高中数学必修2-直线与平面的位置关系知识点总结与练习

1、第三节空间点、直线、平面间的位置关,叁知识能否忆起一、平面的基本性质名称图示文子表小付万表/、公理1如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么这条直线在此平面内ACl, BCl,且 AC a,B oc?l? a公理2过/、在一条直线上的三点，有且只什-个平面公理3如果两个不重合的平向有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线pc %且 pc 傥“n 3=l,且 PC l二、空间直线的位置关系.位置关系的分类.平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.异面直线所成的角（或夹角）（1）定义：设a, b是两条异面直线，经过空

2、间中任一点 O作直线a / a, b / b,把a 与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角.一兀(2)范围：0, 2 .三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平囿a内1?无数个直线l与平囿a相交l a= A一个直线l与平囿a平行l 1 a0个四、平面与平面的位置关系位置关系图示付万表/、公共点个数两个平囿平行all 30个两个平囿相交aCl 3= l无数个(这些公共点均在交线l上)1.三个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内.(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.

3、(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线.(1)判定方法：反证法；利用结论即过平面外一点与平 面内一点的直线与平囿内不过该点的直线是异向直线，如图.(2)所成的角的求法：平移法.平囿的基本性质及应用例1 (2012湘潭模拟)如图所示，在止方体 ABCD- 为A1A的中点，典题导入-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F2.异面直线的有关问题求证：CE, DiF, DA三线共点.自主解答-EF -CDi ,直线DiF和CE必相交.设 DiF A CE= P,.P DiF 且 DiF?平面 AAiDiD ,. PC 平面 AAi Di D.又P C EC且CE?平面AB

4、CD ,. PC 平面 ABCD,即P是平面 ABCD与平面AAiDiD的公共点.而平面 ABCDn平面 AAiDiD = AD. PC ad. CE、DiF、DA三线共点.本例条件不变试证明 E, C, Di, F四点共面.证明：/E, F分别是AB和AAi的中点，i _. EF 触/iB.又 AiDi 触 BiCi 触 BC.四边形AiDiCB为平行四边形. AiB /CDi,从而 EF/CDi. EF与CDi确定一个平面.E, Ci, F, D四点共面.由题悟法.证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直 线上.证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所

5、给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余线 （或点）均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别 确定平面，再证平面重合.以题试法1. （1）（2012江西*II拟）在空间中，下列命题正确的是（）A.对边相等的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形-一定是平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形对于四面体 ABCD,下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号 ）.相对棱AB与CD所在直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是 BCD三条高线的交点；若分别作 ABC和 ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面;分别作三组相对棱中点

6、的连线，所得的三条线段相交于一点.解析：(1)由“两平行直线确定一个平面 ”知C正确.(2)由四面体的概念可知， AB与CD所在的直线为异面直线，故正确;由顶点A作四面体的高，只有当四面体 ABCD的对棱互相垂直时，C其垂足是 BCD的三条高线的交点， 故错误；当DA = DB, CA=CB时，这两条高线共面，故错误；设 AB, BC, CD, DA的中点依次为E, F, M, N,易证四边形 EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故正确.答案：(1)C (2)异面直线的判定典题导入例2 (2012金华卞II拟)在图中，G, N, M, H分别

7、是正三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线GH, MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)自主解答图中，直线GH/MN;图中，G, H, N三点共面，但 M?面GHN,因此直线GH与MN异面；图中，连接 MG, GM/HN,因此GH与MN共面;图中，G, M, N共面，但H?面GMN,因此GH与MN异面.所以图中GH与MN异面.答案由题悟法.异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线

8、，与平面内不过该点的直线是异面直线.以题试法.已知m, n, l为不同的直线，a, 3为不同的平面，有下面四个命题：m, n为异面直线，过空间任一点 P, 一定能作一条直线l与m, n都相交.m, n为异面直线，过空间任一点P, 一定存在一个与直线 m, n都平行的平面.江& aA 3= l, m? a, n? 3, m, n与l都斜交，则 m与n一定不垂直；m, n是a内两相交直线，则 a与3相交的充要条件是 m, n至少有一条与 3相交.则四个结论中正确的个数为 （）B. 2C. 3D. 4解析：选B错误，因为过直线 m存在一个与直线 n平行的平面，当点 P在这个平 面内且不在直线 m上时

