高中数学必修一三角函数图像性质总结精华版

1、.正弦、余弦、正切函数图象和性质函 数正弦函数y sin x,x R余弦函数y cos x, x R正切函数 y tan x, x k 2有界性有界有界无界定义域(,)(,)x | x k , k Z 2值域1,1当 x 2k (k Z)时，ymax12当 x - 2k (k Z)时， 2y min11,1当 x 2k (k Z)时，ymax 1当 x2k (k Z)时,ymin1(,)周期性是周期函数，最小正周期 T 2是周期函数，最小正周期 T 2T奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于 y轴对称奇函数，图象关于原点对称单调性在2k ,- 2k , (k Z) 22上是单调增函数在

2、-2k , 2k , (k Z) 22上是单调减函数在 2k ,2 2k , (k Z)上是单调增函数在2k , 2k , (k Z)上是单调减函数在(一k , k ),(k Z)22上是单调增函数对称轴x k 一，(k Z) 2x k ,(k Z)对称(k ,0) (k Z)(k ,0) (k Z) 2k(三 ,0) (k Z)中心正弦函数、余弦函数、正切函数的图像y=sinxy=cosxy=tanxy.y=cotx三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y=tanx；偶函数：y= cosx.(2)八敏+河型三角函数的奇偶性 (i ) g

3、(x) =&磔期 + 如(x R)(x)为偶函数*双F)=以或O 力sin(皈十 如): jdgin(-皈五)匕 sin ac。工/二 0(” R)7Tcos p- 0 O 中二七升十上 wZ) 由此得2；(五)同理，且=用皿(m +顼它的为奇函数献五)二a+矽5E式)O sin 二 0 0 飙二 k或k E 2)双幻二小。虱8 +的 为偶函数 09二化巩此2)；虱力二式曲十防 为奇函数7TT而H + MT的最小正周期为，；(iii) y = sin 4x + cos4x 的最小正周期为 2 .由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性(1)基本三角函数的单调区间(族)依从

4、三角函数图象识证“三部曲”：选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；写特解：在所选周期内写出函数的增区问(或减区问)；获通解：在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族(或减区间族)循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.(2) y=J(收-型三角函数的单调区问此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为换元、分解：令u=mx4,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , 口 =祈+中;套用公式：根据对复合函数单调性的认

5、知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u的不等式；还原、结论：将u=*/代入中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:Zy sinxy cosxy tanxy cotxy Asin x(A0)定义域RRx | x R 且 x k 1 ,k Z2x| x R且x k ,k ZR值域1, 11, 1RRA, A周期性222奇偶性奇函数单调性 2k ,22k 2上为增函；2k ,2k 偶函数奇函数2k 1k ,一 kk2k 22上为增函上为增函数数数(k Z )2k ,2k 1 上为减的函(k Z )0,非奇非偶奇函数当

6、0,奇函数上为减函数(k Z ),k 1(k Z上为减函）2k2k212(A),-(A)上为增函数；2k2(A),-(A)2k32上为减函数（k Z ）注意：ysinx与y sinx的单调性正好相反；y cosx与y cosx的单调性也同样相反.一般地,f （x）在a,b上递增（减），则y f（x）在a,b上递减（增）2)ysin x 与 y cosx的周期是 .sin( x )或 y cos( x )0）的周期T 2xtan 一2的周期为2（TT，如图，翻折无效）. y sin(x ）的对称轴方程是）,对称中心（k ,0）; y cos（ x）的对称轴方程是x ktan(x ）的对称中心（k

7、 ,0).2y cos 2 x原点对称y cos( 2x)cos 2x当tan tan1,(k Z) - tan 2tan1,k . (k2Z).D y cosx 与 ysin x 2k2是同一函数，而y）是偶函数，则1、，、y ( x ) sin( x k - ) cos( x).2函数y tanx在R上为增函数.（X）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,y tanx为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数:f( x)f(x),奇函数：f( x) f (x)奇偶

