高中数学函数的周期性与常考题附经典例题与解析

1、函数的周期性与常考题【知识点分析】：函数的周期性设函数y=f(x), xCD,如果存在非零常数 T,使得对任意xCD,都有f(x + T)=f(x),则称函数f(x)为周期函 数，T为函数f(x)的一个周期.(D为定义域) TOC o 1-5 h z 型的周期为To定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则 为周期函数，T叫函数的周期。【相似题练习】1 .定义在 R 上的函数 f (x)满足：f (x+6) = f (x),当-3Wxv - 1 时，f (x) = - ( x+2) 2；当-1Wxv3 时，f (x) =x,贝U f (1) +f (2) +f (3) + +f (2019)=

2、()A. 336B. 337C. 338D . 339.已知定义在 R上的函数y=f(x)对于任意的 x都满足f (x+2) =f(x).当-1Wxv1时，f (x) = x3.若函 数g (x) = f (x) - loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是 .已知f (x)是定义在R上的函数，且对任意实数 x有f (x+4) = - f (x) +2修，若函数y=f (x-1)的图象关 于直线x= 1对称，则f (2014)=()A . - 2+2 6B . 2+2北C , 242D.在【知识点分析】：型的周期为。证明：。特别得：f (x-a) = f (x+a)型，的周期为2a。【相

3、似题练习】2.已知偶函数 y=f (x)满足条件f (x+1) =f (x-1)，且当xq-1, 0时，f (x)=,则f(loq 5)的值T等于1 .已知函数f(x)的定义域为R.当x1, f (5) = a2-2a- 4,则 实数a的取值范围是()A.(-1,3)B.(一巴1)U ( 3, +8)C.(- 3,1)D.(-8, 3)U ( 1, +8).已知函数f (x)对任意xCR者B有f (x+6) +f (x) =2f (3) , y=f (x- 1)的图象关于点(1,0)对称，且f (4) =4,贝U f (2012)=()f(X)二-f, f (T)A. 0B. - 4C. -

4、8D. - 161.已知定义在 R上的函数f (x)的图象关于点(-0)成中心对称图形，且满足=1 , f (0) = - 2,则 f (1) +f (2) + +f (2015)的值为()A. 1B. 2- 1- 2【知识点分析】：4.的周期为2a。证明：【相似题练习】1.若偶函数f (x)对任意 xCR,都有 f (x+3)=-且 x - 3,2时,f (x) = 2x,则 f (101.5)1 .已知偶函数f (x)满足 f (x+1),且当 xq - 1, 0时，f (x)= x2,若在区间-1, 3内，函数g(x) =f (x) - loga (x+2)有4个零点，则实数 a的取值范

5、围是 【知识点分析】：5.证明:的周期为【相似题练习】1 .设定义在R 上的函数f(x)满足 f(x)?f (x+2)=13,若 f (1) = 2,则 f (2015)=()A. B. C. 13D .322.已知函数y=f (x)满足f (x+1)(2018)=()A. 0B. 2【知识点分析】：6.型的周期为4a。证明：f fs-1)和 f (2 x) = f (x+1)，且当 x45,罚时，f (x) =2x+2,则 f【相似题练习】1 .定义在R上的函数f (x)满足： 仆2)二鲁; ,当 xC (0, 4)时，f (x) = x2- 1 ,贝U f (2010) =.【知识点分析】

6、：7.两线对称型函数关于直线、 对称，则 的周期为。证明：正弦函数关于直线对称，则的周期为【相似题练习】y=f (2x)的图象关于直线(ba)对称，则f (x)的一个周期为(B. 2(b- a)C.D. 4 (b a)1 .偶函数f (x)对于任意实数x,都有 f (2+x) =f (2-x)成立，并且当- 2WxW0 时，f (x) =2-x,则”芈尸(XiA.2B.C.D.【知识点分析】：8. 一线一点对称型函数关于直线及点(b, 0)对称，则的周期为o证明:余弦函数关于直线及点()对称，则的周期为【相似题练习】1 .已知定义在 R上的函数f ( x)满足f (2 - x)为奇函数，函数

