(江苏专版)高三数学备考冲刺140分问题04函数与方程、不等式相结合问题(含解析)-人教版高三

1、word问题 4 函数与方程、不等式相结合问题一、考情分析函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容 , 也都是高考的热点和重点 , 在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大 , 函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线 , 它们贯穿于高中数学的各个内容 ,求值的问题就要涉及到方程 , 求取值 X 围的问题就离不开不等式 , 但方程、 不等式更离不开函数 , 函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段 .二、经验分享(1) 确定函数零点所在区间 , 可利用零点存在性定理或数形结合法(2) 判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化

2、为两个函数图象的交点个数(3) 已知函数零点情况求参数的步骤 判断函数的单调性；利用零点存在性定理的取值 X 围, 得到参数所满足的不等式 (组 )；解不等式 ( 组), 即得参数(4) 函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数 , 利用数形结合求解参数 X 围(5 ) “ a f( x)有解”型问题 , 可以通过求函数 y f ( x) 的值域解决三、知识拓展1有关函数零点的结论(1) 若连续不断的函数 f ( x) 在定义域上是单调函数 , 则 f ( x) 至多有一个零点(2) 连续不断的函数 , 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3) 连续不断的函数图象通过零点时 , 函数值可

3、能变号 , 也可能不变号2三个等价关系方程 f ( x) 0 有实数根 ? 函数 y f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y f ( x) 有零点四、题型分析( 一 ) 函数与方程关系的应用函数与方程是两个不同的概念, 但它们之间有着密切的联系 , 方程 f ( x) 0 的解就是函数 y f ( x)的图像与 x轴的交点的横坐标 , 函数 y f ( x) 也可以看作二元方程 f ( x) y 0 通过方程进行研究 . 就中学数学而言 , 函数1 / 31k k ,word思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质 , 解有关求值、解 (证) 不等式、解方程

4、以及讨论参数的取值 X 围等问题：二是在问题的研究中 , 通过建立函数关系式或构造中间函数 , 把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质 , 达到化难为易 , 化繁为简的目的 . 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决 , 反之 , 许多函数问题也可以用方程的方法来解决 . 函数与方程的思想是中学数学的基本思想 , 也是各地模考和历年高考的重点 .【例 1】已知函数 （ x R）有四个不同的零点 , 则实数 k 的取值 X 围是【分析】 把函数 （ x R）有四个不同的零点转化为方程 有三个不同的根 ,再利用函数图象求解【解析】因为 x 0是函数 f (x) 的零点 , 则函数 有四个不同的零点

5、 , 等价于方程有三个不同的根 , 即方程 有三个不同的根记函数 由题意 y= 1 与 y g( x) 有三个不同的交点 , 由图知 0 1 1 所以 k 1 实数 k 的取值 X 围是是 1，+ 、【点评】 零点问题也可转化为方程问题 , 可以转化为函数 y f x 和 y g x 图象交点的个数问题从而确定交点的个数 , 也就是方程 根的个数【小试牛刀】 【 2018 届 2 某某某某丰县高三上学期调考】 设函数数的底数） ，若曲线 y sin x 上存在一点 (x0 , y0 ) 使得【答案】 1,e【解析】由题设 及函数的解析式可知化 为 “ 存 在 x 0,1 ， 使 得 有 解 ”

6、 ，2 / 31的根的问题 , 的根的个数, 通过在直角坐标系中作出两个函数图象 ,（ a R， e为自然对，则 a 的取值 X 围是，所以 0 y 1由题意问题转即 在 0 ,1 有 解 ， 令14 4 441 3 53 54 4414word， 则 ， 当 x 0 时， 函 数 是 增 函 数； 所 以0 x 1，当 ，即 1 h( x) e . 所以 1,e ，故应填答案 1,e .( 二 ) 函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容 , 也都是高考的重点 , 在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的 . 函数是高中数学的主线 , 方程与不等式则是它的重要组成部分

7、 . 在很多情况下函数与不等式也可以相互转化 , 对于函数 yf ( x), 当 y0 时 , 就转化为不等式 f ( x)0, 借助于函数图像与性质解决有关问题 , 而同时研究函数的性质 , 也离不开解不等式的应用 .【例 2】已知函数 , , 若对任意的 x1 , x2 R , 都有成立 , 则实数 k 的取值 X 围为 .【分析】根据题中条件：对任意的 x1 , x2 R , 都有 成立 , 将问题转化为 .再由题中所给两函数的特征： 函数 是一确定的分段函数 , 由它的图象不难求出函数的最大值 f (x)max 1； 而另一个函数 中含有绝对值 , 由含有绝对值的不等式可求出它的最小值

