ： x2 y- 1 2 2 22 y总之，抛物线C1 : y 4x、椭圆C2 : x 16 分2(2)设直线 AB 的方程为 y k(x 1)(k 0), A(x1, y1) , B(x2, y2)，则 N(0, k).、/,y2

30、4x,联立方程组 y 消去y y k(x 1),得：k2x2 (2k2 4)x k2 0,2k2 416k2 16 0,故 x1 x2k2 ,x1 x2 1. uuu uuur uuruum由 NA1AF , NB2BF 得，1 (1Xi)x1, 2(1 x2)x2整理得,(XiX2)2x1x2131 (XiX2)x1x2考点：1、抛物线与椭圆的标准方程;2、直线与圆锥曲线. TOC o 1-5 h z XiX21, 21Xi1X2(1) an 6n 5； (2)2016.试题分析：（1）将点（n,&）（nN ）的坐标代入函数f （x）3x22x得Sn3n22n.当n 1时，a1 ；当n 11

31、11时，an Sn Sn 1 .由此即可得通项公式.（2）用裂项法可求得 Tn 一 （1 ），因为 0，所以Tn2 6n 1 6n 12即2Tn 1. 2Tn2015对所有n N都成立， 12015由此得 2016.试题解析：（1）点（n,S）在函数f（x） 3x2 2x的图象上,Sn 3n2 2n当 n 1 时，a1 & 3 2 1当n 2时，an2Sn Sn1(3n2n)3( n 1)2 2(n 1)6n 55当n 1时，6n 1 1符合an 6n 5( n N )6(2)bn3anan 13(6n 5)6(n 1) 51112 6n 5 6n 1116n 5 6n 1 TOC o 1-5

32、 h z 1,1111277 1310分2Tn 1又2Tn 2015对所有n N都成立12015故 201612分考点：1、数列；2、不等式.（1）详见解析；（2）几何体D ABC的体积为AC ,而 由(I)【解析】试题分析：(1)两个平面互相垂直，则一个平面内垂直交线的直线垂直于另一个平面.在本题中，BC平面ADC 平面ABC ,平面ADCI平面ABC AC , BC 平面ADC . (2)可将面ACD乍为底面, 知BC为三棱锥B ACD的高，由三棱锥的体积公式即可得几何体D ABC的体积.试题解析：(1)证明：在图1中，可得AC BC 2J2 ,从而 AC2 BC2 AB2,故 AC BC

33、,方法一：取 AC的中点O ,连接DO ,则DO AC,又平面ADC，平面ABC ,平面ADC 平面ABC AC , DO 平面ADC ,从而DO 平面ABCDO BC,又 AC BC, AC DO O , BC，平面 ACD 6 分(方法二：因为平面 ADC 平面ABC平面ADC I平面ABC AC又因为Q AC BC, BC 平面ABCBC平面ADC分)(2)解 由(l)知BC为三棱锥B ACD的高，BC 272 , S ACD 2 CVB ACD114.2-S acd BC - 2 2 23334 2由等体积性可知，几何体 D ABC的体积为一J.312 分考点：1、空间线面的垂直关系；

34、2、几何体的体积.313. (1) p =-；5(2) (i )所有可能的结果有：A1 , A?,A, A3,A, A4,A,As,A,As,A2 , A3,A2 , A4,A2, A5,A2,A6,A3, A4A3, AA3, As , A4, A5 , A4 , As ,A5, A6(ii )【解析】试题分析：(1)由于一等品零件共有 6个，所以从10个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为P(A) - .(2)10 5(i )根据题设知一等品零件的编号为A1.A2.A3.A4.A5.A6 ,从这6个一等品零件中随机抽取 2个，所有可能的结果 TOC o 1-5 h z 有：A),A2,A,

35、A3,A,A4,A,A5, A,A , A2,A3,4，A , A2,A5 , A2,A6, A3,A4 , A3,A5,A3, A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6.共15种.(ii )解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”的所有可能结果有：人，为，人，儿，A4,A6,A2, A3,A2,A5,A3, A5,共有6种.根据古典概型概率公式知6除以总数15即得所求概率.试题解析：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A,63则 P(A) 4分10 5A3, A4 ， A3, A5 ,(2) (i)解：一等品零件的编号为 A1.A

36、2.A3.A4.A5.A6 ,从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：A1 , A3,A1 , A4,A, A5,A , As,A2,A3，A2 , A4，A2,A5，A2 , A6，A3, A3 , A4, A5 , A4 , A6 , A5, Ab .共 15 种.8 分(ii )解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有: A), A4,A1, Ab,A4, Ab,A2, A3,A2, A5,A3, A5,共有 6 种.所以 P(B) - - .12分15 5考点：1、基本事件；2、古典概型.14. (1) f (x)的单调增区间是k ,k