7、f (x+3)关于直线x=1对称，则函数f (x)的最小正周期为(A. 4)B. 8C. 12D.161.已知函数(x)的图象关于原点对称，且满足f (x+1) +f (3 x) = 0,当 xC (2, 4)时，f (x) = 10gp (x 孑1) +m,若fC2021)-l=f (T),则实数m的值是()B：C._4【知识点分析】：9.两点对称型函数关于点(a, 0)、( b, 0)对称，则的周期为证明:正弦函数关于点(0, 0)、对称，则的周期为1.设函数f (x)是定义在R上的奇函数，且图象关于点(,0)成中心对称.2(1)证明：y=f (x)为周期函数，并指出其周期;(2)若 f

8、( 1) = 2,求 f (1) +f (2) +f (3) + +f (2011)的值.【知识点分析】： 其他：根据定义求【相似题练习】1.已知函数f (x)对定义域内任意x, y,有fQ+vM 叼尸城1-f (zjf (y)且 f(1)= 1,则 f (2011)=1 .函数f (x)在定义域 R上不是常数函数，且 f (x)满足又任意 xCR,有f (4+x) = f (4 - x) , f (x+1) = f (x1),则 f (x)是()A.奇函数但非偶函数C.奇函数又是偶函数B.偶函数但非奇函数D.非奇非偶函数1.已知定义在 R上的函数f (x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，

9、当在(0,力时,flic)七inn工，f=n,则函数f (x)在区间0, 6上的零点个数为个.课后作业:1 .已知定义在 R上的函数f (x)满足f (x) = - f (x+1),且当1Wxv2时，f (x)( )0- 6C. 18D. - 181 .已知奇函数 f (x) (xCR)满足f (x+4)=f (x 2),且当 xq 3, 0)时,f (k)二工十3号,贝U fx 2(2018)=(B.C.已知 y=f (x)(985)=(27是定义在R上的函数，且 )- 27f (x+4)= - f (x),如果当x-4,0)时，f (x) = 3x,贝Uf9- 91 .已知 y=f (x)

10、是定义在R上的函数，且f (x-4) = - f (x),如果当 xq 4, 0)时，= (我)-式，贝U f(266)=1. f (x)是定义在R上的奇函数，满足,当 xC (0, 1)时,f (x) =2x-2,则久1口 i 6)T.若定义在实数集 R上白f(x)满足：xC(-3, - 1)时，f (x+1) =ex,对任意x贝，都有(/2)二一成 f (工)立.f (2019)等于()A. eB.eC. eD. 11 .定义在 R上的偶函数f (x),对任意的实数 x都有f (x+4) = - f (x) +2,且f ( - 3) = 3,则f (2015)=( )A. - 1B. 3C

11、. 2015D. - 40281 .若偶函数y = f (x) (xCR)满足条件：f (- x) =f (1+x),则函数f (x)的一个周期为 .参考答案与解析：1 .定义在 R 上的函数 f (x)满足：f (x+6) = f (x),当-3Wxv - 1 时，f (x) = - ( x+2) 2；当-1Wxv3 时，f (x) =x,贝U f (1) +f (2) +f (3) + +f (2019)=()A. 336B. 337C. 338D . 339【解答】 解：.f (x+6) =f (x),当3 xv 1 时，f (x) = ( x+2) 2当1Wxv3 时，f (x) =x

12、, .f (1) =1, f (2) =2, f (3) =f (-3) = T,f (4) = f (-2) =0, f (5) = f( - 1) = - 1 , f (6) = f(0) = 0,.f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) =1, f (x+6) =f (x) ,f (x)的周期为 6, .f (1) +f (2) +f (3) + - +f (2019) = 336+f (1) +f (2) +f (3) = 338.故选：C.1.已知定义在 R上的函数y=f(x)对于任意的 x都满足f (x+2) =f(x).当-1Wxv1时，

13、f (x) = x3.若函数g (x) = f (x) - loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是 (0, U (5, +刈.【解答】解：根据题意，函数 g (x) = f (x) - loga|x|的零点个数，即函数y=f (x)与y=loga|x|的交点的个数；f (x+2) = f (x),函数f (x)是周期为2的周期函数，又由当-1x 0 时，y= logax,则当 x-1,解得 a5,或0vaw=.所以a的取值氾围是(0,故答案为：(0,U (5, +00)-a.已知f (x)是定义在 R上的函数，且对任意实数 x有f (x+4) = - f (x) +2日,若函数y=f

