高中数学数列知识点整理

1、数列1、数列中an与Sn之间的关系：Si , (n 1)an注意通项能否合并Sn Sn 1,( n 2).即 an an2、等差数列：定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,* TOC o 1-5 h z .L，.Q=d , ( n 2, n N ),那么这个数列就叫做等差数列。? ；I等差中项：若三数a、A、b成等差数列a* 飞通项公式：an ai ( n 1)d am (n m)d或-an pn q ( p、q 是常数).前n项和公考： ,J -(*)= T =n n 1 n a anSn na1d常用性质：+ 0才Jn 为递减数列；iii) dan为常数列;数

2、列 an 为等差数列aan pn q ( p,q是常数)之若等差数列an飞前n项和Sn ,则Sk、S2 k Sk、S3k S2k?是等差数列。3、等比数列定义：如果一数，从第做等比数列。t J2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫等比中坝：带三数a、G、b成等比数列 G2 ab, ( ab同号)。反之不一定成立。通项公式：a n a1qnn mamq前n项和公式：Snai常用性质m, n, p, q N ,则 am anap aq ；ak , ak m , ak 2m ,为等比数列，公比为 q k (下标成等差数列，则对应的项成等比数列D数列.an(为不等于零的常数)仍

3、是公比为q的等比数列；正项等比数列anIg an曷公差为1g q的等号数却“ _f I 51 1右an是等比数列，贝Ucan , an 2 , “1 ,anran(r Z )是等比数列，公比依次是q 单调性:a1 0, q 1 或 aK0,0 q 0,0 1=5an为递减数列；为常数列;0 an为摆动数列;既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。若等比数列 an的前n项和Sn ,则Sk、S2 k Sk、S3k S2k ? 是等比数列.4、非等差、等比率列胆项公式的求法_类型I 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时， 一般对所给的项观察芬桥，寻找规 律，从而根据规律写出此数列的一个通项。公

4、式类型n公式法：若已知数列的前S1ann项和Sn与an的关系，求数列 an的通项an可用Sn Sn 1 ,(n1)构造两式作差求解。2)用此公式时要注意结比有两种可能,一种是“一分为二”(要先分n*1 和 n2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一9 0类型田累加法:形如an 1anf (n)型的递推数列(其中f (n)是关于n的函数)可 构造:an a1 f (n 1) TOC o 1-5 h z n1 n 2 f ( n 2) q4* +*+.4a2 aif (1)将上述n 1个式子两边分别相加，可得：an f (n 1) f (n 2)f (2) f (1) a 1 ,( n 2)若f

5、(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 若f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和若f (n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和若 f (n)他关于n的分式函数，累加后可裂项求和类型IV累乘法:/、1I(其中f (n)是关于n的函数)可构造:物制an t=an f(n)1所=f (n)型的心推数列Il *tj3nann 5f (nan 1f (n 2)an 1an 2 a2f (1) a1将上述n 1个式子两边分别相乘,可得:an f (n 1) f (n 2)f (2) f (1)a 1 ,( n 2)套时若不熊直接用，回变源成.这种形式，然后用整种方法求解。

6、类型v构造数列法：形如 an 1 pan q (其中p,q均为常数且p 0)型的递推式:(1)若p 1时，数列 an 为等差数列；， + = + (2)若q 0时，数列 an 为等比数歹U ;(3)若p 1且q 时，数列 an 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比 数列来求.方法有如下两种：pan ( p 1),与题设设法一：gn 14 p(an),展开移项整理得 an 1T/afc.panq比较系数(待定系数法),(P0)anp(an 11p 1-q构成以Jp 1ai比数列.再利用等比数列的通项公式求出为首项,1+-4* I 法二：.3 一由 an 1 pan q 得 an pan

7、 1q的通项整理可得 an.p 1 anq(n 2)两式相减弁整理得 nanan 1 an电成以a2 a1为11典，以p为公比的等比数列 .求出an 1类型田(累形如an 1panf (n) ( p1)型的递推式：当f (n)为一次函数类型(即等差数列)时:法一：设 a An B p a A(n 1)B ,通过待定系数法确定成以a1 A B为首项，以 p为公比的等比数列甲 Tan An式求出n 4 An + B)的通项整理可得 an.法二：当f (n)的公差为d时，由递推式得:anp(an1以p为公比的等J1anp,即an 1an的通项再转化为、 的值，转化A BB,再利用等比数列的通项公J二

8、 pan+ f(n), Tan = pan 计 f (n1)两式相减得：a a p(a a ) d，令n 1 nnn 14 一 = =b a a 得:n n 1 n1,第 , 一pb d转化为类型n 1 .v 求出bn ,再用 类型田(累加法)便可求出an .当f (n)为指数函数类型(即等比数列)时:f (n) p an 1 f (n 1)=,通过待定系数法确定的值，转化成以aif (1)为首所,以 p学;公上的等药数列an f (n),再利用等比非列的通项公式求出()a#f n的通项整理可得 an .法二:an pan1当 f (n)f (n的公比为q时，由递推式得:an 1 pan f

9、(n),减得an 1anq1),两边同时乘以q得an qpqan 1 qf (n 1)，由两式相an 1 qanp(an qan 1)，即 an qan 1p ,在转化为类型v便可求出an .器一q,法三：递推公式为an 1 pan qn （其中p，q均为常数）pannrq（其中p,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以得：an 1an辅勘皴列bn （其中bnan ),得.bn1bn再应用q n 1类型v的方法解决。当f （n）为任意数列时，可用 通法：在an 1 panf （n）两边同时除以 pn可得到an 1 an n 1nf (n)，令annbn ，则bn 1bn,在转化为类型田（

10、累加法）p求出bn之后得an类型VI对数变换法:ampa q ( p0-an0y 型的递推式:在原递推式an 1pa q两边取对数得lg aq lg an lg p，令qb lg p ,化归为 a一 nn 1panq型，求出b之后得bnbnlg an得:（注意：底数不一定an = 10 .要取10,可根据题意选择）类型口倒数变换法:形如an 1anpan 1anCp为常数且0 ）的递推式： 两边同除于an 1an ,转化为形式，花归为 an 1 pan q型京油1 日勺表达式,再求an a n 1还有形如an=o-十an 1man的递推式，+而可采点取倒数方法转化成an 1panpan q 1

11、q型求出的表达式，再求anXq anm形式，化归为+类型皿+形如an -2- pan 1 qan用待定系数法，化为特殊数列 anan 2kan 1型的递推式:an 1 的形式求解。方法为：设h（an 1 + kan ）水上作交系数得 h k p, hk q ,可解得h、k ,于是 an 1 kan 是公比为h的等比数列，这样就化归为 an 1 pan q型。对不能转化为以上方法般地，当数列的通项 an(a,b i,b2, c为常数)时，往往可将总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,5非等.、等比数列前n项和公式的求法错位相减法若数列-an为等差数列， 数列 bn为等比数列，

12、则数列 an bn的求和就要采用此法将数列an bn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列an bn的前n项和.此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法裂项相消法设anan b 1 an Cnm 1 Cnm1 Cnm；(anbi)( an b 2 )变成两项用二差，采用裂项相消法求和.可用待定系数苣进行裂项十,通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 b2c ,从而可得 TOC o 1-5 h z b2bic c 1- 144=(儿 I(an b i)(an b 2 ) (b2 bi ) an b 1 an b 2常见的拆项公式有:111;n(n 1) n n 1=1 ；2)11 ( 11 );(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 11-(a b);a b1)! n!. 二分组法求和有一类数列，既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可