37、-(k Z) ,(2)a= 2, b=J3.36【解析】试题分析：(1)根据数量积的坐标运算得：f (x) =2sin2x+ 2j3sin xcos x = 2sin (2x+ ) 1,由2kjt w 2x+ w 2k 兀十 一得 k % 一 一 w xW k u + . (2)由 f (C) = 2sin (20+ 一 ) - 1 = 1, sin (20+ ) = 1,从而得0=一.62,22,整理得a2+b2=7,联立ab=2j3解方程组可得a=2, b=J3.c a b c cosC = 2ab试题解析：(1) f (x) = 2sin 2x+ 2 J3sin xcos x=1 + c

38、os 2x +2 “ 3 sin xcos x=-73sin 2x +cos 2x 1 = 2sin (2x+) 1由2k兀一一22x+ 一6b,a= 2, b =12分.考点：1、三角函数；2、三角恒等变换;3、解三角形.15. (1)极大值为g(1) 1 ,无极小值;(2)详见解析;(3)试题分析：(1)利用导数求解；(2)将 代入得f (x) x 1f (x)在3,4上是增函数.ex x y eg(x)在 I3,4上是增函数.不妨设3xix24f(X2)- f(x1),则原不等式转化为ex2ex1g(x2) g(xi)f(X2)-g：2),(凶)常1)exXh(x) = f (x)= x

39、- e - 1,，令g(x),则只需证 h(x)在3,4上是减函数即可.(3)由(i)可得g(x) 0，1要在区间0，e上总存在t2。1 3使得(2)g() ()必须满足以下几点：第一，f(x)的极值点(而且只能是一个极值点)必在区间0,e内；第二，g(x)在0,e上的值域包含于f(x)在0,e上的值域；第三，当x接近0时，函数值应大于1;第四，f (e m) 1.试题解析：(1) g(x)e(x 1)xe,1,1, g(x)极大值g(1) 1 ,无极小值;(2) Q m = 1,a = 0 ,f(x) x 1在3,4上是增函数exg(x)在3,4上是增函数设3 x1x2 4,则原不等式转化为

40、 f(x2)- f(x1)ex2g(x2)exg(x1)f d)-ex2ex f (x)-g(x2)g(x1)ex令 h(x) = f (x)= x - e - 1,g(x)即证 x1 x2, h(x2) h(x1)，即 h(x)在 3,4_xQ h (x) =1 - e 0 在3,4恒成立即h(x)在3,4，即所证不等式成立9分 由(1)得 g(x)在 0,1, 1,e,g(x)max g(1) 1所以,g(x) 0,1f (x) m，当 m 0 时，f (x) 0, f (x)在0, e,不符合题意当m 0时,要 tj 使得 f(tjf(t2),那么由题意知f(x)的极值点必在区间 0,e

41、内，即02一，22,且函数f (x)在0,2 ,e m2 一由题息得g (x)在Qe上的值域包含于f (x)在0,一 和 m2一,e m上的值域2,e 内, mf(2 3) m f(e)2卜面证t 0,一时,mf(t)人xx-3令 w(x) 2e x, w (x) 2e 1 0,在e 1内恒成立3w(x) , w(x) w() 0, 2e m 0e 1再证mmm33f(e ) 1, f (e ) me m m 1, m e 1e 114考点：1、导数的基本应用；2、导数与不等式.1; (2) OEF的面积的最大值为, uuu试题分析：(1)点A在直线y x上，故不妨设A(t,t)(t 0),这

42、样 OA (t,t),UULTuuu uuurOC (0,a),因为 OAOC3a t _ .又点A在椭圆上所以,2t2 t2h生口+- 1 ,再由离心率得 a2b2222 一 .、 一 .一，加上a b c ,联立解方程组即可得:22a2 3,b2 1,从而得椭圆的方程为:).设 E(xi, y)F(x2, y2),c 6ax22,+ y1 ; (2)由(3 uuur uuurEF中点为M (x0, y0),根据OE OFuuu OA,(0, 2)可得M (3,44）,然后利用点差法可以求出直线EF1的斜率kEF-用点斜式可得直线 EF的方程为:3,这样OEF的面积可用含式子表示出来，从而利

43、用函数或不等式即可求出OEF的面积的最大值.试题解析：（1）根据题意，不妨设uuu0, OA1-uuir(t,t) , OC (0,a)t2t2a2+b21联立解得:22a 3,b椭圆的方程为:2X 2 d+y 13 设 E(xn yi), F(X2, y2),EF中点为M（X0, y0）,uuu uuuruuuQ OE OFOA,2xoXiX2Q E,F在椭圆上，则2y02X132X2322X1 -X222-12 yy03 y1y2yi2y12y2y22相减可得,y1y2kEF X1x2x1x2y1y2直线EF的方程为:3y2，代入3y1 2 1整理得:4y22 .3yiy2yi.y2EF2

