高中数学空间向量与立体几何知识解析新人教A版必修2

1、专题补充学习-空间向量法解决立体几何问题一.知识回顾：1、空间向量的坐标运算：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.令 a =（81,82,83）, b= （“，b2,b3）,则 a + b = （a1土且2土bza?土b?）*a=0aia2a3)(九 R)a b = a1bl a2b2 a3b3a / b= a1= :b1 ,a2=九 b2,a3=九 b3(九 e R)a - b = a1bl a2b2 a3b3: 0a3（用到常用的向量模与向量之间的转化2cos a, ba bab1 a2b2 a3b3|a| |b| /a2 a2

2、 向最最2、空间两点的距离公式:d = /(X2 - X1)2 (y2 - y1)2 (Z2 - z1)2专题提纲一、引入两个重要空间向量1、直线的方向向量；2、平面的法向量。二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；（1）直线与直线的位置关系；（2）直线与平面的位置关系;（3）平面与平面的位置关系2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量：把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量 中，由A（X1,y1,Z1）与B（X2,y2,Z2）确定的直线 AB的方向向量是.如图1,在空间直角坐标系Z小 b BAB = (X

3、2 - X1, y2 - yZ2 一 乙)x1 xy1yz1 z = 0 x2xy2 yz2z = 0.平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在的直线 垂直于平面a ,称这个向量垂直于平面 a ,记作n a , 这时向量n叫做平面a的法向量.在空间直角坐标系中，如何求平面法向量的坐标呢如图2,设a=（ x i,y i,z 1）、=（x2,y 2,z 2）是平面a内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知，若na 且 n,b,贝Una.换句话说，若 n a = 0.求平面的法向量的坐标的步骤第一步（设）：设出平面法向量的坐标为n=（x,y,z）.第二步（歹U）:根据n - a =

4、0且nb = 0可列出方程组第三步（解）：把z看作常数，用z表示x、y.第四步（取）：取z为任意一个正数（当然取得越特殊越好），便得到平面法向量 n的坐标.【例题赏析】例1:在棱长为2的正方体ABCD-ABGD中,0是面AC的中心，求面OADi的法向量.立体几何问题的类型及解法.判定直线、平面间的位置关系（1）直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为 a ,b.若a / b,即a=入b,则a / b.若 ab, IP a - b = 0,则 a，b【例题赏析】例2:已知平行六面体 ABCD-ABGD的底面ABC比菱形,Z CCB=Z GCDW BCD=0 ,求证：CC iBD

5、Bi(I)A iE，平面 DBC；(II)AB i / 平面 DBCAi(3)平面与平面的位置关系平面a的法向量为 ni ,平面3的法向量为n2【例题赏析】例5:如图在正方体【例题赏析】例 4:正方体ABCD-ABGD中，E、F分别是BB、CD的中点，求证：面AEDL面AiFDzx2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角，不用再把这两条异面直线平移，求出两条异面直线的方向向量，则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补，我们仅取锐角或直角就行了.ABCD-ABiCiD中,M是AB的中点，则对角线DB与CM所成角的余弦值为(2)直线与与平面所成的角若n是平面a的法向

6、量，a是直线0 = - ( n 下图).nL的方向向量，则L与a所成的角0 = - 或T| cos a, n | 二 |1;|a n|a| |n|a| |n|2因此0ji2arccosI a n I1ali n I【例题赏析】例6:正三棱柱ABC-ABC的底面边长为a,高为,等若与侧面ABBAi所成的角（3）二面角设ni、n2分别是二面角两个半平面 a、3的法向量，由几何知识可知，二面角 a -L- 3的大小与法向量ni、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦、二

7、面角是锐二面角n、二面角G - -遛钝二面角m , nTH （正值）-l -【例题赏析】 例7:在四棱锥 S-ABCD中/ DABhABC=90，侧棱SAa底面 AC, SA=AB=BC=,1AD=2求二面角 A-SD-C 的大小.(2)点到平面的距离A为平面a外一点(如图)，n为平面a的法向量，过A作 平面a的斜线AB及垂线AH.| AH |=| AB | sin 二-| AB | | cos :二 AB,n |I AB| AB n|AB| |n| AB n|n |于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值【例题赏析】例 9 :在直三棱柱 ABC-AB1C1中,AA产,AC=BC=1,/ ACB=90 ,? 求Bi到面AiBC的距离.2? 空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法