9、，就不满足结论；错误，因为过直线 m存在一个与直线n平行的 平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；正确，否则，若 mn,在直线m上取 一点作直线a 1,由 n 3,彳导a, n.从而有n a,则nl；正确.异面直线所成角典题导入例3 （2012大纲全国卷）已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F分别为BBi, CCi的 中点，那么异面直线 AE与DiF所成角的余弦值为 .自主解答连接DF,则AE/DF,RiFD即为异面直线 AE与DiF所成的角.2设正方体棱长为a,. cosZDiFD*a2十2当a*a252 a5则 DiD = a, DF= 2 a,由题悟法求异面直线所成的角

10、一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角, 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.以题试法3. (2012唐山*II拟)四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为 迎底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与RA所成角的余弦值为()解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD为正方形，故CD/AB,则CD与PA所成的角即为 AB与PA所成的角/ PAB,在ARAB内，PB=FA = g AB =2,利用余弦定理可知：PA2+AB2-PB25+45

11、 J5cos / PAB = -c 、/ E 、/ a=-=r= nr.2X PAX AB2X 2X 75 5小题能否全取.（教材习题改编）已知a, b是异面直线，直线 c平行于直线a,那么c与b（ ）A .异面B.相交C.不可能平行D.不可能相交解析：选C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b / c,则a / b.与a, b是异面直线相矛盾. （2012东北三校联考）下列命题正确的个数为（）经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. TOC o 1-5 h z A. 0

12、B. 1C. 2D. 3解析：选C 错误，正确.已知空间中有三条线段 AB, BC和CD,且/ ABC=Z BCD ,那么直线 AB与CD的位置关系是（）AB/ CDAB与CD异面AB与CD相交AB / CD或AB与CD异面或 AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果 AB, BC, CD构成等腰三角形，则直线 AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直 线.（教材习题改编）如图所示，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F分别是AB, AD的中点，则异面直线 BiC与EF所成的角的大小为解析：连接BiDi, DiC,则 BiDi /EF,故/Di

13、BiC 为所求，又 BiDi= BiC= DiC, JDiBiC=60.答案：605.（教材习题改编）平行六面体ABCDAiBiCiDi中既与AB共面又与CCi共面的棱的条数为.解析：如图，与AB和CCi都相交的棱有 BC;与AB相交且与CCi 平行的棱有 AAi, BBi;与AB平行且与 CCi相交的棱有 CD, CiDi, 故符合条件的棱共有 5条.答案：5第四节直线、平面平行的判定及性质知识能否忆起一、直线与平面平行i.判定定理文字语百图形语百符号语后判定定理平囿外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则直线与此平囿平行a? ab? a 2aH ab / a2.性质定理文字语百图形语百符号

14、语后性质定理一条直线与一个平囿平 行，则过这条直线的任 一半囿与此平囿的交线a II a._a?_3?a / b加片b与该直线旺、平面与平面平行1.判定定理文字语百图形语百符号语后判定定理一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行a? ab? aan b=P?a/ 3_aj_3b/ 32.两平面平行的性质定理文字语百图形语百符号语后性质定理如果两个平行平囿同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行all 3加尸a ?aH ben-b1.平行问题的转化关系: 判定 判定线/线|判定 性质|线/面下店引面/面|性质.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化

15、，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反， 但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.辅助线（面）是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有 关平行性质的应用.线囿平行、囿囿平行的基本问题典题导入例1 (2011福建高考)如图，正方体 ABCD AiBiCiDi中，AB = 2, 点E为AD的中点，点F在CD上.若EF /平面ABiC,则线段EF的长 度等于.自主解答因为直线 EF/平面 ABiC, EF?平面 ABCD ,且平面ABiCn平面ABCD = AC,所以EF/AC.又因为点 E是DA的

16、中点，所以F是DC的中点，由i .,中位线定理可得EF = /C.又因为在正万体 ABCDAiBiCiDi 中，AB=2,所以 AC=2/2.所以 EF = /2.答案本例条件变为“ E是AD中点，F, G, H, N分别是AAi , AiDi, DD i与DiCi的中点, 若M在四边形EFGH及其内部运动”，则 M满足什么条件时，有 MN/平面AiCiCA.解：如图,1.GN /平面 AAiCiC,EG/平面 AAiCiC,又 GN AEG = G,平面 EGN /平面 AAiCiC.当M在线段EG上运动时，恒有 MN /平面AAiCiC.由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：