44、2KX2V1V210 vi y2Q原点O 0,0到直线EF的距离为h 、3h .101112 TOC o 1-5 h z 当J2时等号成立，所以OEF得最大值为 Y3。13 分2考点：1、直线与圆锥曲线；2、函数的最大值.(1) an 6n 5；(2)2016.【解析】试题分析：(1)将点(n,Sn)(n N )的坐标代入函数f (x) 3x2 2x得8n 3n2 2n .当n 1时，a1 S ;当n/_ 1111时，an Sn Sn 1 .由此即可得通项公式.(2)用裂项法可求得 Tn - (1 )，因为 0 ,所以Tn2 6n 1 6n 12即2Tn 1.2Tn2015对所有n N都成立，

45、12015由此得 2016.试题解析：(1) 点(n,S)在函数f(x) 3x2 2x的图象上，2-Sn 3n 2n当 n1时，aS1 3212分当 n2时，an SnSn1(3n22n)3(n1)2 2(n 1)6n 55分当n 1时，6n 1 1符合an 6n 5( n N )6分(2)bn3anan 13(6n 5) 6(n 1) 51112 6n 5 6n 11111111 - 277 13 6n 5 6n 1110分2Tn 1又2Tn 2015对所有n N都成立 TOC o 1-5 h z 12015故 201612考点：1、数列；2、不等式.（1）证明详见解析；（2）13【解析】试

46、题分析：（1）要证明两平面垂直， 应证其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.在本题中，由于F是一个动点，这意味着不论 F在何处，都有平面 EFB 平面A DC,故必有BE 平面A DC ,所以考虑证明 BE 平面 ADC .（2）设BE交DC于O点，连OF结合（1）题的结论可知，点F在平面BEC内的射影必在OC上.作FG DC, 垂足为G则 FOG为二面角F-BE- C的平面角.另外，以 D为坐标原点DB DE, DA分别为OX OY, OZ轴建 立空间直角坐标系，利用空间向量也可解决.试题解析：（1）Q平面ADE 平面DBCE,AD DE .AD 平面 DBCE .AD BEQ D,E分别为

47、中点，DE 1BC V2, BD tan BEDgtan CDE 0CDE 90o得 BE DC . . BE 平面 A DC ,又 BE 平面 EFB ,平面EFB 平面A DC(2)作FG DC ,垂足为G,则FG 平面DBCE,设BE交DC于O点，连OF,由(1)知，FOG为二面角F- BE- C的平面角7 分由 FG/AD, -FG- CF , FG AD 2 AD CAAB 22分22在直角三角形DEB中，Qtan BEDBDBD2v 2, tan CDE DECB2BED同理，得CG CD, DG (1 )CD 2.3(1)BD DE 2 3Q DO , . OG DG DO 2M

48、1BE 3在 RtOGF 中，由 tan FOG 92尸 110OG 2 3(1)；3312方法2： Q BE平面A DC设BE交DC于O点，连OF解得, TOC o 1-5 h z 则 FOC为二面角F-BE- C的平面角7分又Q DB 2,CB 272CD 2734 3八由 DO:OC 1:2得 OC 二一8分3在直角三角形 A DC 中 A CD 30 , AC 4 , Q FOC 45 /. OFC 105由W三得CF 4毡从而得，至1克12分 sin105 sin 753CA 3方法3:(向量法酌情给分)以D为坐标原点DB,DEDA分别为OX OY OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标

49、分别为D (0, 0,0),A(0,0, 2), B (2, 0, 0),C (2, 2y/2 , 0), E (0,0).uur(1) BE uur - uuur2, 2,0), DC (22 2,0), DA (0,0,2)uuu BEuurDC4 4 0, . BE DC,uur BEuuur DA0, BE DA又 DC I DA D , . BE平面ADC又BE 平面FBE 所以平面FBE 平面ADCuuuuuuruuiv-(2)设 CF CA CF ( 2,2 2,2) F (2 2 ,2 2 2 2 ,2 )设平面BEF的法向量为ruuu _uuurn (x,y,z)QBE( 2, 2,0), BF(2 ,2 22 2 ,2 )2x ,2y 02 x (2.2 2 .2 ) y 2 z 0 什r八取n (，展，32)8分ur又Q平面BEC的法向量为n (0,0,1) cos45 I32| =得 3 2 62 03 2 (32)22解得12考点：1、空间两平面的垂直关系； 2、二面角.19. （1） x=0.0125.（2）1200名新生中有144名学生可以申请住宿.X：01234P812727312566412864256（3） X的分布列为:X的数学期望为1 .【解析】试题分析：（1）直方图各小矩形的面积之和为1,据此即可得 x