14、(x-1)的图象关 于直线x= 1对称，则f (2014)=()A. - 2+2/2B. 2+2V2C. 2/2D. MW【解答】解：f (x)是定日在R上的函数，且对任意实数x有f (x+4) = - f (x) +2/2,-f (2) = - f ( - 2) +2/2,又： y=f (x-1)的图象关于直线 x= 1对称，向左平移1个单位，得y=f (x)图象关于y轴对称，f ( x) = f (x) , f (x+4) +f (x) ：2万，2f (2) =2%用，解得 f (2) =72,.f(6) +f (2) = 2我，解得 f(6)万，从而得到 f(2+4n) = f =在，.

15、 .f (2014) =f (2+503X 4) = V2 故选：D.0时，f (x) = 3x则f (I二1 5)的值2.已知偶函数 y = f (x)满足条件f (x+1) = f (x - 1),且当x - 1,等于.【解答】解：由 f (x+1) = f (x-1),得 f (x+2) = f (x),所以 f 又f (x)为偶函数，. fQ肛 5) = f ( - Iog35) = f (log 35) = f(Lo g35-2)=f (lj g 3) T.已知函数f (x)的定义域为R .当xv 0时，f(x)=x3- 1;当-1W xW 1时，f ( -x)= - f (x);当

16、其时，fG+春)二f&W),则 f(2019)=()A. - 2B. - 1C. 0D. 2【解答】解：二.当是时，1,(x)是以2为周期的周期函数,f 丘卡斗(工-卷)，f (x) =f(x+1), w时,1Jf (x)的周期T =又当 x0 时，f (x) =x31；当1w x 1, f (1) - 1. . . a2 - 2a - 41, f (5) = a2-2a- 4,则【解答】解：因为函数y=f(x- 1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y=f (x)是奇函数，令 x= 3 得，f ( 3+6) +f ( 3) = 2f (3),即

17、 f (3) f (3) = 2f (3),解得 f (3) =0.(x),即函数的周期是 12.所以 f (x+6) +f (x) = 2f (3) =0,即 f (x+6) = - f (x),所以 f (x+12) = f 所以 f (2012) =f (12X168-4) =f (- 4) = - f (4) =- 4.故选：B.1 .已知定义在 R上的函数f (x)的图象关于点(-,0)成中心对称图形，且满足f(X? =-f (x=1, f (0) = - 2,贝U f (1) +f (2) + +f (2015)的值为(A. 1B. 2C. - 1)D. - 2【解答】解：由题意可

18、得)=-f (x+3) = f (x+3)，.二函数f (x)的周期为3,又函数f (x)的图象关于点(-,0)成中心对称,. .f (x)= - f (结合f(x)二一f (x+y)可得f(-x) = f (.2令 t = x+,贝U f ( - t) = f(t),即函数 f (x)为偶函数，f (1) =f(-1) =1,.f (1) +f (2) +f (3) =f (1) +f (T) +f (0) =0,.f (1) +f (2) + - +f (2015) = 671X 0+f (2014) +f (2015) = f (1) +f (2) = 2 故选：B.1 .若偶函数f (

19、x)对任意xCR,都有 f (x+3)=,且 xq 3, - 2时，f (x) = 2x,贝U f (101.5)=f (l)【解答】解：根据题意,期为6的周期函数，则f (x)满足 f (x+3) = -,则 f (x+6) f Q)f (101.5) =f ( 0.5+17X6) = f ( 0.5),1= f (x),即函数 f (x)是周f广 3)又由f (x)为偶函数，则f ( 0.5) = f (0.5),又由 f (0.5) = f ( 2.5+3)=1.已知偶函数f (x)满足 f (x+1)=-=工，则 f (101.5)=; 故答案为： 工2X (-2, 5) 555,且当