17、(i)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视.(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.以题试法(1)(2012浙江高三调研)已知直线1/平面& PC a,那么过点P且平行于直线l的直 线()A.只有一条，不在平面a内B.有无数条，不一定在平面a内C.只有一条，且在平面a内D.有无数条，一定在平面a内解析：选C由直线1与点P可确定一个平面 3,且平面 3有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m,因为1/ %所以1/ m,故过点P且平行于直线1的直线只有一条，且在平面”内.(2)(2012潍坊模拟

18、)已知m, n, 1i, 12表示直线， 3表示平面.若 m? a, n? a, 1i?3, 12? 3, 11n 12 = M,则a/ 3的一个充分条件是()A.m /3 且11 /bB . m / 3 且 n / 3C.m /3且n /12D . m /11 且 n / 12解析：选D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项 D可推知all 3直线与平面平行的判定与性质典题导入例2 (2012辽宁高考)如图，直三棱柱 ABCA B CZBAC = 90, AB= AC=/2, AA =1,点 M, N 分别为 A B 和B C的中点.(1

19、)证明：MN/平面 A ACC;(2)求三棱锥 A - MNC的体积.(锥体体积公式 V = ,Sh, 3其中S为底面面积，h为高)自主解答(1)证明：法一：连接AB、AC,因为点M, N分别是A B和B C的中点，所以点M为AB的中点.又因为点N为B C的中点，所以 MN /AC.又 MN?平面 A ACC,AC ?平面 A ACC,因此MN /平面A ACC.法二：取A B的中点P.连接MP.而点M, N分别为AB与B C的中点，所以 MP/AA,PN /A C所以 MP/平面 A ACC , PN/平面 A ACC.又 MPAPN=P,因此平面 MPN/平面A ACC.而MN?平面 MP

20、N ,因止匕MN /平面A ACC(2)法一：连接 BN,由题意得 A NB，C,平面 A B C n平面 B BCCB C,所以 A N,平面 NBC.1_,又 A N = /B C =1,故VaMNC= Vn A MC =Vn A BC= Va， NBC =16.法二 ： Vamnc = Vanbc Vm nbc =lVa，nbc = J.26由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平 面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线.以题试法(2012淄博模拟)如图，在棱长为 2的正方体

21、ABCD AiBiCiDi 中，E, F分别是BD, BBi的中点.(1)求证：EF /平面 AiBiCD;(2)求证：EFXADi.解：(i)在正方体ABCD AiBiCiDi中，连接BiD ,在平面BBiD内，E, F分别为BD, BBi的中点, . EF /BiD.又. BiD?平面 AiBiCD.EF?平面 AiBiCD,. EF /平面 AiBiCD.) . ABCD-AiBiCiDi 是正方体,. ADiXAiD, ADi AiBi.又 AiDA AiBi = Ai,ADd平面 AiBiD. ADiXBiD.又由(i)知，EF /BiD, .-.EFlADi.平面与平面平行的判定与

22、性质典题导入例3 如图，已知ABCD AiBiCiDi是棱长为3的正方体，点E 在 AAi 上，点 F 在 CCi 上，G 在 BBi 上，且 AE= FCi = BiG=1, H 是 BiCi的中点.求证：E, B, F, Di四点共面；(2)求证：平面 AiGH/平面BEDiF.自主解答(i)在正方形AAiBiB中,-.AE= BiG= i ,. BG = AiE=2,. BG 触 AiE.四边形AiGBE是平行四边形. AiG /BE.又 CiF 又 BiG,四边形CiFGBi是平行四边形. FG 触 Ci Bi 糠 DiAi.四边形AiGFDi是平行四边形. AiG 糠 DiF. Di

