高中数学考前归纳总结解三角形常考基本问题归类

1、解三角形常考基本问题归类正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知 条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近几年高考中主要有以下五大命题热点:、求解斜三角形中的基本元素：指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.例1、MBC中，A=，BC= 3,则AABC的周长为()33分析：由正弦定理,求出 b及c,或整体求出b+c,则周长为3+b + c而得到结果.43sin(B -) 3 3C. 6sin( B ) 34/3sin(B+-) + 36冗D. 6sin(B+-)+3解：由

2、正弦定理得:3sin 一3sin Bsin C sin B sinCsin B sin(-B)得 b+c= 2/3sinB+ sin(- E) = 6sin( B +)36 ,故三角形的周长为:3+ b+ c= 6sin( B + )+ 3,故选(D).6JL评注：由于本题是选择题也可取ABC为直角三角形时，即 B=,周长应为 3d3 +63,故排除(A)、(B)、(C).而选(D).4.6例 2、在 A ABC43,已知 AB =, cosB3,AC边上的中线BD=J5,求sin A的值. 6分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC再由正弦定理，即得 sin A.解：设E为BC的中点，连

3、接DE则1 _2.6DE/ AB 且 DE = AB = ，设 BE= x23在A BD计利用余弦定理可得:BD 2 = BE 2 + ED 2 - 2BE ED cos BED5 =x28 2 266x336,解得x = 1, x =-(舍去)3 TOC o 1-5 h z 2_ 2_ _ 2_ _ _28故 BG2,从而 AC2 = AB2+BC2 2AB BCcosB =3门口 2.21.30即 AC = 又 sin B =,362,21故sinA = sin A . 30146二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状.例3在 MBC中，已知2sin AcosB

4、 =sinC ,那么AABC一定是（）A.直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形D .正三角形解法 1:由 2sin Acos B =sin C = sin( A+ B) = sin AcosB+ cos Asin B,即 sin AcosB cosAsin B= 0,得 sin( A E) = 0,得 A= B.故选(B).sin C ca2 - c2 - b2解法2：由题意，得cosB= -snC = ,再由余弦定理，得 cosB= -c2sin A 2a2ac22,2a c -b2ac,即 a2=b：得 a=b,故选(B). 2a评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一

5、化为角，再判断（如解法1）,统一化为边，再判断（如解法2）.三、解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题.例 4、在 AABC 中，若 /A = 120, AB =5, BC = 7,则 AABC 的面积 S=， ，. ，1-r一一. ，分析：本题只需由余弦定理，求出边 AC再运用面积公式 S= -AB?AQin A即可解决.AB2 AC2 - BC2解：由余弦定理，得cosA= AB一AC一BC-2 TOC o 1-5 h z 25 AC2 - 4912AB * AC=_一 ,10 * AC 215.3一1 一解得 AC= 3. . S= ABAGin A=

6、21 1 _ABAC?sin A= AC?h,得 h=AB? sin22四、求值问题例5、 在AABC中，NA、NB、2C所对的边长分别为 a、b、c,设a、b、c满足条件o oo c 1b +c - bc=a 和一=十%,3,求/A 和 tan B 的值.b 2分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理.b2 c2 - a21解：由余弦定理cosA=-一c因此，/A = 60+2bc 2在 ABC中，Z 0=180-Z A-Z B=120-Z B.- c sinC sin（120 - B）由已知条件，应用正弦定理 一、, 3 =b sin B sin Bsin 120 co

7、sB -cos120 sin B ,31=cot B 十一，sin B221 解得 cot B = 2,从而 tan B = .2五、正余弦定理解三角形的实际应用： 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例1如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边 选定A、B两点，望对岸标记物 C,测得/ CAB=30 , /CBA=75 , AB=120cm 求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求 ABC在AB边上 的高，而在河的一边，已测出 AB长、 / CAB / CBA这个三角形可确定。解析:由正弦定理得AC _ AB

8、sin CBA - sin . ACB1 _ _1.AC=AB=120m又Sabc =-AB AC sin ZCAB =-AB CD ,解得CD=60m点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30。北。若此灯塔周围 10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在 A点处观测到灯塔 S在东150北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30北的方向上。在 ABC中，可知 AB=30 0.5=15, ZABS=150 ,/

9、ASB=15 ,由正弦定理得 BS=AB=15过点S作SC1直线 AB,垂足为C,则SC=15sin30 =7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。六、交汇问题： 是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何（特别是求角与距离）、解析几何、实际问题等知识交汇.3例6、4ABC中，内

10、角A,B,C的对边分别为a,b, c,已知a,b, c成等比数列，cos B =-.4，、，-，、5 r 3，一（I）求 cotA+cotC的值；（n）设 BA，BC =，求 a+c 的值.2分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等.=.1-(4),一 ,3 斛：(I)由 cosB = ，得sinB4.2由b =ac及正弦定理得2 f,*sin B = sin Asin C.cosA cosCsin A sinC-11贝 U cot A cot C =tan A tanC_ sin C cos A cosC sin A sin Asin C TOC o 1-5 h z _ sin(A C) _ sin B _ 1_ 4 -sin