第一类曲线积分课件

1、第一节 第一类曲线积分第1页，共31页。一、曲线积分的概念本章要点二、第一类曲线积分的计算方法第2页，共31页。 1.柱面的面积一、第一类曲线积分的概念 设 是一张母线平行于 轴，准线为 平面上曲线的柱面的一部分，高度为求曲面的面积. 分析 若 是常量，则曲面面积为曲线的长度与 之积. 即:第3页，共31页。由此得到曲面面积的近似值其中: s为曲线的弧长. 若 不是常量，则考虑用分割的方法求之. 在曲线L上插入 个分点 在小弧段 上取点 并用 作为相应小柱面的高度，从而得到小柱面的面积的近似值第4页，共31页。即，曲面的面积可以表达为一个和式的极限.以 表示 个小弧段的最大长度，在上式取 时的

2、极限，则有第5页，共31页。 2.曲线型构件的质量 设一曲线型构件，在 平面上为曲线 密度函数为 求此曲线构件的质量. 分析 如果 为常数，则质量为密度与弧长之积，即:若 为变量，仍然考虑分割：在曲线上插入 个分点在小弧段 上取点第6页，共31页。由此得到小弧段质量的近似值:由此得到小弧段质量的近似值:以 表示 个小弧段的最大长度，在上式取 时的极限，则有第7页，共31页。 3.曲线积分的定义定义 设 是 平面内以 为端点的光滑曲线，函数 在 上有界. 在 上任意插入一个点列把 分成 个小段，设第 个小段的弧长为在上任取一点 作和第8页，共31页。即：记 如果当 时，和式的极限存在，则称此极限

3、为数量值函数 在曲线 上的积分，记作第9页，共31页。注：1.此类曲线积分又称为第一类曲线积分或对弧长的曲线积分:4.由前面的讨论，可以看到柱面的面积可以由下面的计算公式得到2.如果 是 上的连续函数，则曲线积分一定存在；3.若 是闭曲线，则曲线积分一般表示为第10页，共31页。而曲线型构件的质量为5.由曲线积分的定义，不难得到如下的两个性质: 有第11页，共31页。若曲线弧 由曲线弧 和 连接而成的，则 由此得到，若 是分段光滑曲线， 在 上连续，则曲线积分存在.第12页，共31页。二、第一类曲线积分的计算方法 设平面光滑曲线弧 由参数方程给出，函数 在 上连续，则第13页，共31页。 下面

4、给出公式推导过程:该点列对应于一列单调递增的参数值由第一类曲线积分的定义 设参数 由 变至 时， 上的点 依点 到点在 上从 到 取点列第14页，共31页。由积分中值定理，得其中， 因取 则第15页，共31页。而等式中的最后一式为函数在区间 上的定积分. 而由于被积函数连续，故第16页，共31页。积分存在，因而特别地，若曲线由方程给出，则相应的曲线积分为第17页，共31页。 若曲线由极坐标形式 给出，则代入积分公式(1)，即有第18页，共31页。若对空间分段光滑曲线 是曲线上的连续函数，则第19页，共31页。例1 求 其中解 故，由积分公式，得第20页，共31页。例2 求 其中解 代入相应的积分公式，有第21页，共31页。第22页，共31页。解 由曲线积分的几何意义，得 其中 为平面曲线 为锥面方程函数取 为积分变量，则有例3 求圆柱面 介于平面 和锥面 之间的侧面积第23页，共31页。将 代入积分表达式，再由对称性，得第24页，共31页。解 由微元素法，得 ，故例4 求曲线段 绕 轴旋转所得曲面的面积.1第25页，共31页。例5 设空间曲线，方程为质量密度为 求曲线的质量解 由曲线型构件的质量计算公式:第26页，共31页。例6 求心形线 的形心解 由对称性，得 ，第27页，共31页。弧长故， 由此得到重心坐标： .第28页，共31页。例7 求 其中 为连 的线段.解 线段的