有限元分析方法第3章弹性力学基础知识3

1、李建宇天津(tin jn)科技大学有限元分析(fnx)Finite Element Analysis 共三十六页内容 弹性(tnxng)力学基础知识 3：补充内容 1. 虚功原理 2. 弹性力学的两类平面问题 要求 理解： 虚功原理的物理含义 弹性体虚功原理的含义 弹性力学虚位移原理、最小势能原理 掌握： 弹性力学两类平面问题的物理背景 及其边值问题提法课后作业 阅读弹性力学能量原理相关文献有限元分析(fnx)弹性力学补充内容共三十六页弹性(tnxng)力学边值问题求解弹性力学问题(wnt)的目的：求出物体内部各点的应力、应变和位移，即应力场、应变场和位移场。弹性力学问题的提法：给定作用在物体

2、全部边界或内部的外界作用（包括温度影响、外力等），求解物体内由此产生的应力场和位移场。具体要求：（1）在物体内部各点：应力分量、应变分量和位移分量满足：（2）在物体边界：应力分量、应变分量和位移分量满足： 平衡方程（3个） 几何方程（6个） 物理方程（6个） 位移边界条件 力的边界条件基本方程组，普遍规律定解条件，特定规律。每一个具体问题反映在各自的边界条件上上节回顾共三十六页弹性(tnxng)力学边值问题弹性力学(l xu)边值问题提法：求u，满足：基本方程：边界条件：已经证明：该问题有解，而且解唯一。精确解很难求得！上节回顾近似解呢？如何求？能量原理的解法！共三十六页求：主动力FA与FB之

3、间的关系(gun x)。一、虚位移原理(yunl)回顾已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块,与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.理论力学中的虚位移原理回顾解: 给虚位移由( 在 A ,B 连线上投影相等)即共三十六页一、虚位移原理(yunl)回顾理论(lln)力学中的虚位移原理回顾虚位移 在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移 .只与约束条件有关.虚位移等共三十六页虚功(x n) 理想约束如果(rgu)在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束.力在虚位移中作的功称虚功. 光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚

4、杆，不可伸长的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.共三十六页即设质点系处于(chy)平衡,有或记为此方程称虚功(x n)方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零.解析式为共三十六页dyxyzvdzdx(x,y,z)SuSpTwu二、弹性体的虚功原理以微元体为对象建立(jinl)弹性体的虚功方程共三十六页二、弹性体的虚功原理考察该微元体，计算作用于它的应力与体积力所做的虚功。首先计算前后(qinhu)两个面上应力所做的虚功：共三十六页二、弹性体的虚功原理X方向体力(tl)做功：共

5、三十六页同理，计算左右、上下两对面上应力及y和z方向(fngxing)体力所做虚功二、弹性体的虚功原理左右两面应力虚功y方向体力做功：上下两面应力虚功z方向体力做功：共三十六页二、弹性体的虚功原理将前后、左右、上下三对面上应力及x、y、z方向(fngxing)体力所做虚功求和，得进一步整理(zhngl)，合并同类项，利用微元体平衡方程，得共三十六页二、弹性体的虚功原理微元体应力和体力(tl)所做虚功为：合并(hbng)同类项，得令代入上式，得共三十六页二、弹性体的虚功原理上式表示每一个微小六面体单元在物体有微小虚位移时所作的虚功。如果将物体分割(fng)为许多微小六面体体单元，则每一个微小单元

6、都要作如上虚功。进一步设想，将分割后的那些微小六面体重新合拢，回复原来的状态，则原来作为微小六面体的面力的那些应力所做虚功就会相互抵消，而就整个物体求和后以后，就只剩下体力和面力所做的虚功了。即，将上式虚功在体积内加起来应与整体的体力和面力在对应(duyng)虚位移上所完成的总虚功相等，由此得到：共三十六页二、弹性体的虚功原理上式即为弹性体的虚功方程。表达(biod)为语言：对任意微小虚位移，外力(wil)所做总虚功等于变形体所接受的总虚变形功。外力虚功等于内力虚功。或虚位移应该满足怎样的条件？即所谓的约束条件。几何方程，又称变形协调条件：位移边界条件：共三十六页二、弹性体的虚功原理上式的推导