8、 , 即可得到不等式 |k 1| , 则可求出 k 的取值 X 围 .【解析】对任意的的图象可知 , 当 xx1 , x2 R ,时 , 函数 2所以 , | k 1|都有 成立 , 即f ( x)max 1 ；因为, 解得 k 或 k , 故 答 案 为 k. 观察, 所以或 k 3 / 312word【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质 , 主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题 . 注意不等式： |a | | b |对 a , b R 是恒成立的 . 特别要注意等号成立的条件 . 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识 . 且涉及的知识点多、

9、面广 , 在概念性、应用性、理解性都有一定的要求 , 它们是高考中考查的重点 , 所以在教学中我们应引引起高度的重视 .【小试牛刀】 【 2018 届某某省某某市高三 12 月联考】若不等式 对任意的 y 0, 恒成立，则实数 x 的取值集合为 _【答案】52【解析】画图可知，函数 和函数 连续在 y 轴右边有相同的零点，令 g y 0 ，得 y x ，代入 f y 0 中，得 x 0 ，或 x 5 ，注意到 x 0 ，所以实数 x 的取值集合为5, 故填5.22( 三) 函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合 , 是函数某一变量值一定或在某一 X 围下的方程或不等式 , 体现了

10、一般到特殊的观念 . 也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系 , 在高中阶段 , 应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系 , 并把这种内在联系作为学习的基本指导思想 , 这也是高中数学最为重要的内容之一 . 而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度 . 因此 , 在高三的复习中 , 对这部分内容应予以足够的重视 .【例 3】已知函数 , 其中 m, a均为实数(1) 求 g ( x) 的极值；4 / 31g( x2 )g( x1 ) ,m m)g (x)m m2 2word(2) 设 m 1,a 0 , 若对任意的 x1 , x2 3,4 ( x1 x

11、2 ) ,(3) 设 a 2 , 若对任意给定的 x0 (0,e , 在区间 (0,e 上总存在m 的取值 X 围【分析】 (1) 求 g( x) 的极值 , 就是先求出 g ( x) , 解方程 g ( x)恒成立 , 求 a 的最小值；t1 , t2 (t1 t2 ) , 使得 成立 , 求0 , 此方程的解把函数的定义域分成若干个区间 , 我们再确定在每个区间里 g ( x) 的符号 , 从而得出极大值或极小值； （2）此总是首先是对不等式恒成立的转化 , 由（ 1）可确定 f ( x)在 3,4 上是增函数 , 同样的方法（导数法）可确定函数 1 在 3,4 上也是增函数 , 不妨设

12、x2 x1 , 这样题设绝对值不等式可变为 f (x2 )f ( x1) 11整理为 , 由此函数 在区间3,4 上为减函数 , 则 在（ 3,4 ）上恒成立 , 要求 a 的取值 X 围采取分离参数法得 恒成立 , 于是问题转化为求 在 3,4 上的最大值； （3）由于 x0 的任意性 , 我们可先求出 g( x) 在 (0, e 上的值域 (0,1 , 题设“在区间 (0,e 上总存在 t1 ,t2 (t1 t2 ) , 使得 f (t1 )f (t2 ) g (x0 ) 成立” , 转化为函数 f ( x) 在区间 (0,e 上不是单调函数 , 极值点为 （ 0 e） , 其次f (e)

13、 1 , 极小值 f (【解析】 （1）列表如下：xg ( x)g( x )2 0 , 最后还要证明在 (0, 2 ) 上 , 存在 t , 使 f (t ) 1 , 由此可求出 m 的 X 围 ., 令 g ( x) 0 , 得 x = 1 （ ,1） 1 （1, ）0 极大值 g(1) = 1, y = g( x) 的极大值为 1, 无极小值5 / 312 23eword（2）当 m 1, a 0 时 , , x (0, ) 在 3,4 恒成立 , f (x)在 3,4 上为增函数设 , h( x) 在 3,4 上为增函数 0 在 3,4 恒成立 ,设 x2 x1 , 则 等价于 ,即设

14、, 则 u( x)在 3,4 为减函数 在（ 3,4 ）上恒成立 恒成立设 , = , x 3,4, , v ( x) ，则 与 的图象有两个交点，联立方程组由 ，解得所以实数 的取值 X 围是，整理得 ，或，.8 【 某 某 省 某 某 市 2018 届 高 三 上 学 期 第 一 次 调 研 】 已 知 函 数. 若函数 有 4 个零点， 则实数 a 的取值 X围是 _.【答案】【解析】令当 1 a 0 时 f t 有两个零点当 1 a=0 时 f x 有三个零点，舍；当 1 a 0 时，由于 1 2a 1所以 ，且，需， 所以函数 有 5 个零点，所以15 / 31在 0,2 ，如果22