20、xq-1, 0时，f (x) =x2,若在区间T, 3内，函数g(x) =f (x) - loga (x+2)有4个零点，则实数 a的取值范围是5, +8).【解答】解：函数f (x)满足f (x+1) =- -1,故有f (x+2) =f (x),故f (x)是周期为2的周期函数.fCx)再由 f(x)是偶函数，当xq-1, 0时，f (x) =x2,可得当x0,1时，f (x) =x2,故当 xq 1 , 1时，f (x) = x2,当 xQ1 , 3时，f (x) = ( x- 2) 2.由于函数g (x) =f (x) - loga (x+2)有4个零点，故函数 y = f (x)的图

21、象与y= loga (x+2)有4个交点, 所以可得1Rloga (3+2) , .实数a的取值范围是5, +8).故答案为：5, +8).1 .设定义在 R上的函数f (x)满足f (x) ?f (x+2) = 13,若f (1) = 2,则f (2015)13B.13C. 1339【解答】解：由函数的关系式可得:f (x) f (x+2) = 13, f (x+2) f (x+4) = 13,据此有:f (x) = f (x+4),即函数f (x)是周期为4的函数,据此可得：f (2015) = f (504X4- 1) = f ( - 1),关系式 f (x) f (x+2) = 13

22、中，令 x= - 1 可得：f(- 1) f (1) =2f(- 1) =13,二号.故选:B.1 .已知函数 y= f (x)满足 f (x+1)=工和 f (2 x) = f (x+1),且当 xCT1时，f (x) = 2x+2,则 f(2018)=()A. 0B. 2C. 4【解答】 解：f (x+1)=”工和 f (2 x) = f (x+1),1，即 f (x+4)=. f (x+2) =|fG)=f (x),即f (x)的最小正周期是 4,f (2018) = f (4X 504+2) = f (2) ,f (2-x) =f (x+1),当 x=1 时，f (2 1) =f (1

23、+1),即 f (2) = f (1)，;当 xe/,一时，f (x) = 2x+2.f (1) =2+2 = 4,即 f (2018) = f (2) = f (1) =4,故选：C.1 .定义在R上的函数f (x)满足：f (对2)= 1 一 Fl 1+f(i),当 xC (0, 4)时，f (x) =x2 1,贝U f (2010)=【解答】解：二.定义在 R上的函数f(x)满足：“丫”=上岂短小闻二TTET又 x e (0, 4)时，f (x)f (x)故函数的周期是(2010) = f (2) = 22-.若y=f (2x)的图象关于直线 xnxm (ba)对称，则A. B. 2 (

24、b- a)C.22【解答】解：设f (2x) =sin2x图象关于直线置0和5t心，s 2 x 2贝U f (x) = sinx关于 x= a 和 x= b 对称，贝U 2 (b a)是 f (x)4.f (2010) = f (2)1 = 3故答案为31.f (x)的一个周期为(D. 4 (b-a)的一个周期.故选：B.1 .偶函数f (x)对于任意实数f(竿产()x,都有f (2+x) =f (2-x)成立，并且当-2WxW0时,f ( x) = 2 x,则A4B.【解答】 解：对任意实数 x 者B 有 f (4+x) = f2+ (2+x) = f2- (2+x) = f( x),由于f

25、 (x)为偶函数，所以f ( - x) = f (x).所以f (4+x) = f (x).所以函数f (x)是以4为周期的周期函数.所以 仪竽)毋252X 吟=f (舄=fC-1)=2-(4)4故选：C.1 .已知定义在 R上的函数f (x)满足f (2-x)为奇函数，函数 f (x+3)关于直线x=1对称，则函数f (x)的最 小正周期为()48C. 12【解答】解： f (x)满足 f (2-x)为奇函数，f (2+x) = - f (2-x),即 f (4+x) = - f ( - x)，函数f (x+3)关于直线x= 1对称，.将函数f (x+3)的图象向右平移 3个单位得到y=f(

26、x)的图象， 则函数f (x)的图象关于直线 x=4对称，f (4+x) = f (4-x)，由得：f (4 - x) = - f( - x),即 f (x+4) = - f (x),8.故选：B.，f (x+8) = - f (x+4)即f (x+8) =f (x),故函数f (x)的最小正周期为f (x) = - logj.1x-f (x+1) +f (3 x) =0,当 xC (2, 4)时,-1),则实数1) +m,【解答】解：根据题意，函数m的值是(4f (x)满足 f (x+1) +f (3-x) = 0,又由 f (x)为奇函数,贝Uf (x+1) = f (3-x) =f (x