23、F 糠 EB.故E, B, F, Di四点共面.一 一一3(2)H 是 BiCi 的中点，BiH = 2.BiG 2又 BiG= 1 ,z =二BiH3一 FC 2 一又不=2,且/FCB = /GBiH = 90。,BC 3ZBiHGsBF.zBiGH = ZCFB=ZFBG. HG /FB.GH?面 FBEDi, FB?面 FBEDi, ，GH /面 BEDiF. 由(i)知 AiG/BE, AiG?面 FBEDi, BE?面 FBEDi, AiG/面 BEDiF.且 HG AAiG = G,，平面 AiGH /平面 BEDiF.由题悟法常用的判断面面平行的方法(i)利用面面平行的判定定理

24、；(2)面面平行的传递性(/ & 3/ ?/力；(3)利用线面垂直的性质(l _L a, l _L 3? a /队以题试法(2012北京东城二模)如图，矩形 AMND所在的平面与直角梯形 MBCN所在的平面 互相垂直，MB / NC, MNXMB.(1)求证：平面 AMB/平面 DNC;(2)若 MC，CB,求证：BC AC.证明：(1)因为 MB/NC, MB?平面 DNC , NC?平面 DNC ,所以MB /平面DNC .又因为四边形 AMND为矩形，所以 MA/DN.又MA?平面 DNC, DN?平面DNC.所以MA /平面DNC .又 MAAMB= M,且 MA, MB?平面 AMB

25、,所以平面 AMB /平面DNC .(2)因为四边形 AMND是矩形，所以AM XMN.因为平面 AMND，平面 MBCN ,且平面 AMND n平面MBCN = MN ,所以AM，平面MBCN.因为BC?平面MBCN ,所以AM BC.因为 MCBC, MCAAM=M,所以BC，平面AMC.因为AC?平面AMC,所以BCXAC.小题能否全取.（教材习题改编）下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是（）一个平面内的一条直线平行于另一个平面一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内有无数条直线平行于另一个平面一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D 由面面平行的定义可知，一平面内

26、所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故 D正确.已知直线a, b,平面 %则以下三个命题：若a / b, b? a,则a /跖若 all b, a/ a,则 b/ a;若 a/ a, b/ a,则 all b. TOC o 1-5 h z 其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选A 对于命题，若 a/ b, b?a,则应有all a或a? ”，所以不正确；对于命题，若 all b, all a,则应有b/ a或b? %因此也不正确；对于命题，若a / a, b / a,则应有a/ b或a与b相交或a与b异面，因此也不正 确.（教材习题改编）若一直线上有相异三个

27、点A, B, C到平面”的距离相等，那么直线l与平面a的位置关系是（）A . l / aB. l aC. l与a相交且不垂直D. l / a或l?a解析：选D 由于l上有三个相异点到平面a的距离相等，则l与a可以平行，l?a时也成立.平面/平面& a? a, b? &则直线a, b的位置关系是 .解析：由“/3可知，a, b的位置关系是平行或异面.答案：平行或异面. （2012衡阳质检）在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E是DDi的中点，则BDi与平面ACEAi、的位置关系为.解析：如图.连接AC, BD交于O点，连接 OE,因为OE/BD1,而OE?平面ACE, BDi?平面ACE,

28、所以BDi /平面ACE.答案：平行第五节直线、平面垂直的判定与性质知识能否忆起一、直线与平面垂直.直线和平面垂直的定义直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面a互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论文子语百图形语百符号语后判定定理一条直线与一个平囿内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平回垂直a, b? aan b=O?l a laJib推论如果在两条平行直线 中，有一条垂直于平 面，那么另一条直线也 垂直这个平囿a/ b?b &a-L g3.直线与平面垂直的性质定理文字语百图形语百符号语后性质定理垂直于同一个平囿的两条直线平行a_L a?a/ b b_L_a、平面与平面垂

29、直1.平面与平面垂直的判定定理文字语百图形语百符号语后判定定理一个平囿过另一个平囿 的垂线,则这两个平面 垂直1?_3? a_L 32.平面与平面垂直的性质定理文字语百图形语百符号语后性质定理两个平囿垂直，则一个 平囿内垂直于交线的直 线垂直于另一个平面_a_Lj312_3?11 aaCl A a1a1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：.在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中 不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理.几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线