8、性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx是奇函数,tan(x1 ）是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若0 x的定义域，则f（x）一定有f（0）0. (0 x的定义域，则无此性质）9 y sinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T ）;cosx是周期函数（如图）；ycos x为周期函数（Ty= cos|x| 图象cos2x1的周期为 （如图），并非所有周期函数都有最小正周期,例如:f(x) 5f (x k),k R. y a cosbsin a2 b2 sin( )cosy.y=| cos2x+1/2|图象、形如yAsin( x )的函数:1、几个物理量：A一振幅；f 1频

9、率T（周期的倒数）一相位;一初相;2、函数y Asin（ x ）表达式的确定：A由最值确定;由周期确定;由图象上的特殊点确定，如f （x） Asin（ x)(A 0,0, |图象如图所小，则f（x）=(答：f(x)2sin(15x22-22万）的3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B ,最小值是B A,周期是2,最小正周期频率是f ,相位是 x ,初相是 2其图象的对称轴是直线k 2(k Z)是该图象与直线y B的交点都是该图象的对称中心。4、研究函数y Asin（ x ）性质的方法：类比于研究y sin x的性质，只需将y Asin（ x中的x 看成y si

10、nx中的x,但在求y Asin（ x ）的单调区间时，要特别注意 A和符号，通过诱导公式先将化正。如（1）函数y sin（ 2x 一）的递减区间是3(答：k 12 卜 12(k Z)； TOC o 1-5 h z -x33(2) y log 1 cos(- )的递减区间是(答：6k ,6k 一( k Z);23 4445、函数y Asin( x )图象的画法：(1)利用“五点法”作函数 y Asin( x ),x R (其中A 0,0)的简图，是将x看着一个整体，先令 x 0-, ,2列表求出对应的x的值22与y的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。图象变换法：这是作函数简图

11、常用方法=由y sin x图象推y Asin( x ) k的图象6.函数y Asin( x ) k的图象与y sin x图象间的关系：图象变换上、所有点的纵坐标伸长(A 1)或缩短(0 A 1)到原来的A倍(1)振幅变换 y sinx,x Ry A sin x, x R1所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的一倍(2)周期变换ysinx,xRy sin x,x R二八、所有点向左(0)或向右(0)平移| |个单位长度(3)相位变换ysinx,xRy sin(x ),xR(4) 上下平移(纵向平移变换):是由k的变化引起的.k0,上移；k0)或向右(0) y sin x的图象 平移| |

12、个单位长度得y横坐标伸长(0 1)V sin(x )的图象 到原来的1(纵坐标不变),纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A1)y sin( x )的图象为原来的a倍(横坐标不变)向上(k 0)或向下(k 0) y Asin( x )的图象平移|k|个单位长度(二)先伸缩后平移纵坐标伸长（A 1）或缩短（0 A 1）y sinx的图象为原来的a倍（横坐标不变） 得y As1nx横坐标伸长（01）或缩短（1）.y Asinx的图象到原来的1（纵坐标不变） 得y Asin（ x）y Asin( x)的图象向左（0）或向右（0）平移一个单位得 y Asin x( xa .,、 向上（k 0）或向下（k 0

13、）_ a_、 一y Asinx（ x ）的图象平移1k个单位长度得y Asin（ x ） k图象无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 特别注意，若由y sin x得到y sin x 的图象，则向左或向右平移应平移| |个单位，例如：函数y 2sin（2x ） 1的图象经过怎样的变换才能得到 4y sinx的图象（答：y 2sin（2 x -） 1向上平移1个单位得y 2sin（2 x ）的图象，再向左平移一个单位得y 2sin 2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y 2sin x的图象，最后将纵坐81 一标缩小到原来的一即得y sinx的图象）； 2三、正切函数y tanx的图象和性质：（1）定义域：x|x k ,k Z。（2）值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；2（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线y a的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其 周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变， 其它不定。 如y sin2 x, y sinx的周期都是 ，但y sin x cosx的周期为3 ,而1y |2sin（3 x ） - |,