7、中，用到了平衡条件，包含(bohn)体内力的平衡和边界上力的平衡。因此，弹性体的虚功原理与弹性体的平衡方程和力的边界条件是等价的。弹性(tnxng)力学边值问题提法用虚功方程代替。虚位移满足条件与虚功原理无关许可位移场共三十六页二、弹性体的虚功原理利用虚位移原理，可以导出弹性(tnxng)力学中的另一个重要能量原理：最小势能原理：定义弹性体的总体(zngt)势能：则，所有的允许位移场：u、v、w，即满足几何方程与位移边界条件的位移场，弹性体真实发生的位移场u*、v*、w*使得系统的总体势能取得极小值，即：共三十六页三、弹性(tnxng)力学的两类平面问题 在实际问题中，经常遇到一些比较典型的情

8、况，可有针对性地进行处理，如厚度较薄的问题、厚度较厚的等截面问题等，这些问题无需按一般的三维弹性力学提法分析，而可以进行适当(shdng)简化处理为二维问题。1. 平面应力问题几何特征：厚度为t的很薄的均匀木板外力特征： 面力只作用于板的边缘上，方向平行于板面且不沿厚度变化 体力平行于板面且不沿厚度变化共三十六页三、弹性(tnxng)力学的两类平面问题1. 平面应力(yngl)问题应力特征：由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：进一步，由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有则，弹性力学的6个应力分量，只剩：故得名平面应力问题共三十六页平面应力(y

9、ngl)问题应力(yngl)张量可以简化为：共三十六页平面应力(yngl)问题物理方程中后两式可见，这时的剪应变：由物理方程中的第三式可见：一般 ， 并不一定等于零，但可由 及 求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要(xyo)考虑 三个应变分量即可，于是应变张量简化为：共三十六页平面(pngmin)应力问题物理方程简化为：转化成应力分量(fn ling)用应变分量(fn ling)表示的形式：共三十六页平面应力(yngl)问题用矩阵方程表示(biosh)：它仍然可以简写为：弹性矩阵D则简化为：共三十六页平面(pngmin)应力问题只有(zhyu) 三个应变分量需要考虑，所以几何方程简化为：共三

10、十六页三、弹性力学的两类平面(pngmin)问题2. 平面(pngmin)应变问题几何特征：无限长等截面拄形体外力特征： 面力和体力均平行于横截面且不沿长度变化的应变特征：应变仅是x，y的函数；由于对称性，w0共三十六页平面应变(yngbin)问题既然w = 0，而且u及v又只是x和y的函数，由几何方程可见 。于是只剩下三个应变(yngbin)分量 ，几何方程仍然简化为方程得名平面应变问题共三十六页平面应变(yngbin)问题因为由物理方程中后两式可见又由物理方程中的第三式可见：在平面应变问题中，虽然 ，但 一般并不等于零，不过它可以由 及 求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量

11、 需要考虑。共三十六页平面应变(yngbin)问题物理方程(fngchng)简化为：共三十六页平面应变(yngbin)问题将物理方程式用矩阵方程表示：它仍然可以简写(jinxi)为：弹性矩阵D则为：共三十六页平面应变(yngbin)问题 工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离(jl)的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。共三十六页平面应力(

12、yngl)和平面应变问题基本变量平衡方程边界条件几何方程物理(wl)方程呢？共三十六页平面(pngmin)应力与平面(pngmin)应变问题对于(duy)平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用，而对于平面应变则采用，还可注意，在平面应力弹性矩阵中，若将E改换为 ，将 改换为 ，就得出平面应变弹性矩阵。共三十六页课后作业(zuy)搜索、阅读弹性力学文献学习弹性力学能量原理(yunl)相关理论，并由虚功方程推导最小势能原理共三十六页再 见 共三十六页内容摘要李建宇。弹性力学虚位移原理、最小势能原理。给定作用在物体全部边界或内部的外界作用（包括温度影响、外力等），求解物体内由此产生的应力场和位移场。如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束.。光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可