2.4 向量组的极大线性无关组_第1页
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1、2.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 2.4 向量组的极大线性无关组 一. 定义 如果向量组1, 2, , s的部分组 满足以下条件: , , i1 , i2 ir 线性无关; , , i1 (1) , i2 ir (2) 1, 2, , s中任一向量都可由线性表示, , , i1 , i2 ir 极大线性无关组(maximal linearly independent subset).为1, 2, , s的一个 , , i1 则称 , i2 ir 12.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 二. 有关结论 定理2.5. 秩为r的向量组1, 2, , s一定有由 r个向

2、量构成的极大无关组. 命题2.1. 秩为r的向量组中任何r个线性无关的 向量都构成它的一个极大无关组. 22.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 定理2.6. 一个向量组的任何两个极大无关组 都是等价的, 因而任意两个极大无关组所含向量的个数都相同, 且等于这 个向量组的秩. 命题2.2. 一个向量组与它的任何一个极大无 关组都是等价的. 32.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 三. 计算 理论依据: (1) 命题2.1(2) 定理1.11 (初等变换不改变矩阵的秩). 例2.8. 已知向量组1, 2, 3线性无关, 求 1 2, 2 3, 3 1 的一个极大无关组.

3、 42.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 列向量组相关计算问题1.求向量组的秩：初等行变换化为行阶梯形，行阶梯形的非零行数等于矩阵的秩，等于行（列）向量组的秩。2. 判断向量组的线性关系：初等行变换化为行阶梯形，判断秩与向量个数的大小，秩小于个数，向量组线性相关，秩等于个数，向量组线性无关。初等行变换不改变列向量组之间的线性关系。52.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 3.求向量组的一个极大线性无关组：初等行变换化为行阶梯形，原矩阵中与行阶梯形非零行非零首元所在的列相同位置的几个列向量一定4. 用极大无关组线性表示其余向量：初等行变换化为行最简形，依3方法找到一组极

4、大无关组，在行最简形中将非零首元不在列分别由非为一个极大线性无关组。个数和秩相同。零首元所在列线性表示，再将表达式转换到原向量组中即可。62.4 向量组的极大线性无关组 第二章 n维列向量 例2.9设A = 3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4, 求A的列向量组 的一个极大无关组. 1 6 4 1 40 4 3 1 10 0 0 4 10 0 0 0 0解: A =3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4初等行变换可见A的第1, 2, 4列构成A的列向量组的一个极大无关组.7例2.10 已知参数a, b互异，求向量组的极大无关组解：由于三个2维向量

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