30、与已知平面垂直.(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.垂直关系的基本问题典题导入例1 (2012襄州模拟)若m, n为两条不重合的直线，”，3为两个不重合的平面，给 出下列命题：若 m, n都平行于平面 %则m, n一定不是相交直线；若 m、n都垂直于 平面%则m, n一定是平行直线；已知 % 3互相垂直，m, n互相垂直，若 m a,则n 3；m,n在平面a内的射影互相垂直，则m, n互相垂直.其中的假命题的序号是 .自主解答显然错误，因为平面 a/平面3,平面a内的所有直线都平行 3,所以3内的两条相交直线可同时平行于a；正确；如图1所示，若 加3= I,且n/l,当m a时，

31、mn,但n/3,所以错误；如图 2显然当m n,时，m不垂直于n,所以错误.答案由题悟法解决此类问题常用的方法有： 依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；否定命题时只需举一个反例.寻找恰当的特殊模型（如构造长方体）进行筛选.以题试法（2012长春*II拟）设a, b是两条不同的直线，% 3是两个不同的平面，则下列四个命题:若 a b, a a, b? a,则 b / a;若 a/ a, a 8 则 a 3;若 a & a 3,则 aH a或 a?跖若 a b, a a, b 3,则 a 3其中正确命题的个数为()B. 2D. 4A. 1C. 3a,或者与平面a解析：选D 对

32、于，由b不在平面a内知，直线b或者平行于平面相交，若直线b与平面a相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知ab相矛盾， 因此正确.对于，由 a / “知，在平面”内必存在直线ai / a,又a1&所以有ai 3, 所以aX 3,正确.对于，若直线 a与平面”相交于点A,过点A作平面 83的交线的 垂线m,则m 3,又a 3,则有a/ m,这与直线a、m有公共点A”相矛盾，因此正 确.对于，过空间一点 O分别向平面“、3弓I垂线ai、bi,则有a/ai, b/ bi,又ab, 所以ailbi,所以0a 3,因此正确.综上所述，其中正确命题的个数为4.典题导入直线与平面垂直的判定与性质例2 (2

33、0i2广东高考)如图所示，在四锥P-ABCD中，ABL平面 PAD, AB / CD, PD = AD, E 是 PB 的中点，F 是 DC i上的点且 DF=AB, PH为 PAD中AD边上的局.(i)证明：PH,平面 ABCD;(2)若PH = i, AD =42, FC=i,求三棱锥 E-BCF的体积;证明：EF，平面PAB.自主解答(i)证明：因为 AB,平面PAD , PH?平面PAD,所以PH AB.因为PH为APAD中AD边上的高，所以 PHXAD.因为 PH?平面 ABCD, ABAAD = A, AB, AD?平面 ABCD ,所以PH，平面ABCD.(2)如图，连接BH,取

34、BH的中点G,连接EG.因为E是PB的中点，所以 EG /PH,且 EG = 2pH =1.因为PH，平面ABCD ,所以EG,平面ABCD.因为AB,平面PAD, AD?平面PAD,所以AB LAD.所以底面ABCD为直角梯形.所以 Ve BCF = 1SBCF EG = 1 1 FC AD EG = . 33 212证明：取PA中点M,连接 MD, ME.1 .因为E是PB的中点，所以 ME触/B.一， ,1又因为DF触/B,所以ME触DF,所以四边形 MEFD是平行四边形，所以 EF /MD .因为PD =AD,所以MDLPA.因为ABL平面PAD,所以 MDLAB.因为PAAAB =

35、A,所以 MDL平面 PAB,所以EFL平面PAB.由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理.(2)利用判定定理的推论(a/b, a，a?b，o).(3)利用面面平行的性质(a a, “/仅a，3.(4)利用面面垂直的性质.当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.以题试法(2012启东模拟)如图所示，已知PAL矩形ABCD所在平面, M, N分别是AB, PC的中点.(1)求证：MNLCD;(2)若/ PDA = 45,求证：MNL平面 PCD.证明：(1)连接 AC, AN, BN,. PA，平面 ABCD, .PAXAC,1在 RtAC 中，N 为

