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1、一 无穷小量二 无穷大量三 无穷小量与无穷大量的关系四 无穷小的运算法则五 小结与判断题第四节 无穷小量与无穷大量第1页，共21页。7/29/20221一 无穷小量1 定义极限为0的变量叫无穷小量。说明：注1 不要认为无穷小量是一个很小很小的数；注2 无穷小量是个变量；注3 一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势；注4 0 是唯一可称为无穷小量的数。第2页，共21页。7/29/20222例如：例1 用定义证明第3页，共21页。7/29/202232 无穷小量和极限的关系 证明1）不妨设令（为无穷小量）则当 为无穷小量，也有 =A+第4页，共21页。7/29/20224即有例如：有其中所以

2、， 以A为极限。2）若 =A+，则= -A, 为无穷小量,由于为无穷小量，故对第5页，共21页。7/29/20225思考题：是“当时，是无穷小”的(A) 充分但非必要条件；(B) 必要但非充分条件；(C) 既非充分也非必要条件；(D) 充分必要条件第6页，共21页。7/29/20226二 无穷大量无限增大，趋向于无穷大，称是一个无穷大量。X0Y简单地说，绝对值无限增大的变量叫无穷大量.第7页，共21页。7/29/20227精确地讲：当时，有故故第8页，共21页。7/29/20228注4 无穷大量是一个变量，绝对值无限增大的变量；注5 函数是无穷大量，必须指明其变化趋势。比如例2证明证：第9页，

3、共21页。7/29/20229要使只须取所以，第10页，共21页。7/29/202210注：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是无穷大量。例：证明函数在是无界的，但时，不是无穷大量。证明：取不是无穷大.说明：证明函数的极限不存在时，只须找一串点 , 使 的极限不存在。第11页，共21页。7/29/202211第12页，共21页。7/29/202212下面证明且取所以，上是无界的。在上是无界的。在第13页，共21页。7/29/202213三 无穷小量与无穷大量的关系注（倒数关系）则则第14页，共21页。7/29/202214第15页，共21页。7/29/202215注 关于无穷大的讨论,都可

4、归结为关于无穷小的讨论.第16页，共21页。7/29/202216四 无穷小的运算法则定理有限个无穷小的和仍是无穷小。证：第17页，共21页。7/29/202217故注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。例：第18页，共21页。7/29/202218定理 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。证明：g(x)有界，故存在M ，使对于当故当设g(x)在某定义域内有界， 第19页，共21页。7/29/202219 推论（）常量与无穷小的积仍是无穷小；（）有限个无穷小量的积仍是无穷小。例第20页，共21页。7/29/202220五 小结与判断题内容:无穷小量和无穷大量，及其倒数关系判断题无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小是变量，零是唯一

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