27、3),即 f (x+4) =f (x), 故函数 f (x)的周期为 4,则 f (2021 ) =f (1+2020) =f (1), 当 x C (2, 4)时，fQ) =-lo g i (义-1)斗m,贝(J f(3)= m+1 ,T即 f (2021) = f (1) =- f (3) =- m - 1,又由f (x)为奇函数，则 f (- 1) =- f (1) = m+1 ,若 f12U4)-l则有 f1T =m+1,解可得：m=-A；故选：C.2乙3.设函数f (x)是定义在R上的奇函数，且图象关于点(3,0)成中心对称.2(1)证明：y=f (x)为周期函数，并指出其周期；(2

28、)若 f ( 1) = 2,求 f (1) +f (2) +f (3) + +f (2011)的值.【解答】证明：(1)二函数f (x)图象关于点(，0)成中心对称，.f (x) +f (3-x) = 0,f (x+3) +f ( - x) =0, f (x+3) = - f ( - x),又 f (x)为奇函数,f (- x) = - f (- x) ,f (x+3) = f (x) , y= f (x)为周期函数，其周期 T= 3.(2) .f ( 1) = - 2, f (x)为奇函数，f (1) = 2,又 f (0) = 0,.f (2) =f (2-3) =f (-1) = - 2

29、, f (3) = f (0) =0, f (1) +f (2) +f (3) =0,f (4) +f (5) +f (6) = 0, . f (1) +f (2) +f (3) + + f (2011)= 670f (1) +f (2) +f (3) +f (2011) = f (2011) = f (670X 3+1) = f (1) =2.贝U f (2011) = 11.已知函数f (x)对定义域内任意 x, y,有Mk+y)=1-f tyj【解答】解：.函数f (x)对定义域内任意 x,令 x=y=0,得 f (0)=2f(0)f (0) = 0.令 y= - x,彳# f (0)(

30、-K)1-f G) f Ir)=0,，f ( - x) = - f (x),即函数f (x)是奇函数.丁f(K+y)=f G)+f (了)f (x+1)=1+W . 1-f(i).f (x+2).f (x)是以4为周期的周期函数,3解：:当 xC (0,)时,f (x+4)=f (x),f (1) = 1 , . f (2011) = f (503X 4 1) = f( 1)= f (1)= - 1故答案为：-1.1 .函数f (x)在定义域 R上不是常数函数，且 f (x)满足又任意 xCR,有f (4+x) = f (4-x) , f (x+1) =f1),则 f (x)是()A.奇函数但

31、非偶函数B.偶函数但非奇函数C.奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解答】 解：,f (4+x) =f (4-x) , 函数 f (x)的对称轴为 x= 4,又 f (x+1) = f (x-1),. .f (x+2) =f(x) , .函数f (x)的周期为T= 2,，x = 0也为函数f (x)的对称轴，.f (x)为偶函数，又; f (x)在R上不是常数函数，故 f (x)不，f1为0,.f (x)为偶函数但不是奇函数.故选： B.3I1.已知定义在 R上的函数f (x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当工毛时，NG-in71万1 =0,则函数f (x)在区间0, 6上的零点个数为9个

32、.f (x) = sin 水，令 f (x) =0,则 sin 芥=0,解得 x= 1.又函数f (x)是定义域为 R的奇函数，在区间 q-昌，区上，2回f ( - 1) =f (1) = f (g)=f (-亘)=0, f (0) = 0, .函数f (x)是周期为3的周期函数，叵 回则方程f(x)= 0在区间0,6上的解有0,1, JL,2,3,4,国5,6.共9个.故答案为：9.22作业答案:1 .已知定义在 R上的函数f (x)满足f (x) = - f (x+1),且当 1Wxv2 时，f (x)=9x- 9,则=0- 618- 18【解答】解：由f (x) = f (x+1),贝U