36、 PC 中点， . AN = PC. PAL平面 ABCD, .-.PAXBC,又 BCXAB,PAA AB= A,. BC,平面 PAB./.BCXPB.从而在RtAPBC中，BN为斜边PC上的中线， 1 -. bn = 2pc.AN = BN.,逸BN为等腰三角形，又 M为AB的中点，MN LAB,又AB/CD, . .MN CD.(2)连接 PM, MC, /PDA = 45 , PAX AD,，AP=AD.四边形 ABCD 为矩形,AD = BC,，AP=BC.又M为AB的中点，AM = BM.而/PAM =/CBM = 90 ,.ZPAMzCBM. PM = CM.又N为PC的中点，

37、MNXPC.由(1)知，MNXCD, PCACD = C,，MN，平面 PCD.面面垂直的判定与性质典题导入例3 （2012江苏高考）如图，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，AiBi = AiCi, D, E分别是棱 BC, CCi上的点（点D不同于点 C）,且AD DE, F为BiCi的中点.求证：（i）平面ADE，平面BCCiBi;（2）直线 AiF/平面 ADE.自主解答（i）因为ABC-AiBiCi是直三棱柱，所以 CCi,平面ABC,又AD?平面ABC,所以CCiLAD.又因为 AD DE , CCi, DE?平面 BCCiBi,CCiA DE = E,所以AD，平面BCCiBi又

38、AD?平面ADE ,所以平面 ADEL平面BCCiBi.(2)因为 AiBi=AiCi, F 为 BiCi 的中点，所以 AiF BiCi.因为 CCi,平面 AiBiCi,且 AiF?平面 AiBiCi,所以 CCiXAiF.又因为 CCi, BiCi?平面 BCCiBi, CCi n BiCi = Ci, 所以AiF，平面BCCiBi.由(i)知 AD,平面 BCCiBi,所以 AiF /AD.又AD?平面ADE, AiF?平面ADE,所以AiF /平面ADE.由题悟法.判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义.(2)面面垂直的判定定理(a1 3, a?”？n 3).在已知平面垂直时，一般

39、要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直.转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.以题试法. (2012泸州一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 公 菱形，/ BAD = 60, Q 为 AD 的中点.(1)若PA=PD,求证：平面 PQBL平面PAD;底(2)若点M在线段PC上，且PM = tPC(t0),试确定实数t的值，.2f使得PA/平面MQB.解：（1）因为PA=PD, Q为AD的中点，所以 PQXAD.连接BD,因为四边形 ABCD为菱形，/ BAD = 60 ；所以AB= BD.所以BQXAD.因为BQ?平面PQB, PQ

40、?平面PQB,BQn PQ=Q,所以AD，平面PQB.因为AD?平面PAD ,所以平面 PQBL平面PAD.（2）当 t=W时,PA/平面 MQB. 3证明如下：连接AC,设ACABQ=O,连接 OM.在GADQ与yOB中，因为 AD /BC,所以/OQA = /OBC, ZOAQ=ZOCB.所以aoqszcob.所以黑=第=1.所以AO=；,即0c=2. OC CB 2 AC 3 AC 3,1/M2CM OC，由PM=3PC,知m=3,所以 m=而，所以AP /OM.因为OM?平面 MQB, PA?平面 MQB,所以PA/平面MQB .小题能否全取.（教材习题改编）已知平面 % 3,直线1,

41、若也8 加3= 1,则（）A.垂直于平面 3的平面一定平行于平面 aB.垂直于直线1的直线一定垂直于平面 aC.垂直于平面 3的平面一定平行于直线 1D.垂直于直线1的平面一定与平面外3都垂直解析：选D A中平面可与a平行或相交，不正确.B中直线可与 a垂直或斜交，不正确.C中平面可与直线1平行或相交，不正确.（2012厦门模拟）如图，0 为正方体 ABCD AiBiCiDi的底面ABCD的中心，则下列直线中与B10垂直的是（）B. AAiA. AiDC. A1D1D. A1C1解析：选D 易知AC1,平面BB1D1D.又 BO?平面 BB1D1D, . A1C1, B1O.已知“，3是两个不

42、同的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 （）A .若 m / a, aA 3= n,则 m / n.若 m，& mn,则 nil aC.若 m a, n 3, a 8 贝U mnD.若 a, 3, aA 3= n, m n,则 m 3解析：选C 对于选项 A,若m/ a, aA 3= n,则m / n,或m, n是异面直线，所以 A 错误；对于选项 B, n可能在平面“内，所以B错误；对于选项 D, m与3的位置关系还可 以是m? & m / &或m与3斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确.解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个.如图，已知PAL平面ABC, BCX