15、211，word综上实数 a 的取值 X 围是9 【 某 某 省 如 皋 市 2017-2018 学 年 度 高 三 年 级 第 一 学 期 教 学 质 量 调 研 】 已 知 函 数， 且 y f x 在 x 0,2 上的最大值为 ， 若函数 有四2个不同的零点，则实数 a 的取值 X 围为 _.【答案】 0，1【解析】若 m 0， 则 在 0,2 上 递增 ， 有最小 值 ，不 合题意，m 0 ，要使 f x 的最大值为 1m 2 ，即 m 4 ，则 ，得矛 盾 ， 不 合 题 意； 如 果 m 2 ， 则2m 2， ， 若 有四个零点， 则 y f x 与 y ax 2 有四个交点，只

16、有 y ax2 开 口 向 上 ， 即 a 0 ， 当 y ax2 与 有 一 个 交 点 时 ， 方 程有一个根， 0 得 a 1，此时函数 有三个不同的零点，要使16 / 319921_word函数y ax2 的开口要比 y有四个不同的零点， y ax 2 与 有两个交点，则抛物线x2 的开口大，可得 a 1， 0 a 1，即实数 a 的取值 X 围为 0,1 ，故答案为0,1 .10 【 某 某 市、 某 某 市 2018 届 高 三 年 级 第 一 次 模 拟 】 设 函 数 f x 是 偶 函 数， 当 x0 时，f x =【答案】 1,4【解析】作图，由图可得实数，若函数 有四个不

17、同的零点， 则实数 m的取值 X围是_m的取值 X 围是 1,411 【某某省某某中学 2018 届高三 12 月月考】若函数 ，则函数 在0，1 上不同的零点个数为 【答案】 3【解析】因为 ， g x 0 可转化为： x 0,，函数 y 4x 1与17 / 31e1m1,1201xwordy ln x 以及 x 1 ，函数 y 4x 3 与 y ln x交点的个数；作出函数图象如图 :由函数图象可知零点个数为 3 个 .12 【某某省常熟市交于三个不同的点围是 _【答案】 1,e2018 届高三上学期期中】 已知函数 ， 若直线 y ax与 y f x， B n , f n ， C t ,

18、 f t （其中 m n t），则 n 2 的取值 X【解析】作出函数 ，的图象如图：设直线 y=ax 与 y=lnx 相切于（ x0， lnx 0），则 ，曲线 y=lnx 在切点处的切线方程为 y lnx 0= （x x0），把原点（ 0， 0）代入可得： lnx 0= 1，得 x 0=e18 / 31me1e1要使直线 y=ax 与 y=f （x）交于三个不同的点，则wordn（ 1， e），联立 yym（1 n 1故答案为：1xe2x 1e2e ,，解得 x= e 1 2e），1 12 m（ 2，2 的取值 X 围是（ 1， e（ 1， e ）2 ），1）e13【某某省某某市第三中学

19、2017 2018 学年度高三第一学期月考】 已知函数 ，若存在唯一的整数 x ，使得 成立，则实数 a 的取值 X 围为_【答案】 0,2 3,8【解析】由 得：当 x 0 时， f x a; 当 x 0 时， f x a ;因为当 2 x 0 时， ，当 x 2 时， f x 0 ，当 x 0 时， 0 f x ， 因此当 a 0时， x 1,2, ，不合题意；当 0 a 2 时， x 1 ；当 2 x 3 时， x 1, 1 ，不合题意；当 3 x 8 时，不合题意；因此 a 的取值 X 围为 0,2 3,814 【某某省启东中学 2018 届高三上学期第一次月考】已知函数x 1 ，当

20、x 8 时， ，f ( x) 是以 4 为周期的函数，且当 1x3时， 若函数 恰有 10 个不同零点，则实数 m的取值 X 围为_.【答案】【解析】根据题意，得到 f x 的图象如下：19 / 3161word由图可知， f x 是偶函数，又 恰有 10 个不同零点， 即 y f x 与 y m x 的图象有 10 个交点， 根据偶函数的特点，则在 x 0的图象中，有 5 个交点，如图中红色直线和蓝色直线就是两种极限情况 .红色直线：过 6,1 ，则 m ；蓝色直线：与区间 3,4 处的曲线 相切，所以 只有一个解，解得 ，15 【某某省某某市、某某市 2019 届高三第二次模拟】 已知 ，

21、 .（ 1）当 时，求函数 图象在 处的切线方程；（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值 X 围；（ 3）若 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求 的取值 X 围 .【解析】 （1）当 时， ， ，则 .又因为即，所以函数 图象在 处的切线方程为 ，.（2）因为所以且当因为当. 因为 ，所以 .时，即在区间时，上恒成立，所以，在 上单调递增 .20 / 31在由，word所以当由当所以所以综上，满足条件 .时，即，得时， ，则时，不满足条件 .的取值 X 围为 .时，上单调递减，这与 时， 恒成立矛盾 .（ 3）当因为时，在区间 上恒成立，所以 在 上单调递增，所以 不存在极值，所