33、 f (x+2) = f( (x+1) +1) = f (x+1) = ( f (x)=f (x),所以周期为2.故选：C.1 .已知奇函数 f (x) (xCR)满足f (x+4) = f (x- 2),且当1 jvq-3, 0)时，f丁谷可则f(2018)=()B.c. 4-【解答】解：奇函数1- f ( x+6) = f (x),f (x) (xCR)满足 f (x+4) =f (x-2),当 x- 3, 0)时,兀f (x)3sin7rf ( 2).f (2018) = f (336X 6+2) =f (2)=1JT.=-二二一 T 一2D.故选:C. 90)时，f (x) = 3 x

34、,则 f.已知y=f (x)是定义在R上的函数，且(985)=()A. 27B. - 27f (x+4) = - f (x),如果当 x-4,D. - 9【解答】解：= y=f (x)是定义在R上的函数，且f (x+4) = - f (x), . f (x+8) = - f (x+4) = f (x),当 x- 4, 0)时,f (x) = 3 x,.f ( 985) = f (123X8+1) = f (1) = - f ( - 3) = - 33= - 27.0)时，武加(近尸，则f故选：B.1 .已知y=f (x)是定义在 R上的函数，且 f(x-4)= - f (x),如果当xq-4,

35、(266) =-2 .【解答】解：= y=f (x)是定义在R上的函数，且f (x+4) = - f (x), . f (x+8) = f (x+4) = f (x),(如)x，(2) = - f( - 2) = - ( 2)2= - 2.1. f (x)是定义在 R上的奇函数,当 xC (0, 1)时，f (x)=2、_ 2，则f 1。g 6)= T【解答】解：根据题意，f (x),则有 f (x+2)f (x),即函数f (x)是周期为2的周期函数，又由f (x)为定义在R上的奇函数,贝Ufll耳 1 6) = f ( 10g26) =- f (log26) =- f (log26 2)

36、=- f(log当 xC (0, 1)时，f (x) = 2x-2,贝U f (log故 口 6)=故答案为：?21 .若定义在实数集 R上白f (x)满足:xC(3, 1)时，f (x+1)对任意1f (l)立.f (2019)等于()A. e2B. e 2C. eD.【解答】解：根据题意，对任意xCR,者B有f (耳十2)=成立，则有(x+4)即函数f (x)是周期为4的周期函数，贝U f (2019) = f ( - 1+2020) =f (-1),x (-3, 1)时，f (x+1) = ex,当 x= 2 时，有 f ( 1) = e 2,则 f (2019) = e 2,故选：B.

37、1 .定义在R上的偶函数f (x),对任意的实数 x都有f (x+4) = - f (x)+2,且 f ( 3) = 3,贝U f (2015)=( )一 13C. 2015D.-4028当 xq 4, 0)时,f (x)= .f (266) = f (33X8+2) = f 故答案为：-2.【解答】解：二对任意的实数x都有f (x+4) = - f (x) +2,令 x=- 1,贝 Uf (3) = - f( - 1) +2=3,f( - 1) = - 1,又由 f (x+8) = f (x+4) +4 = - f (x+4) +2= - - f (x) +2+2 = f (x),故函数f

38、(x)是周期为8的周期函数，故 f (2015) =f (T) =- 1, 故选：A.1 .若偶函数y=f(x)(xCR)满足条件：f (- x) =f (1+x),则函数f(x)的一个周期为_1【解答】解：.偶函数 y=f (x) (xCR)满足条件：f(-x) =f(1+x),f ( x) = f (x) = f (1+x),函数f (x)的一个周期为1.故答案为：1.备用题：.定义在 R 上的函数 f (x),对任意 x 均有 f(x)=f (x+2)+f(x-2)且 f (2013) = 2013,贝 Uf (2025)，则y=f (ax)的一个正周期为(.如果函数 y= f (x)满足 f (ax) = f (ax -电)(a 0)4B.1 .已知定义在 R上的函数f(x)的周期为4,时,f (x) = () x-ic-4，则 f (-log36) +f(log354)=(C.=fB. 03.A.叵(x).右 xq兀时,f (x)sinx.COSX J,则C.1 .设f (x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x= 1对