43、AC,则图中直角三角形的个数为答案：4.（教材习题改编）如图，已知六棱锥 P-ABCDEF的底面是正六 边形，PAL平面ABC, PA=2AB.则下列命题正确的有 .PALAD;平面 ABC，平面PBC;直线 BC/平面PAE; 直线PD与平面ABC所成角为30.解析：由PAL平面 ABC, .,.PAXAD,故正确；中两平面不垂直，中AD与平面PAE相交，BC/AD,故不正确；中 PD与平面ABC所成角为45：答案： 高考真题（19） （2012 安徽）如图，长方体 ABCD ABC1D1中，底面AB1C1D1是正方形，O是BD的中点,E是棱AA上任意一点。(I )证明：BD EC1 ;(H

44、)如果 AB =2, AE =2 ,AE =2 ,OE EC1,求 AA 的长.19.（）本题考察空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判定，利 用勾股定理求线段的长等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推 理论证能力和运算求解能力 .(I )证明：连接AC, A1B1.由底面是正方形知，BD AC.因为AAd平面 ABCD, BD 平面 ABCD,所以AAi BD.又由AAi A AC =A,所以BD 平面 AAiCiC.再 由ECi平 面AAiCiC知 ， BD第(i9)题图(n)解：设AAi的长是h,连接OCi.在 RtOAE 中，AE=T2, AO= V2故 OE2 (、.

45、2)2 (、,2)2 4.在 RtEAiCi 中，AE h V2, AiCi 2V2 ,故 EC2 (h ,2)2 (2 .2)2.在 RUOCCi 中,OC T2,CCi h, OCi2 h2 (V2)2.因为 OE EC，所以 OE2 EC2 OCi2,4 (h . 2)2 (2 .2)2 h2 ( 2)2,解得h 3.2,所以AA的长为3 J2.(20i3 安徽)如图，四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是边长为 2的菱形，BADPB PD 2, PA ,6 .(I)证明：PC BD(n )若E为PA的中点，求三菱锥 P BCE的体积.【解析】(i)证明：连接BD, AC交于O点ECi.

46、60 .已知又 ABCD是菱形 BD AC而 AC PO O BD，面 PAC BD PC(2)由(i) BD,面 PACSapec - Sa pac - .6 2-3 sin45 =、. 6 . 3 - 3222.三棱锥体积等基础知识和基本技【考点定位】 考查空间直线与直线，直线与平面的位置, 能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.(20ii 安徽)如图，ABEDFC为多面体，平面 ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上, OA 1 , OD 2 , AOAB , AOAC , ODE, AODF 都是正三角形。(I)证明直线BC/ EF ;(n)求棱锥F OBED的体积.(19)

47、(本小题满分13分)本题考查空间直线与直线， 直线与平面，平面与平面的位置关系， 空间直线平行的证明， 多面体体积的计算， 考查空间想象能力， 推理论证能力和运算求解能 力.(I)证明：设G是线段DA与EB延长线的交点.由于4OAB与ODE都是正三角形， 所以_1OB / - DE , OG=OD=2 , =2同理，设G是线段DA与FC延长线的交点，有 OG OD 2.又由于G和G都在线段DA的延长线上，所以 G与G重合.11在AGED和4GFD中，由OB / -DE和OC / - DF ,可知B和C分别是GE和GF =2= 2的中点，所以BC是4GEF的中位线，故 BC / EF.3(II)解：由OB=1 , OE=2, EOB 60，知Seob ，而OED是边长为2的正 2三角形，故Soed 3.所以SOEFDSeobSoed33过点F作FQXDG,交DG于点Q,由平面ABED，平面ACFD知，FQ就是四棱锥13 FQ SOBEDF-OBED 的高，且 FQ= 3 ,所以 V obed(19) (2010 安徽)如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形，AB=2EF=2 , EF/AB,EFFB,/BFC=90 , BF=FC,HKz BC的中点,(I )求证：FH/平面EDB; H ) 求 证： AC