22、以 不满足条件 .当 时， ，所以函数 的定义域为 ，得列表如下： 极大值 极小值 由于 在 是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以 不满足条件 .当 时，由 ，得 .列表如下：21 / 31word此时所以仅存在极小值，不合题意，不满足条件 .当 时，函数 的定义域为且，列表如下：极小值 ，. 极大值 极小值 所以 存在极大值 和极小值 ，此时因为 ，所以 ， ， ，所以 ，即 ，所以 满足条件 .综上，所以 的取值 X 围为 .16 【某某省某某一中、泰兴中学、南菁高中函数讨论函数在点 处的切线与直线的单调性；，2019 届高三 10 月月考】已知函数 ，垂直，求 a 的值；2

23、2 / 31又即则word当 时，证明：不等式 成立 其中 ， ，【解析】 （1）由题意，求得函数的导数 ，解得 ；，当时，的解集为，的解集为，的增区间为 ，减区间为 ；当 时， 的解集为 ， 的解集为 ，即 的增区间为 ，减区间为 ；当 时， 在 上恒成立，即 在 上单调递减；当 时， 的解集为 ， 的解集为 ，即 的增区间为 ，减区间为 ；设 ，则 ， 在 上单调递减， 在 上恒成立，即 ，则17 【某某省如皋市 2018-2019 学年高三年级第一学期期末】已知函数 ，其中 （ 1）若函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，某某数 a 的值；（2）设函数 求函数 的单调区间；若不等式 对任

24、意的实数 恒成立，某某数 a 的取值 X围23 / 31若word【解析】 （1）因为函数 ，定义域为 ，所以所以函数， ， ，图象在 处的切线方程为 ，即依题意， ，解得 所以实数 a 的值为 1（2）令 ， ，则（ 1） 若，故函数在上单调增 若 ，记 若 ，即 ，则 ，函数 在 上单调增，即 ，令 ，得 ， 当 时， ， 在 和 上单调增；当 时， ， 在 上单调减 若 ，令 ，得 （负舍） 当 时， ， 在当 时， ， 在上单调增；上单调减综上所述，当 时，函数 的单调增区间为 ，减区间为24 / 31word；当 时，函数 的单调增区间为 ，无减区间；当 时，函数 的单调增区间为 和

25、 ，减区间为 （2）由（ 1）可知，当 时，函数 在 上单调增，故 ，所以 符合题意；当 时，函数 在 上单调减，在 上单调增，故存在 ， ，所以 不符题意；当 时， 在 上单调增，在 上单调减下面证明：存在 ， 首先证明： 要证： ，只要证： 因为 ，所以 ，故 所以 其次证明：当 时， 对任意的 都成立令 ， ，则 ，故 在 上单调递减，所以 ，即 25 / 31时，当当；word所以当又当故时，不符题意对任意的 都成立，与题意矛盾，综上所述，实数 a 的取值 X 围是 18 【某某省某某市（苏北三市（某某、某某、某某)2019 届高三年级第一次质量检测】已知函数（ 1）若 ，求 在 处的

26、切线方程；（2）若对于任意的正数 ， 恒成立，某某数 的值；（ 3）若函数 存在两个极值点，某某数 的取值 X 围【解析】 （1）因为 ，所以当 时， ，则，当 时， ，所以 在 处的切线方程为 ；（2）因为对于任意的正数 ， 恒成立，所以当时，即时，时，即 时， 恒成立，所以 ；当 时，即 时， 恒成立，所以 ，综上可知，对于任意的正数 ， 恒成立， （ 3）因为函数 存在两个极值点，所以 存在两个不相等的零点设 ，则当 时， ，所以 单调递增，至多一个零点时，因为 时， ， 单调递减，26 / 31，解得 word所以因为时， ， 单调递增，时，存在两个不相等的零点，所以因为 ，所以 因为

27、 ，所以在 上存在一个零点因为 ，所以 又因为 ，设 ，则 ，因为 ，所以 单调递减，所以 ，所以综上可知：，所以在 上存在一个零点19 【某某省某某市 2019 届高三上学期期末】已知函数 f(x) =(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x 0 ，都有 f(x) 0 成立；(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x 1 和 x = x 2 两处取得极值，求证：【解析】 （1）当 a 1 时， f （x） ex x2 x，则 f （ x） ex x 1，f （ x） ex 1 0，（x 0），f （ x） ex x 1 单调递增，f （ x） f （ 0） 0，ax(a 0). ln a.f （x）单调递增，f （x） f （0） 1 0，故对于任意 x 0，都有 f （x） 0 成立；（2）函数 y f （x）恰好在 x x1 和 x x2 两处取得极值27 / 31wordx 1， x2 是方程 f （ x） 0 的两个实数根，不妨设 x1 x2，f （ x） ex ax a， f （ x） ex a，当 a0 时， f